E8 (matemáticas) - Enciclopedia España

En las matemáticas, el E₈ es el nombre dado a una familia de estructuras estrechamente vinculadas. Particularmente, es el nombre de algunas álgebra de mentira simples excepcional así como el de los grupos de mentira simples asociado que es también el nombre dado al sistema correspondiente de la raíz, del enrejado de la raíz, y Weyl /del grupo de Coxeter, y a algunos grupos simples finitos de Chevalley E₈ fue formulado entre los años de 1888 y 1890 por la matanza de Wilhelm.

La designación E₈ viene matanza y clasificación de s de Cartan de Élie de Wilhelm 'de las álgebra de mentira simples complejo que bajan en cuatro familias infinitas etiquetadas el n de A_{, el n} de B_{, el n} de C_{, el n} de D_{, y cinco cajas excepcionales etiquetadas el E₆, el E₇, E₈, el F₄, y el G₂ . La álgebra de E₈ es el la más grande y más complicada de estos casos excepcionales, y es a menudo el caso pasado de los varios teoremas que se probarán.}

Descripción básica

E₈ tiene el espeso 8 (el número máximo mutuamente de grados comutativos de libertad) y dimensión 248 (como múltiple ). Los vectores del sistema de la raíz están en ocho dimensiones y se especifican más adelante en este artículo. El grupo de Weyl de E₈, que actúa como grupo de la simetría del toro máximo por medio de la operación de la conjugación del grupo entero, está de la orden 696729600.

E₈ es único entre grupos de mentira simples en que su representación trivial non- de la dimensión más pequeña es la representación de Adjoint (de la dimensión 248) que actúa en la álgebra de mentira E₈ sí mismo.

Hay un E_n de la álgebra de mentira para cada n ≥3 del número entero, que es dimensional infinito si el n es mayor de 8.

Formas verdaderas

El grupo de mentira complejo E₈ de la dimensión compleja 248 se puede considerar como grupo de mentira verdadero simple de dimensión (verdadera) 496, que está conectada, tiene el subgrupo compacto máximo la forma compacta de E₈, y tiene simplemente un grupo externo del automorfismo de la orden 2 generada por la conjugación compleja.

Así como el grupo de mentira complejo del tipo E₈, hay tres formas verdaderas del grupo, toda la dimensión verdadera 248, como sigue:
Una forma compacta (que es generalmente la que está significada si no se da ninguna otra información), que está conectada y tiene simplemente el grupo externo trivial del automorfismo.
Una forma de la fractura, que tiene máximo compacto subgrupo vuelta (16)/(el Z Z /2), grupo fundamental de la orden 2, y una cubierta doble no-algebraica y tiene el grupo externo trivial del automorfismo.
Una tercera forma, que tiene subgrupo compacto máximo E₇× SU (2) (− 1× − 1), el grupo fundamental de la orden 2, y una cubierta doble no-algebraica y tiene el grupo externo trivial del automorfismo.

Para una lista completa de formas verdaderas de álgebra de mentira simples, ver la lista de los grupos de mentira simples .

Teoría de la representación

Los coeficientes de las fórmulas del carácter para las representaciones irreducibles dimensionales infinitas de E₈ dependen de algunas matrices cuadradas grandes que consisten en polinomios, los polinomios de Lusztig-Vogan que un análogo de los polinomios de Kazhdan-Lusztig introdujo para los grupos reductores en general por el George Lusztig y el David Vogan (1983). Los valores en 1 de los polinomios de Lusztig-Vogan dan los coeficientes de las matrices que relacionan las representaciones estándar (cuyos carácteres son fáciles de describir) con las representaciones irreducibles.

Estas matrices eran computadas después de cuatro años de colaboración por un grupo de 18 matemáticos e informáticos, llevado por el Jeffrey Adams, con mucha de la programación hecha por el Fokko du Cloux . El caso más difícil (para los grupos excepcionales) es la forma verdadera de la fractura de E₈ (véase arriba), donde está la matriz más grande del tamaño 453060×453060. Los polinomios de Lusztig-Vogan para el resto de los grupos simples excepcionales se han sabido por algún tiempo; el cálculo para la forma de la fractura del E ₈ es lejos más largo que cualquier otro caso. El aviso del resultado recibió en marzo de 2007 la atención extraordinaria de los medios (véase los acoplamientos externos), a la sorpresa de los matemáticos que trabajaban en él.

Construcciones

Uno puede construir (forma compacta de) al grupo de E₈ como el grupo del automorfismo de la álgebra de mentira correspondiente del e ₈. Esta álgebra tiene un dimensional así que (16) del subalgebra 120 generados por el ij del del _{del J así como 128 nuevo del _{del Q de los generadores un} que transforme mientras que un espinor del Weyl-Majorana de la vuelta (16) del . Estas declaraciones determinan los conmutadores $= del l \ - \ delta_ {j \ ana} J_ {ik} de J_ del delta_ {jk} {i \ ana} - \ + \ delta_ {i \ ana} de J_ del delta_ {ik} {j \ ana} J_ {jk}$ así como $del l = \ _ del frac 14 (\ gamma_i \ gamma_j- \ gamma_j \ gamma_i) {ab} Q_b,$
mientras que el conmutador restante (no anticommutator!) se define como $= del l \ _ del gamma^ {} {Cb} J_ {ij}.$
Es entonces posible comprobar que la identidad de Jacobi es satisfied.

Geometría
La forma verdadera compacta de E₈ es el grupo de Isometry de un múltiple Riemannian dimensional 128 conocido informal como el “plano descriptivo octo-octonionic” porque puede ser construida usar una álgebra que sea el producto de tensor Octonions consigo mismos. Esto se puede ver sistemáticamente usar una construcción conocida como el '' cuadrado mágico '', debido al Juan Freudenthal y a los Tits de Jacques (véase J.

Sistema de la raíz de E₈
Un sistema de la raíz espeso r es una configuración finita particular de vectores, llamada las raíces del, que atraviesan un r - espacio euclidiano dimensional y satisfacen ciertas características geométricas. Particularmente, el sistema de la raíz debe ser invariante bajo reflexión a través del perpendicular del hiperplano a cualquier raíz.
El sistema de la raíz del E₈ es un sistema de la raíz de la fila 8 que contiene 240 vectores de la raíz que atraviesan el R ⁸. Es el irreducible en el sentido que no puede ser construido de sistemas de la raíz de una fila más pequeña. Cada uno de los vectores de la raíz en E₈ tiene longitud igual. Es conveniente para que muchos propósitos los normalicen para tener longitud √2.

Construcción
En el sistema coordinado supuesto del incluso E₈ se da como el sistema de todos los vectores en el R ⁸ con igual ajustada longitud a 2 tales que los coordenadas son o todos los números enteros o todos los Mitad-números enteros y la suma de los coordenadas es uniforme.
Explícitamente, allí son 112 raíz con número entero entrada obtenido de

$) \, \ P. 1$ por tomando arbitrario combinación de muestra y arbitrario permutación de coordenada, y 128 raíz con mitad-número entero entrada obtenido de

$\ se fue, P. \ tfrac12 \) derecho (\ \,$ tomando un número par de signos de menos (o, equivalente, requiriendo que la suma de todos los ocho coordenadas sea uniforme). Hay 240 raíces en todos.
Las 112 raíces con las entradas del número entero forman un sistema de la raíz de D₈. El sistema de la raíz de E₈ también contiene una copia de A₈ (que tenga 72 raíces) así como el E₆ y el E₇ (de hecho, los 3ultimos dos son generalmente definidos como subconjuntos de E₈).
En el sistema coordinado impar del E₈ es dado tomando las raíces en el sistema incluso coordinado y cambiando la muestra de cualquier un coordenada. Las raíces con las entradas del número entero son iguales mientras que ésas con las entradas del mitad-número entero tienen un número impar de signos de menos algo que un número par.

Raíces simples
Un sistema de las raíces simples para un sistema Φ de la raíz es un sistema de las raíces que forman una base para el espacio euclidiano atravesado por Φ con la característica especial que cada raíz tiene componentes con respecto a esta base que sean todo no negativos o todo no positivos.
Una opción de las raíces simples para E₈ (de ninguna manera único) es dada por las filas de la matriz siguiente: el $del \ se fue \ frac {1} {2} y \ 2} y \ frac {1} del frac {1} {{2} y \ 2} y \ frac {1} del frac {1} {{2} y \ 2} y \ frac {1} del frac {1} {{2} y \ 2} \ \ del frac {1} { -1&1&0&0&0&0&0&0 \ \ 0&-1&1&0&0&0&0&0 \ \ 0&0&-1&1&0&0&0&0 \ \ 0&0&0&-1&1&0&0&0 \ \ 0&0&0&0&-1&1&0&0 \ \ 0&0&0&0&0&-1&1&0 \ \ 1&1&0&0&0&0&0&0 \ \ \ extremo {smallmatrix} \ derecho].$

Diagrama de Dynkin
El diagrama de Dynkin para E₈ es dado por el
del
Este diagrama da un resumen visual sucinto de la estructura de la raíz. Cada nodo de este diagrama representa una raíz simple. Una línea que ensambla dos raíces simples indica que están en ángulo de 120° el uno al otro. Dos raíces simples que no son ensambladas por una línea son el ortogonal.
Matriz de Cartan
La matriz de Cartan de un sistema espeso de la raíz del r es × del r un ; matriz r cuyas entradas se derivan de las raíces simples. Específicamente, las entradas de la matriz de Cartan son dadas por el $A_ del {ij} = 2 \ frac {(\, \ el alpha_j del alpha_i)}{(\, \ alpha_i del alpha_i)}$ donde (-, -) está el producto interno euclidiano y el i} del _{del α del son las raíces simples. Las entradas son independiente de la opción de raíces simples (hasta ordenar). La matriz de Cartan para E₈ es dada por el $del \ se fue \ comenzar {smallmatrix} 2 y -1 y 0 y 0 y 0 y 0 y 0 y 0 \ \ -1 y 2 y de -1& 0 y 0 y 0 y 0 y 0 \ \ 0 y -1 y 2 y -1 y 0 y 0 y 0 y -1 \ \ 0 y 0 y -1 y 2 y -1 y 0 y 0 y 0 \ \ 0 y 0 y 0 y -1 y 2 y -1 y 0 y 0 \ \ 0 y 0 y 0 y 0 y -1 y 2 y -1 y 0 \ \ 0 y 0 y 0 y 0 y 0 y -1 y 2 y 0 \ \ 0 y 0 y -1 y 0 y 0 y 0 y 0 y 2 \ extremo {smallmatrix} \ derecho].$ El determinante de esta matriz es igual a 1.

Enrejado de la raíz de E₈
considera también: Enrejado,
l E8 del enrejado L1=E₈
El palmo integral del sistema de la raíz de E₈ forma un enrejado en el R ⁸ naturalmente llamado el enrejado de la raíz E₈ del . Este enrejado es algo notable en que es el único (no trivial) incluso, el enrejado unimodular con la fila menos de 16.

Subgrupos máximos significativos
El excepcional más pequeño E₇ de los grupos y el E₆ se sientan dentro de E₈. En el grupo compacto, ambo (de E₇×SU (2)); / ( Z Z /2) y (de E₆×SU (3)); / ( Z Z /3) son los subgrupos máximos de E₈.
La representación dimensional del adjoint 248 de E₈ se puede considerar en términos de su representación restringida al primera de estos subgrupos. Transforma debajo de SU (2)×E₇ como suma de representaciones del producto de tensor que se pueden etiquetar como par de dimensiones como $del l (3. ¡\, \!$ (Puesto que hay un cociente en el producto, estas notaciones se pueden tomar terminantemente como indicación (de las representaciones infinitesimales de la álgebra de mentira).) Puesto que la representación del adjoint se puede describir por las raíces junto con los generadores en el subalgebra de Cartan, podemos ver esa descomposición mirando éstos. En esta descripción:

(3.1) consiste en las raíces (0.0, −1,1) y el generador de Cartan que corresponde a la dimensión pasada.133) consiste en todas las raíces con (1.0), (−1/2, −1/2) o (1/2,1/2) en las dos dimensiones pasadas, junto con los generadores de Cartan que corresponden a las primeras 7 dimensiones.56) consiste en todas las raíces con permutaciones (1.0), (−1,0) o (el 1/2, −1/2) en de las dos dimensiones pasadas.
La representación dimensional del adjoint 248 de E₈, cuando está restringido semejantemente, transforma debajo de SU (3)×E₆ como: $del l (8.27) + (\, \ overline {27} del overline {3}).$
Podemos ver otra vez la descomposición mirando las raíces junto con los generadores en el subalgebra de Cartan. En esta descripción:

(8.1) consiste en las raíces con permutaciones de (1, −1,0) en las tres dimensiones pasadas, junto con el generador de Cartan que corresponde a las dos dimensiones pasadas.78) consiste en todas las raíces con (0.0), (−1/2, −1/2, −1/2) o (1/2,1/2,1/2) en las tres dimensiones pasadas, junto con los generadores de Cartan que corresponden a las primeras 6 dimensiones.27) consiste en todas las raíces con permutaciones de (1.0) o (−1/2,1/2,1/2) en las tres dimensiones pasadas.
(Style=" del 3, style=" del 27) consiste en todas las raíces con permutaciones (−1,0,0), (−1, −1,0) o (el 1/2, −1/2, −1/2) en de las tres dimensiones pasadas.

Usos
El grupo de mentira de E₈ tiene usos en la física teórica, particularmente en la teoría de la secuencia y el Supergravity . Los servicios del grupo E₈×E₈ (el producto de cartesiano de dos copias de E₈) como el grupo del calibrador de uno de los dos tipos de la secuencia heterótica y son uno de dos grupos anomalía-libres del calibrador que se puedan juntar al N = 1 Supergravity en 10 dimensiones. E₈ es el grupo de la U-dualidad de supergravity en un ocho-toro (en su forma de la fractura). Una forma para incorporar el modelo estándar de la física de partícula en teoría heterótica de la secuencia es la simetría que rompe de E₈ a su subalgebra máximo SU (3)× E₆.
En 1982, el liberto de Michael utilizó el enrejado E₈ para construir un ejemplo de un topológico 4 multíple, el múltiple E₈, que no tiene ninguna estructura lisa .
En octubre de 2007, el Antonio Garrett Lisi del físico analizaba una forma verdadera no compacta de la álgebra de mentira de E₈ para producir lo que él demanda ser " una teoría excepcionalmente simple todo " de ;.
Zenithic
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Descripción básica

Formas verdaderas

Teoría de la representación

Construcciones

Geometría

Sistema de la raíz de E8

Construcción

Raíces simples

Diagrama de Dynkin

Matriz de Cartan

Enrejado de la raíz de E8

Subgrupos máximos significativos

Usos

Sistema de la raíz de E₈

Enrejado de la raíz de E₈