El sistema duodecimal del (también conocido como base -12 del o el dozenal ) es un sistema de numeración usar el doce como su base. El diez del número se puede escribir como “A”, y el del número once como “B”. El número doce se escribe como “10”.

El número 12 tiene seis factores, que son el 1, el 2, el 3, el 4, el 6, y el 12, cuyo 2 y 3 son el primero. Es un sistema de numeración más conveniente para las fracciones computacionales que otros sistemas de numeración comunes tales como el decimal, vigesimal, binario y sistemas hexadecimales . La sistema decimal tiene solamente cuatro factores, que son el 1, el 2, el 5, y el 10 ; cuyo 2 y 5 son primeros. Vigesimal agrega dos factores a los de diez, a saber 4 y 20, pero ningún factor primero adicional. Aunque veinte tenga 6 factores, 2 de ellos primeros, semejantemente a doce, es también una base mucho más grande (es decir, el dígito fijado y la tabla de multiplicación son mucho más grandes) y el factor primero 5, siendo menos común en la facturización primera de números, es discutible menos útil que el binario del factor primero 3. tiene solamente dos factores, 1 y 2, este 3ultimo que es primero. El Hexadecimal tiene cinco factores, agregando 4, el 8 y el 16 a los de 2, pero ninguna prima adicional.

Origen

Lugares

En un sistema duodecimal del lugar, el diez se puede escribir como A, el once se puede escribir como B, y doce se escribe como 10.

Para los símbolos alternativos, ver el " de la sección; Quot de la defensa y 'del dozenalism'&; debajo.

Según esta notación, 50 duodecimales expresa la misma cantidad que el decimal 60 (= cinco por doce), 60 duodecimales es equivalente al decimal 72 (= seises por doce = mitad un grueso), 100 duodecimales tiene el mismo valor que el decimal 144 (= doce por doce = uno gruesos), etc.

Tablas de conversión a y desde decimal

Para convertir números entre las bases, una puede utilizar el algoritmo general de la conversión (véase la sección relevante bajo raíz ). Alternativo, uno puede utilizar las tablas de la dígito-conversión. Los proporcionaron abajo se pueden utilizar para convertir cualquier número del dozenal entre 0.BB al decimal, o cualquier número decimal entre 0. Para utilizarlos, primero descomponemos el número dado en una suma de números con solamente un dígito significativo cada uno. Por ejemplo:

123.000 + 400 + 50 + 6 + 0.08

Esta descomposición trabaja iguales no importa qué la base el número se expresa adentro. Apenas aislar cada dígito diferente a cero, rellenándolos con tantos ceros cuanto sea necesario para preservar sus valores de lugar respectivos. Si los dígitos en el número dado incluyen ceros (por ejemplo, 102.05), éstos son, por supuesto, izquierdos hacia fuera en la descomposición del dígito (102. Entonces utilizamos las tablas de conversión del dígito para obtener el valor equivalente en la base de la blanco para cada dígito. Si el número dado está en dozenal y la base de la blanco es decimal, conseguimos:

(dozenal) 100.000 + 400 + 50 + 6 + 0.08 = (decimal) 248.184 + 576 + 60 + 6 + 0.05555555555…

Ahora, puesto que los summands se convierten ya para basar diez, utilizamos la aritmética decimal generalmente para realizar la adición y para recomponer el número, llegando el resultado de la conversión:

Dozenal -----> decimal 100.184 400 = 576 50 = 60 + 6 = + 6 0.05555555555… -------------------------------------------- 123.63888888888…

Es decir, de los iguales del (dozenal) 123.78 (decimal) 296.63888888888… ≈ 296.64

Si el número dado está en decimal y la base de la blanco es dozenal, el método es básicamente igual. Usar las tablas de conversión del dígito:

(decimal) 100.000 + 400 + 50 + 6 + 0.08 = (dozenal) 49, A54 + B, 6A8 + 1,8A0 + 294 + 42 + 6 + 0.84972497249724972497… + 0.0B62…

Sin embargo, para hacer esta suma y recomponer el número, ahora tenemos que utilizar las tablas de adición para el dozenal, en vez de las tablas de adición para el decimal la mayoría de la gente es ya familiar con, porque los summands ahora están en la base doce y así que la aritmética con ellas tiene que estar en dozenal también. En decimal, 6 + 6 iguales 12, pero en dozenal iguala 10; tan si utilizáramos aritmética decimal con números del dozenal llegaríamos un resultado incorrecto. Haciendo la aritmética correctamente en dozenal, conseguimos el resultado:

Decimal -----> Dozenal 100.000 = 1,8A0 400 = 294 50 = 42 + 6 = + 6 0.84972497249724972497… 0.0B62… -------------------------------------------------------- 123.943A…

Es decir, de los iguales del (decimal) 123.78 (dozenal) 5B, 540.94

Dozenal a la conversión del dígito decimal

Decimal a la conversión del dígito de Dozenal

Conversión de energías

Fracciones y números irracionales

Fracciones

Las fracciones duodecimales pueden ser simples:

el 1/2 = 0.14

o complicado

1/5 = 0.24972497… que se repite (redondeado fácilmente a 0.186A35186A35… que se repite (redondeado fácilmente a 0.124972497… que se repite (redondeado a 0.11111… que se repite (redondeado a 0.0B0B… que se repite (redondeado a 0.0B)

Dígitos que se repiten

Discutible, los factores de 3 se encuentran más comunmente en problemas de la vida real de la división que factores de 5 (o ser, si no estaba para la sistema decimal que influenciaba la mayoría de las culturas). Así, en usos prácticos, el fastidio de los decimales que se repiten se encuentra menos a menudo cuando se utiliza la notación duodecimal. Los abogados de sistemas duodecimales sostienen que esto es particularmente verdad de los cálculos financieros, en los cuales los doce meses del año entran a menudo en cálculos.

Sin embargo, cuando las fracciones que se repiten ocurren en la notación duodecimal, son menos probables tener un período muy corto que en la notación decimal, porque el 12 (doce) está entre dos el 11 (once) de los números primeros y el 13 (trece), mientras que diez está adyacente al 9 del número compuesto . No obstante, tener un período más corto o más largo no ayuda a la inconveniencia principal que una no consigue una representación finita para tales fracciones en la base dada (el que redondea, que introduce inexactitud, es tan necesario dirigirlo en cálculos), y el guardapolvo uno es más probable tener que ocuparse de los dígitos que se repiten infinitos cuando las fracciones se expresan en decimal que en duodecimal, porque uno fuera de cada tres números consecutivos contiene el 3 del factor primero en su facturización, mientras que solamente una fuera de cada cinco contiene el 5 del factor primero. El resto de los factores primeros, excepto 2, no son compartidos por diez o doce, así que no hacen influenciar la probabilidad relativa de encontrar dígitos que se repiten (cualquier fracción irreducible que contenga ninguno de estos otros factores en su denominador se repetirá en cualquier base). También, el 2 del factor primero aparece dos veces en la facturización de doce, mientras que solamente una vez en la facturización de diez; cuál significa que la mayoría de las fracciones cuyos son denominadores las energías de dos tendrán una representación terminal más corta, más conveniente en dozenal que en decimal (e., 1 (2²) = 0.25 dec = 0.3 doz; 1 (2³) = 0.125 dec = 0.16 doz; 1 (2⁴) = 0.0625 dec = 0.09 doz; 1 (2⁵) = 0.03125 dec = 0.046 doz; etc.

Números irracionales

En cuanto a los números irracionales ningunos de ellos tienen una representación finita en cualquier racional - sistemas de numeración posicionales basados (tales como los decimales y duodecimales); esto es porque un sistema de numeración posicional racional-basado no es esencialmente nada sino una manera de expresar cantidades como suma de fracciones cuyos denominadores sean energías de la base, y por definición ninguna suma finita del de números racionales puede dar lugar nunca a un número irracional.456 = 1 × 10³/10 + × 2 10²/10 + 3 × 10/10 + 4 × 1/10 + × 5 1/10² + 6 × 1/10³ (ésta es también la razón por la que las fracciones que contienen factores primeros en su denominador no en común con los de la base no tienen una representación terminal en esa base). Por otra parte, la serie infinita de dígitos de un número irracional no exhibe un patrón de la repetición; en lugar, los diversos dígitos tienen éxito en una manera aparentemente al azar. La carta siguiente compara los primeros dígitos de la representación decimal y duodecimal de varios más importante los números irracionales trascendental algebraicos de y . Algunos de estos números se pueden percibir como teniendo patrones fortuitos, haciéndolos más fáciles memorizar, cuando están representada en una base o la otra.

Defensa y " dozenalism"

La caja para el sistema duodecimal fue presentada largamente en números del del libro 1935 del F. Emerson Andrews nuevos: Cómo la aceptación de una base duodecimal simplificaría las matemáticas . Emerson observaron que, debido al predominio de factores de doce en muchas unidades tradicionales del peso y de la medida, muchos de las ventajas de cómputo reclamadas la sistema métrico podría estar el observado por la adopción de pesos y del diez-basados de la medida o por la adopción del sistema de numeración duodecimal.

Algo que los símbolos “A” para diez y “B” para once según lo utilizado en la notación hexadecimal y la notación vigesimal (o “T” y “E” para diez y once), él sugirió en su libro y utilizó una escritura X y una escritura E, y, para representar los dígitos diez y once respectivamente, porque, por lo menos en una página de la escritura romana, estos carácteres eran distintos de cualesquiera letras o número existentes, con todo era fácilmente disponible en las fuentes de impresoras. Él eligió para su semejanza al número romano X, y como la primera letra del " de la palabra; eleven".

Otra notación popular, introducida por el aserrador de foso de Isaac del sir, es utilizar 2 girados para representar diez y 3 girados u horizontalmente movidos de un tirón para representar once. Ésta es la convención empleada comúnmente por la sociedad de Dozenal de Gran Bretaña y tiene la ventaja de ser fácilmente reconocible como dígitos debido a su semejanza en forma a los dígitos existentes. Por una parte, la sociedad de Dozenal de América adoptó por algunos años la convención de usar un asterisco * para diez y un desmenuzar # para once. La razón era el símbolo * se asemeja a a pegar-por X mientras que # se asemeja a a doble-pegar-por 11, y ambos símbolos están ya presentes en los diales del teléfono sin embargo, los críticos precisaron estos símbolos no miran cualquier cosa como dígitos. Algunos otros sistemas escriben 10 como ɸ (una combinación de 1 y 0) y once como cruz de dos líneas (+, x, o † por ejemplo).

¡En “poco Twelvetoes”, roca americana de la escuela de la serie de televisión! retrató a niño extranjero que usaba aritmética de la base-doce, usar el “DEK”, el “EL”, y el “do” como nombres para diez, once, y doce.

La sociedad de Dozenal de América y la sociedad de Dozenal de Gran Bretaña promueven la adopción extensa del sistema de la base-doce. Utilizan el dozenal de la palabra en vez de " duodecimal" porque este 3ultimo viene de las raíces latinas que expresan doce en terminología de la base-diez.

El matemático renombrado y el mental Alexander Craig Aitken de la calculadora eran abogado abierto de las ventajas y de la superioridad del decimal excesivo duodecimal:

Ver también

del

Senary (base 6)
Quadrovigesimal (base 24)
Hexatridecimal (base 36)
sexagesimal (base 60)
Números babilónicos

.

Zenithic

Duodecimal

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