En la física, la ecuación de Dirac del es una ecuación de onda mecánica del quántum relativista formulada por el británico Paul Dirac del físico en el 1928 y proporciona una descripción de las partículas elementales del ½ de la vuelta, tales como electrones constantes con los principios de mecánicos de quántum y la teoría de la relatividad especial . La ecuación exige la existencia de las antipartículas y precedió realmente su descubrimiento experimental, haciendo el descubrimiento del positrón, la antipartícula del electrón, uno de los triunfos más grandes de la física teórica moderna.

Formulación matemática

La ecuación de Dirac en la forma propuesta original por Dirac es:

$\backslash \; mc^2\; +\; dejado\; (\backslash \; beta\; \backslash \; sum\_\; \{k\; =\; 1\}\; ^3\; \backslash \; p\_k\; \backslash ,\; c\; \backslash )\; derecho\; \backslash \; PSI\; del\; alpha\_k\; (\backslash \; mathbf\; \{x\},\; t)\; =\; i\; \backslash \; (hbar\; \backslash \; del\; frac\; \{\backslash \; parcial\; \backslash \; PSI\}\; \backslash \; mathbf\; \{x\}\; \{\backslash \; t\; parcial\},\; t)$
donde está la masa el m del de resto del electrón, c de del
es la velocidad de la luz, p del
es el operador del ímpetu, $\backslash \; hbar$ del
es los constantes del Planck reducido, del
x y t es el espacio y coordenadas del tiempo .

Los nuevos elementos en esta ecuación son el $\backslash \; alpha\_k$ de las matrices 4x4 y el $\backslash \; beta$, y el $\backslash \; psi$ de Wavefunction del cuatro-componente. Las matrices son todo el hermitiano y tienen cuadrados iguales a la matriz de identidad, y las todas mutuamente anticommute: $\backslash \; alpha\_i\; \backslash \; alpha\_j\; del$

l del
= - \, \, del alpha_j \ del alpha_i $del$
de \ alpha_i \ beta = - \, beta \ del alpha_i \,

donde están distintos y gama i y j a partir de la 1 a 3. Estas matrices, y la forma del wavefunction, tienen una significación matemática profunda. La estructura algebraica representada por las matrices de Dirac había sido creada alguno 50 años anterior por el inglés W. Clifford del matemático, que alternadamente había sido basado en el trabajo del siglo de mid-19th alemán Hermann Grassmann del matemático en su " Lineare Ausdehnungslehre" (Teoría de extensiones lineares). Estes 3ultimo habían sido mirados como incomprensibles bien-nigh por la mayor parte de sus contemporáneos. El aspecto algo tan aparentemente extracto, en una tan última fecha, de una manera física tan directa, asciende a uno de los capítulos más notables de la historia de la física.

Comparación con la ecuación de Schrödinger

La ecuación de Dirac es superficial similar a la ecuación de Schrödinger para una masa libre:

$-\; \backslash \; frac\; \{\backslash \; hbar^2\}\; \{los\; 2m\}\; \backslash \; nabla^2\; \backslash \; phi\; =\; i\; \backslash \; hbar\; \backslash \; frac\; \{\backslash \; parcial\}\; \{\backslash \}\; parcial\; \backslash \; phi$ de t

El lado izquierdo representa el cuadrado del operador de ímpetu dividido por dos veces la masa, que, clásico hablando, es la energía cinética. Si uno quiere conseguir una generalización relativista de esta ecuación, después los derivados del espacio y del tiempo deben entrar simétricamente, como hacen en la teoría del maxwell del campo electromagnético, que se sabe para ser relativistically invariante - es decir, los derivados deben ser del la misma orden en espacio y tiempo. Ahora, en relatividad, el ímpetu y la energía son cada parte de un objeto invariante, el ímpetu 4, y son conectados por la relación relativistically invariante $del$

l del
\ frac {E^2} {c^2} - p^2 = m^2c^2

con m ahora representando el Massachusetts del resto. Si substituimos E y p por sus equivalentes del operador en la teoría de Schrödinger, conseguimos una ecuación diferencial que sea una generalización relativista válida de la ecuación de Schrödinger:

$(\backslash \; nabla^2\; -\; \backslash \; frac\; \{1\}\; \{c^2\}\; \backslash \; frac\; \{\backslash \; partial^2\}\; \{\backslash \; t^2\; parcial\})\; \backslash \; phi\; =\; \backslash \; frac\; \{m^2c^2\}\; \{\backslash \; hbar^2\}\; \backslash \; phi$

donde se asume que la función de onda ahora es un escalar relativista. De hecho el Schrödinger, que fue conocido bien de relatividad, intentó este de la ecuación antes de que el que lleva su nombre, pero lo encontrara inadecuado. Porque el derivado del tiempo es segunda orden, uno debe especificar ambos el valor inicial del $\backslash \; del\; partial\_t\; \backslash \; phi$ así como el $\backslash \; phi$ sí mismo al solucionar la ecuación. Esto es típico en la solución de problemas de la propagación de onda, como en electrodinámica. Sin embargo, en teoría de quántum, una está interesado no en el movimiento real como tal, algo, el espectro de energía del - matemáticamente, cuál es necesario es un problema de valor propio bien definido del . Como en electrodinámica, habrá las ondas avanzadas que aparecen propagar al revés a tiempo hacia la fuente - éstos se pueden desechar con seguridad como unphysical en electrodinámica, pero el no aquí, porque uno necesita el todo el las soluciones para poder expresar cualquier solución como extensión en términos de funciones propias de la energía y valores propios correspondientes.

Había una objeción aún más seria que se levantará - en la teoría de Schrödinger, la densidad de la probabilidad es dada por la expresión definida positiva $\backslash \; rho=\; \backslash \; phi^*\; \backslash \; phi$ del

l del

y su corriente cerca

$J\; =\; -\; \backslash \; (\backslash \; -\; \backslash \; phi\; \backslash \; nabla\; \backslash \; phi^*\; del\; phi^*\; del\; frac\; \{i\; \backslash \; hbar\}\; \{los\; 2m\}\; \backslash \; del\; nabla\; \backslash \; de\; la\; phi)$

con la conservación de la densidad de la probabilidad expresada como + \ frac del $\backslash \; del\; nabla\; \backslash \; del\; cdot\; del$

l del
J {\ parcial \ rho} {\ t parcial} = 0

En una teoría relativista, la forma de la densidad de la probabilidad debe emparejar el de la corriente cuando substituimos el $\backslash \; nabla$ por el $\backslash \; partial\_t$, y para que la conservación de la corriente de la probabilidad sea una expresión relativistically invariante, debe formar los 0 componentes de un vector 4 - así debemos tener $del$

l del
\ rho = \ (\ - \ phi \ partial_t \ phi^* del phi^* del frac {i \ hbar} {los 2m} \ del partial_t \ de la phi)

Todo es perfectamente relativista ahora, pero el la densidad de la probabilidad no es definido positivo, porque uno puede elegir libremente los valores iniciales del $\backslash \; phi$ y del $\backslash \; del\; partial\_t\; \backslash \; phi$. Tal teoría no tendría una interpretación física simple, inmediata, y así que Schrodinger la abandonó. (Aunque era de breve duración como ecuación de la solo-partícula, se resucita en la teoría de campo de quántum, donde se conoce como la ecuación de Klein-Gordon, y describe partículas de spin-0.)

Golpe de Dirac

Cuál es necesario, después, es una ecuación que es de primer orden en espacio y tiempo. Uno podría tomar formalmente la expresión relativista para el $E\; de\; la\; energía\; =\; la\; c\; \backslash \; laraíz\; cuadrada\{p^2\; +\; m^2c^2\}$, substituir p por su equivalente del operador, ampliar la raíz cuadrada en una serie infinita de operadores derivados, fijó un problema de valor propio, después soluciona la ecuación formalmente por iteraciones. La mayoría de los físicos tenían poca fe en tal proceso, incluso si era técnico posible.

Pues va la historia, Dirac miraba fijamente en la chimenea Cambridge, reflexionando este problema, cuando él golpeó sobre la idea de tomar la raíz cuadrada del operador de la onda así:

$\backslash \; nabla^2\; -\; \backslash \; frac\; \{1\}\; \{c^2\}\; \backslash \; frac\; \{\backslash \; partial^2\}\; \{\backslash \; t^2\; parcial\}\; =\; (A\; \backslash \; partial\_x\; +\; B\; \backslash \; partial\_y\; +\; +\; \backslash \; frac\; \{i\}\; \{c\}\; D\; \backslash \; partial\_t)\; (A\; \backslash \; partial\_x\; +\; B\; \backslash \; partial\_y\; de\; C\; \backslash \; del\; partial\_z\; +\; +\; \backslash \; frac\; \{i\}\; \{c\}\; D\; \backslash \; partial\_t)\; de\; C\; \backslash \; del\; partial\_z$

En multiplicar hacia fuera el derecho, vemos que para conseguir todos los cruz-términos tales como $\backslash \; partial\_x\; \backslash \; partial\_y$ para desaparecer, debemos asumir $AB\; +\; VAGOS\; del$

l del
= 0,…

con

l del
$A^2\; =\; B^2\; =\dots \; =\; 1$

Dirac, que entonces acababa de estar implicado intenso con la elaboración de las fundaciones de los mecánicos de matriz de Heisenberg, entendía inmediatamente que estas condiciones se podrían cumplir si A, B… es las matrices del, con la implicación que la función de onda tiene componentes múltiples del . Esto explicó inmediatamente el aspecto de las funciones de onda del dos-componente en la teoría fenomenológica de Pauli de la vuelta, algo que encima de tenido hasta entonces mirado como misterioso, incluso a Pauli mismo. Sin embargo, uno necesita por lo menos las matrices 4x4 fijar un sistema con las características deseadas - así que la función de onda tenía componentes del cuatro, no dos, como en la teoría de Pauli.

Dado la facturización en términos de estas matrices, uno puede ahora anotar inmediatamente una ecuación

$(A\; \backslash \; partial\_x\; +\; B\; \backslash \; partial\_y\; +\; +\; \backslash \; frac\; \{i\}\; \{c\})\; \backslash \; PSI\; de\; D\; de\; C\; \backslash \; del\; partial\_z\; \backslash \; del\; partial\_t\; =\; \backslash \; kappa\; \backslash \; psi$

con el $\backslash \; kappa$ que se determinará. Aplicación otra vez de las producciones del operador de la matriz de cualquier lado

$(\backslash \; nabla^2\; -\; \backslash \; frac\; \{1\}\; \{c^2\}\; \backslash \; partial\_t^2)\; \backslash \; PSI\; =\; \backslash \; kappa^2\; \backslash \; psi$

En tomar = \ frac {bujía métrica} {\ hbar} del $\backslash \; de\; la\; kappa\; encontramos\; que\; todos\; los\; componentes\; del\; de\; la\; función\; de\; onda\; satisfacen\; individualmente\; la\; relación\; relativista\; del\; energía-ímpetu.\; Así\; buscar-para\; la\; ecuación\; en\; la\; cual\; es\; de\; primer\; orden\; elespacioy\; el\; tiempo\; es$

$(A\; \backslash \; partial\_x\; +\; B\; \backslash \; partial\_y\; +\; +\; \backslash \; frac\; \{i\}\; \{c\}\; D\; \backslash \; partial\_t\; -\; \backslash )\; \backslash \; PSI\; =\; 0$ de C \ del partial_z del frac {bujía métrica} {\ hbar}

Con el $(A,\; B,\; C)\; =\; i\; \backslash \; =\; beta\; \backslash \; de\; alpha\_k$ y del $D\; \backslash \; beta$, conseguimos la ecuación de Dirac.

Comparación con la teoría de Pauli

La necesidad de introducir vuelta mitad-integral vuelve experimental a los resultados del experimento de la Popa-Gerlach. Una viga de átomos se funciona a través de un campo magnético no homogéneo fuerte, que entonces parte en piezas de N dependiendo del ímpetu angular intrínseco de los átomos. Fue encontrado que para los átomos de plata, la viga estuvo partida en dos - el estado de tierra por lo tanto no podría ser integral, porque incluso si el ímpetu angular intrínseco de los átomos era tan pequeño como sea posible, 1, la viga estaría partido en 3 porciones, correspondiendo a los átomos con Lz = -1, 0, y +1. La conclusión es que los átomos de plata tienen ímpetu angular intrínseco neto de el 1/2. El Pauli fijó una teoría que explicó esto que partía introduciendo una función de onda del dos-componente y un término de corrección correspondiente en el hamiltoniano, representando un acoplador semiclásico de esta función de onda a un campo magnético aplicado, como tan: $H\; del$

l del
= \ (del frac {1} {los 2m} \ sigma \ cdot (- de p \ frac {e} {c} A)) ^2 + e A^0

Aquí el $A^\; \backslash \; mu$ es el campo electromagnético aplicado, y las tres sigmas son las matrices de Pauli. $e$ es la carga de la partícula, e. $e=-e\_0$ para el electrón. En ajustar hacia fuera el primer término, una interacción residual con el campo magnético se encuentra, junto con el hamiltoniano generalmente de una partícula cargada que obra recíprocamente con un campo aplicado:

$H\; =\; \backslash \; frac\; \{1\}\; \{los\; 2m\}\; (p\; -\; \backslash \; frac\; \{e\}\; \{c\}\; A)^2\; +\; eA^0\; -\; \backslash \; frac\; \{e\; \backslash \; hbar\}\; \{2mc\}\; \backslash \; sigma\; \backslash \; cdot\; B$

Este hamiltoniano ahora es una matriz 2x2, así que la ecuación de Schrödinger basada en ella, $H\; \backslash \; phi\; =\; i\; \backslash \; hbar\; \backslash \; frac\; \{\backslash \; parcial\; \backslash \; phi\}\; del$

l del
{\ t parcial}

debe utilizar una función de onda del dos-componente. Pauli había introducido las matrices de la sigma el $\backslash \; el\; sigma\_k\; del$

l del
= \ comienzan {pmatrix} 0 y 1 \ \ 1 y 0 \ extremo {pmatrix}, \ comienzan {pmatrix} 0 y - \ \ i y 0 \ extremo {pmatrix} de i, \ comienza {pmatrix} 1 y 0 \ \ 0 y -1 \ extremo {pmatrix}

como fenomenología pura - Dirac ahora tenía una discusión teórica del que implicó que la vuelta era de alguna manera la consecuencia de la unión de la teoría de quántum a la relatividad.

Las matrices de Pauli comparten las mismas características que las matrices de Dirac - son todas hermitianas, cuadrado a 1, y anticommute. Esto permite que uno encuentre inmediatamente una representación de las matrices de Dirac en términos de matrices de Pauli: el $\backslash \; el\; alpha\_k\; del$

l del
= \ comienzan {pmatrix} 0 y \ sigma_k \ \ \ sigma_k y el $del$
de 0 \ extremo {pmatrix} \ beta = \ comienzan {pmatrix} 1_2 y 0 \ \ 0 y -1_2 \ extremo {pmatrix}

La ecuación de Dirac ahora se puede escribir como espinores de la ecuación de un dos-componente del acoplador:

$\backslash \; comienzan\; \{pmatrix\}\; mc^2\; y\; c\; \backslash \; sigma\; \backslash \; cdot\; p\; \backslash \; \backslash \; c\; \backslash \; sigma\; \backslash \; cdot\; p\; y\; -\; mc^2\; \backslash \; fin\; \{pmatrix\}\; \backslash \; comienzan\; \{pmatrix\}\; \backslash \; phi\_+\; \backslash \; \backslash \; \backslash \; phi\_-\; \backslash \; fin\; \{pmatrix\}\; =\; i\; \backslash \; hbar\; \backslash \; frac\; \{\backslash \; parcial\}\; \{\backslash \; t\; parcial\}\; \backslash \; comienzan\; \{\}\; \backslash \; phi\_+\; \backslash \; \backslash \; \backslash \; phi\_-\; \backslash \; extremo\; \{pmatrix\}$ del pmatrix

Notar que en la diagonal encontramos la energía de resto de la partícula. Si fijamos el ímpetu a cero - es decir, traer la partícula para reclinarse - entonces tenemos

$i\; \backslash \; hbar\; \backslash \; frac\; \{\backslash \; parcial\}\; \{\backslash \; t\; parcial\}\; \backslash \; comienzan\; \{pmatrix\}\; \backslash \; phi\_+\; \backslash \; \backslash \; \backslash \; phi\_-\; \backslash \; fin\; \{pmatrix\}\; =\; \backslash \; comienzan\; \{pmatrix\}\; mc^2\; y\; 0\; \backslash \; \backslash \; 0\; y\; -\; mc^2\; \backslash \; fin\; \{pmatrix\}\; \backslash \; comienzan\; \{\}\; \backslash \; phi\_+\; \backslash \; \backslash \; \backslash \; phi\_-\; \backslash \; extremo\; \{pmatrix\}$ del pmatrix

Las ecuaciones para los dos-espinores individuales ahora se desemparejan, y vemos que el " top" y " bottom" los dos-espinores son individualmente funciones propias de la energía con los valores propios iguales al más y menos la energía de resto, respectivamente. El aspecto de este valor propio negativo de la energía del es totalmente constante con relatividad.

Debe ser acentuado fuerte que esta separación en el marco de resto es el no a la declaración invariante - el " bottom" el dos-espinor no representa antimateria como tal en general. El espinor entero del cuatro-componente representa un irreducible entero - los estados tendrán generalmente una adición del positivo y de los componentes negativos de la energía de . Si juntamos la ecuación de Dirac a un campo electromagnético, como en la teoría de Pauli, después las piezas positivas y negativas de la energía será mezclado junto, incluso si se desemparejan original. El mayor problema de Dirac era encontrar una interpretación constante de esta mezcla. Pues veremos abajo, trae un nuevo fenómeno en la física - materia/creación y aniquilación de la antimateria.

Forma de la covariante e invariación relativista

La forma de la covariante de la ecuación de Dirac es (empleando a la convención de la adición de Einstein) $i\; del$

l del
\ hbar \ gamma^ \ MU \ partial_ \ MU \ PSI - m c \ PSI = 0 \,

En el antedicho, el $\backslash \; gamma^0$ es hermitiano, y el $\backslash \; gamma^k$ es anti-Hermitiano, con la definición $\backslash \; gamma^0\; del$

l del
= \ gamma^0 \ alpha_k del $\backslash \; del\; gamma^k\; del$
= \ beta

Esto se puede resumir usar el Minkowski métrico en espacio-tiempo en la forma $del$

l del
\ {\, \ gamma^ \ NU del gamma^ \ MU \} = g^ 2 {\ MU \ NU}

donde la expresión del soporte {a, b} significa ab + los vagos, el anticommutator. Éstas son las relaciones de definición de una álgebra de Clifford sobre un espacio pseudo-ortogonal de 4 d con la firma métrica (+---). Observar que uno puede también emplear la forma métrica (- +++) multiplicando todas las gammas por un factor de $i$. En un nivel elemental, la opción se puede mirar como convencional, pero hay razones específicas de preferir el anterior, matemáticamente y de la conveniencia en el cálculo y la interpretación física. En la literatura, uno encuentra casi siempre a convención (+---) funcionando. La álgebra de Clifford del específico empleada en la ecuación de Dirac se conoce como la álgebra de Dirac.

La ecuación de Dirac se puede interpretar como expresión del valor propio, donde está proporcional la masa de resto a un valor propio del operador de ímpetu 4, la proporción que es la velocidad de la luz in vacuo:

$P\_\; \{de\; Op.\}\; \backslash \; PSI\; =\; bujía\; métrica\; \backslash \; psi$

En la práctica, de los físicos unidades del uso a menudo de medida tales que el $\backslash \; hbar$ y el c son iguales a 1, conocido como " natural" unidades. La ecuación entonces es multiplicada a través por $-i$ y toma la forma simple

$(\backslash \; gamma^\; \backslash \; MU\; \backslash \; partial\_\; \backslash \; MU\; +\; im)\; \backslash \; PSI\; =\; 0$

Un teorema del fundamental indica que si dos sistemas distintos de matrices se dan que ambos satisfacen las relaciones de Clifford, después son conectadas el uno al otro por una transformación de la semejanza:

$\backslash \; gamma^\; \{\backslash \; MU\; \backslash \; prima\}\; =\; S^\; \{-\; 1\}\; \backslash \; gamma^\; \backslash \; MU\; S$

Si además las matrices son todo el unitario, al igual que el sistema de Dirac, después S sí mismo es unitario; $\backslash \; gamma^\; del$

l del
{\ MU \ prima} = U^ \ daga \ gamma^ \ MU U

La transformación U es única hasta un factor multiplicativo del valor absoluto 1. Ahora imaginémosnos una transformación de Lorentz para haber sido realizado en los operadores derivados, que forman un vector de la covariante. Para que el $del\; operador\; \backslash \; el\; gamma^\; \backslash \; MU\; \backslash \; partial\_\; \backslash \; mu$ sigan siendo invariantes, las gammas deben transformar entre sí mismos como vector contravariant con respecto a su índice del espacio-tiempo. Estas nuevas gammas se quieren satisfacen las relaciones de Clifford, debido a la ortogonalidad de la transformación de Lorentz. Por el teorema fundamental, podemos substituir el nuevo sistema por el viejo sistema conforme a una transformación unitaria. En el nuevo marco, recordando que la masa de resto es un escalar relativista, la ecuación de Dirac entonces tomará la forma

$(U^\; \backslash \; daga\; \backslash \; gamma^\; \backslash \; MU\; U\; \backslash \; partial\_\; \backslash \; mu^\; \backslash \; prima\; +\; im)\; \backslash \; PSI\; (x^\; \backslash \; prima,\; t^\; \backslash \; prima)\; =$ U^\; del$$
0 \ daga (\ gamma^ \ MU \ partial_ \ mu^ \ prima + im) U \ PSI (x^ \ prima, t^ \ prima) = 0

Si ahora definimos el espinor transformado $\backslash \; psi^\; \backslash \; prima\; =\; U\; \backslash \; psi$ del

l del

entonces tenemos la ecuación transformada de Dirac

$(\backslash \; gamma^\; \backslash \; MU\; \backslash \; partial\_\; \backslash \; mu^\; \backslash \; prima\; +\; im)\; \backslash \; psi^\; \backslash \; prima\; (x^\; \backslash \; prima,\; t^\; \backslash \; prima)\; =\; 0$

Así, una vez que colocamos en una representación unitaria de las gammas, es final con tal de que transformemos el espinor que acuerda la transformación unitaria que corresponde a la transformación dada de Lorentz.

Estas consideraciones revelan el origen de las gammas en la geometría del, hearkening de nuevo a la motivación original de Grassmann - representan una base fija de los vectores de unidad en espacio-tiempo. Semejantemente, los productos de las gammas tales como $\backslash \; gamma\_\; \backslash \; MU\; \backslash \; gamma\_\; \backslash \; nu$ representan los elementos superficiales orientados, y así sucesivamente. Con esto en mente, podemos encontrar la forma el elemento de volumen de unidad en espacio-tiempo en términos de gammas como sigue. Por definición, es = \ frac {1} del $V\; del$

l del
{4!}\ epsilon_ {\ MU \ NU \} alfa \ beta \ gamma^ \ MU \ gamma^ \ NU \ gamma^ \ alfa \ gamma^ \ beta

Para que éste sea un invariante, el símbolo épsilon debe ser un tensor, y así que debe contener un factor del $\backslash \; raíz\; cuadrada\; \{g\}$, donde está el determinante g del tensor métrico. Puesto que esto es negativo, ese factor es el imaginario. Así $V\; del$

l del
= i \ gamma^0 \ gamma^1 \ gamma^2 \ gamma^3

Esta matriz se da el $\backslash \; gamma\_5$ del símbolo especial, debido a su importancia cuando uno está considerando las transformaciones incorrectas del espacio-tiempo, es decir, las que cambien la orientación de los vectores de la base. En la representación que estamos utilizando para las gammas, él está el $\backslash \; gamma\_5\; del$

l del
= \ comienza {pmatrix} 0 y 1 \ \ 1 y 0 \ extremo {pmatrix}

También observar que habría podido como fácilmente tomar la raíz cuadrada negativa del determinante de g - las cantidades bien escogidas a una convención inicial del uso de las manos.

Ecuación de Adjoint y corriente de Dirac

Definiendo el $del\; del$
del espinor de Adjoint \ = \ psi^ \ daga \ gamma^0 de la barra {\ PSI} y notando que ^ del $del\; del$
(\ gamma^ \ MU) \ daga \ gamma^0 = \ gamma^0 \ gamma^ \ mu, obtenemos, tomando la conjugación hermitiana de la ecuación de Dirac y multiplicándose de la derecha por el $\backslash \; gamma^0$, la ecuación del adjoint: $\backslash \; barra\; del\; del$
{\ PSI} (\ gamma^ \ MU \ partial_ \ MU - im) = 0 \,

donde el $\backslash \; el\; partial\_\; \backslash \; mu$ se entiende para actuar a la izquierda. Multiplicar la ecuación de Dirac por el $\backslash \; la\; barra\; \{\backslash \; PSI\}$ de la izquierda, y la ecuación del adjoint por el $\backslash \; psi$ de la derecha, y del adición, produce la ley de la conservación de la corriente de Dirac en forma de la covariante: $del$

l del
\ partial_ \ MU \ ido (\ barra} \ gamma^ \ MU \ PSI \ derecho {\ PSI) = 0

Ahora vemos que la gran ventaja de la ecuación de primer orden sobre el un Schrödinger había intentado - ésta es la densidad corriente conservada de la probabilidad requerida por la invariación relativista, sólo ahora su 0 componentes son el definido positivo:

$J^0\; =\; \backslash \; barra\}\; \backslash \; gamma^0\; \backslash \; PSI\; \{\backslash \; PSI\; =\; \backslash \; psi^\; \backslash \; daga\; \backslash \; psi$

La ecuación de Dirac y su adjoint son las ecuaciones de Euler-Lagrange del integral de acción invariante de 4 d = \ internacional L d^4 \ omega del $S\; del$

l del

donde está el Dirac el L escalar de Lagrange

$L\; =\; bujía\; métrico\; \backslash \; barra\; \{\backslash \; PSI\}\; \backslash \; PSI\; -\; \{i\; \backslash \; hbar\; \backslash \; sobre\; 2\}\; (\backslash \; barra\}\; \backslash \; gamma^\; \backslash \; MU\; \{\backslash \; PSI\; (\backslash \; partial\_\; \backslash \; MU\; \backslash \; PSI)\; -\; (\backslash \; partial\_\; \backslash )\; \backslash \; gamma^\; \backslash \; MU\; \backslash \; PSI)$ de MU \ de la barra {\ PSI}

y para los propósitos de la variación, el $\backslash \; psi$ y el $\backslash \; la\; barra\; \{\backslash \; PSI\}$ se miran como campos independientes. La invariación relativista también sigue inmediatamente del principio variado.

Acoplador a un campo electromagnético

Para considerar los problemas en los cuales un campo electromagnético aplicado obra recíprocamente con las partículas describió por la ecuación de Dirac, una utiliza el principio de correspondencia, y asume el control en la teoría la expresión correspondiente de mecánicos clásicos, por el que el ímpetu total de una partícula cargada en un campo externo se modifique como tan: $p\; del$

l del
\ - \ frac {e} {c} A del rightarrow p

En unidades naturales, la ecuación de Dirac entonces toma la forma

$(\backslash )\; im\; \backslash \; PSI\; =\; 0$ del gamma^ \ MU (\ partial_ \ MU + ieA_ \ MU) +

Esta validez de esta prescripción se confirma experimental con la gran precisión. Se conoce como acoplador mínimo del, y se encuentra a través de la física de partícula. De hecho, mientras que la introducción del campo electromagnético de esta manera es esencialmente fenomenológica en este contexto, se levanta a un principio fundamental en la teoría de campo de Quantum .

Ahora como se declaró anteriormente, la transformación U se define solamente hasta un $e^\; delfactor\; de\; fase\{i\; \backslash \; theta\}$. También, el observable fundamental de la teoría de Dirac, la corriente, es sin cambios si multiplicamos la función de onda por una fase arbitraria. Podemos explotar esto para conseguir la forma de la interacción mutua de una partícula de Dirac y del campo electromagnético, en comparación con simplemente la consideración de una partícula de Dirac en un campo aplicado, si se asume que este factor de fase arbitrario para depender continuamente posición de trabajo:

$\backslash \; PSI\; \backslash \; rightarrow\; \backslash \; psi^\; \backslash \; prima\; =\; e^\; \{i\; \backslash \; theta\; (x,\; t)\}\; \backslash \; psi$

Aviso ahora que

$\backslash \; gamma^\; \backslash \; MU\; (\backslash \; partial\_\; \backslash \; MU\; +\; ieA\_\; \backslash \; MU)\; \backslash \; psi^\; \backslash \; prima\; =\; e^\; \{i\; \backslash \; theta\}\; \backslash \; gamma^\; \backslash \; MU\; (\backslash \; partial\_\; \backslash \; MU\; +\; IE\; (A\_\; \backslash \; MU\; +\; \backslash \; frac\; \{1\}\; \{\}\; \backslash \; partial\_\; \backslash \; MU\; \backslash \; theta\; de\; e))\backslash \; PSI\; =\; e^\; \{i\; \backslash \; theta\}\; \backslash \; gamma^\; \backslash \; MU\; (\backslash \; partial\_\; \backslash )\; \backslash \; psi$ de MU + del ieA^ \ del prime_ \ MU

Para preservar el acoplador mínimo, debemos agregar al potencial un término proporcional al gradiente de la fase. Pero sabemos de la electrodinámica esa esto dejamos el campo electromagnético sí mismo invariante. El valor de la fase es arbitrario, pero el no cómo cambia de un sitio a otro. Éste es el punto de partida de la teoría del calibrador, que es el principio fundamental en el cual se basa la teoría de campo de quántum. El más simple tal teoría, y el que está entendido lo más a fondo posible, se conoce como electrodinámica de Quantum. Las ecuaciones de la teoría de campo tienen así invariación bajo ambas transformaciones de Lorentz y calibran transformaciones.

Ecuación curvada de Dirac del espacio-tiempo

La ecuación de Dirac se puede escribir en el espacio-tiempo curvado usar los campos de Vierbein . Vierbeins describe un marco local que permita definir las matrices de Dirac en cada punto. El que contrata estas matrices con los vierbeins da las características correctas de la transformación. Esta ecuación de Dirac de la manera toma la forma siguiente en espacio-tiempo curvado: $del$

l \ e_a^ \ MU D_ \ MU \ PSI + i m \ PSI = 0 del gamma^a

Aquí $e\_a^\; \backslash \; mu$is Vierbein y $D\_\; \backslash \; mu$ es covariante derivado para fermio campo, definido como sigue

$D\_\; \backslash \; MU\; =\; \backslash \; partial\_\; \backslash \; MU\; -\; \backslash \; frac\; \{i\}\; \{4\}\; \backslash \; eta\_\; \{CA\}\; \backslash \; omega^c\_\; \{\}\; \backslash \; sigma^\; \{ab\}$ de b \ de MU

donde está el el $\backslash \; el\; eta\_\; \{CA\}$ Lorentzian métrico, el $\backslash \; el\; sigma^\; \{ab\}$ es el conmutador de las matrices de Dirac: = \ frac {i} {2} del $\backslash \; del\; sigma^\; del\; \{ab\}\; \backslash \; dejó$

y el $\backslash \; el\; omega^c\_\; \{b\; \backslash \; MU\}$ es la conexión de la vuelta: $del\; \backslash \; omega^c\_\; \{b\; \backslash \; MU\}\; =\; e^c\_\; \backslash \; e^\; de\; NU\; \backslash \; del\; partial\_\; \backslash \; MU\; \backslash \; nu\_b\; +\; e^\; \backslash \; sigma\_b\; \backslash \; Gamma^\; \backslash \; nu\_\; del\; e^c\_\; \backslash \; NU\; \{\backslash \; sigma\; \backslash \; MU\}$

donde está el símbolo el $\backslash \; Gamma^\; \backslash \; el\; nu\_\; \{\backslash \; sigma\; \backslash \; MU\}$ de Christoffel. Observar eso aquí, las letras latinas denotan el " Lorentzian" los indeces y el Griego unos denotan el " Riemannian" índices.

Interpretación física

La teoría de Dirac, mientras que proporciona una abundancia de la información que es confirmada exactamente por experimentos, sin embargo introduce un nuevo paradigma físico que aparezca al principio difícil interpretar e incluso paradójico. Algunas de estas aplicaciones la interpretación se deben mirar como no se sabe. Aquí veremos cómo la teoría de Dirac contestó brillante que algunas de las ediciones excepcionales en la física fue propuesta en ese entonces, mientras que presentaba otras que siguen siendo el tema del discusión.

Identificación de observables

¿La pregunta física crítica en una teoría de quántum es - cuáles son las cantidades físicamente observables definidas por la teoría? Según principios generales, tales cantidades son definidas por los operadores hermitianos que actúan en el espacio de Hilbert de estados posibles de un sistema. Los valores propios de estos operadores son entonces los resultados posibles de medir la cantidad física correspondiente. En la teoría de Schrödinger, el más simple tal objeto es el hamiltoniano total, que representa la energía total del sistema. Si deseamos mantener esta interpretación en el paso a la teoría de Dirac, debemos tomar el hamiltoniano para ser

$H\; =\; \backslash \; gamma^0\; \backslash \; ido\; (mc^2\; +\; c\; \backslash \; sum\_\; \{k\; =\; 1\}\; ^3\; \backslash \; gamma^k\; ()\; \backslash ,\; del\; p\_k-\; \backslash \; de\; A\_k\; del\; frac\; \{e\}\; \{c\}\; c\; \backslash \; derecho)\; +\; eA^0$

Esto parece prometedor, porque vemos por la inspección la energía de resto de la partícula y, en caso de que $A=0$, la energía de una carga puesta en un potencial eléctrico $eA^0$. ¿Qué sobre el término que implica el potencial del vector? En electrodinámica clásica, la energía de una carga que se mueve en un potencial aplicado está $H\; del$

l del
= c \ raíz cuadrada {(- \ frac {e} {c} de p A)^2 + m^2c^2} + eA^0

Así el Dirac hamiltoniano es el fundamental distinguido de sus contrapartes clásicas, y debemos tomar gran cuidado para identificar correctamente cuál es un observable en esta teoría. Mucho del comportamiento paradójico evidente implicado por la ecuación de Dirac asciende a una identificación errónea de estos observables. Ahora describamos un tal efecto. (continuado)

Historia

Desde que la ecuación de Dirac fue inventada original para describir el electrón, hablaremos generalmente de " electrons" en este artículo. La ecuación también se aplica a los Quarks que son también partículas elementales del ½ de la vuelta. Una ecuación modificada de Dirac se puede utilizar para describir aproximadamente los protones y los neutrones que no son partículas elementales (se componen de quarks), sino para tener una vuelta neta del ½. Otra modificación de la ecuación de Dirac, llamada la ecuación del Majorana, se piensa para describir los neutrinos - también hacer girar las partículas del ½.

La ecuación de Dirac describe las amplitudes de la probabilidad para un solo electrón del . Esto es una teoría de la solo-partícula; es decir no explica la creación y la destrucción de las partículas. Da una buena predicción del momento magnético del electrón y explica mucha de la estructura fina observada en las líneas espectrales atómico que también explica la vuelta del electrón. Dos de las cuatro soluciones de la ecuación corresponden a los dos estados de vuelta del electrón. Las otras dos soluciones hacen la predicción peculiar que existen un sistema infinito de los estados de quántum en los cuales el electrón posee la energía negativa . Este resultado extraño llevó Dirac a predecir, vía una hipótesis notable conocida como " teoría de agujero, " la existencia de las partículas que se comportan como electrones positively-charged. Dirac pensó al principio estas partículas pudo ser protones. Lo disgustaron cuando la predicción terminante de su ecuación (que especifica realmente partículas de la misma masa que el electrón) fue verificada por el descubrimiento del positrón en el 1932 . Cuando estaba preguntado más adelante porqué él no había predicho realmente audazmente con todo el positrón desconocido con su masa correcta, Dirac contestó al " ¡Cobardía pura! " Él compartió el Premio Nobel De todos modos, en 1933.

A pesar de estos éxitos, la teoría de Dirac es estropeada por su negligencia de la posibilidad de crear y de destruir las partículas, una de las consecuencias básicas de la relatividad. Esta dificultad es resuelta reformulándola como teoría de campo de Quantum . El adición de un campo electromagnético quantized a esta teoría lleva a la teoría de la electrodinámica (QED) de Quantum. Por otra parte la ecuación no puede explicar completamente partículas de la energía negativa sino se restringe a las partículas positivas de la energía.

Una ecuación similar para las partículas de la vuelta 3/2 se llama la ecuación de Rarita-Schwinger.

Teoría de agujero

Las soluciones negativas del E encontradas en la sección precedente son problemáticas, porque fue asumido que la partícula tiene una energía positiva. Matemáticamente el discurso, sin embargo, allí no parece ser ninguna razón de nosotros para rechazar las soluciones de la negativo-energía. Puesto que existen, no podemos no hacer caso simplemente de ellas, porque una vez que incluimos la interacción entre el electrón y el campo electromagnético, cualquier electrón colocado en un eigenstate de la positivo-energía decaería en los eigenstates de la negativo-energía de una energía sucesivamente más baja emitiendo exceso de energía bajo la forma de fotones que los electrones verdaderos no se comportan obviamente de esta manera.

Para hacer frente a este problema, Dirac introdujo la hipótesis, conocida como teoría de agujero del, que el vacío es el estado de quántum del mucho-cuerpo en el cual se ocupan todos los eigenstates del electrón de la negativo-energía. Esta descripción del vacío como " sea" de electrones se llama el mar de Dirac. Puesto que el principio de exclusión de Pauli prohíbe electrones de ocupar el mismo estado, cualquier electrón adicional sería forzado para ocupar un eigenstate de la positivo-energía, y los electrones de la positivo-energía serían prohibidos del decaimiento en eigenstates de la negativo-energía.

Más futuro de Dirac razonado eso si los eigenstates de la negativo-energía incompleto se llenan, cada &ndash vacante del eigenstate; llamó un &ndash del agujero ; se comportaría como partícula cargada de a positivamente -. El agujero posee una energía positiva del, puesto que la energía se requiere para crear un particle– pares del agujero del vacío. Según lo observado arriba, Dirac pensó inicialmente que el agujero pudo ser el protón, pero el Hermann Weyl precisó que el agujero debe comportarse como si tuviera la misma masa que un electrón, mientras que el protón está sobre 1800 veces más pesado. El agujero fue identificado eventual como el positrón, descubierto experimental por el Carl Anderson en el 1932 .

No es enteramente satisfactorio describir el " vacuum" usar un mar infinito de los electrones de la negativo-energía. Las contribuciones infinitamente negativas del mar de los electrones de la negativo-energía tienen que ser canceladas por un " positivo infinito; bare" la energía y la contribución a la densidad y a venir actual de carga del mar de los electrones de la negativo-energía es cancelada exactamente por un " positivo infinito; Jellium " fondo de modo que la densidad de carga eléctrica neta del vacío sea cero. En la teoría de campo de Quantum, una transformación de Bogoliubov en la creación y los operadores de la aniquilación (que dan vuelta a un estado ocupado del electrón de la negativo-energía en un estado positivo vacante del positrón de la energía y un estado vacante del electrón de la negativo-energía en un estado positivo ocupado del positrón de la energía) permite que puenteemos el formalismo del mar de Dirac aunque, formalmente, es equivalente a él.

En ciertos usos condensó la física de la materia, sin embargo, los conceptos subyacentes de " theory" del agujero; ser válido. El mar de los electrones de la conducción en un conductor eléctrico, llamado un mar de Fermi, contiene electrones con energías hasta el potencial químico del sistema. Un estado sin llenar en el mar de Fermi se comporta como un electrón positively-charged, aunque se refiere como " hole" algo que un " positron". La carga negativa del mar de Fermi es balanceada por el enrejado iónico positively-charged del material.

Bilinears de Dirac

Hay cinco diversos términos bilinearios (neutrales) de Dirac que no implican ningunos derivados:

(S) calar: $\backslash \; barra\}\; \backslash \; psi$ (escalar {\ PSI, P-uniformes)
(P) seudoscalar: $\backslash \; barra\}\; \backslash \; gamma^5\; \backslash \; psi$ (escalar {\ PSI, P-impares)
Ector (V): $\backslash \; barra\}\; \backslash \; gamma^\; \backslash \; MU\; \backslash \; psi$ (vector {\ PSI, P-uniformes)
(A) xial: $\backslash \; barra\}\; \backslash \; gamma^\; \backslash \; MU\; \backslash \; gamma^5\; \backslash \; psi$ (vector {\ PSI, P-impares)
Ensor (T): $\backslash \; barra\; \{\backslash \; PSI\}\; \backslash \; sigma^\; \{\backslash \}\; \backslash \; psi$ (tensor de MU \ de NU, P-uniformes antisimétricos),

donde = \ frac {i} {2} del $\backslash \; del\; sigma^\; \{\backslash \; MU\; \backslash \; NU\}\; \backslash \; dejó$ y el $\backslash \; el\; gamma^\; \{5\}\; =\; \backslash \; 5\}\; =\; \backslash \; frac\; \{i\}\; \{4\; del\; gamma\_\; \{!\}\backslash \; epsilon\_\; \{\backslash \; MU\; \backslash \; NU\; \backslash \; rho\; \backslash \; lambda\}\; \backslash \; gamma^\; \{\backslash \; MU\}\; \backslash \; gamma^\; \{\backslash \; NU\}\; \backslash \; gamma^\; \{\backslash \; rho\}\; \backslash \; gamma^\; \{\backslash \; lambda\}\; =i\; \backslash \; gamma^\; \{0\}\; \backslash \; gamma^\; \{1\}\; \backslash \; gamma^\; \{2\}\; \backslash \; gamma^\; \{3\}$.

Un término total de Dirac es un acoplador de S. Un acoplador de Yukawa puede ser S o P. El acoplador electromágnetico es V. Las interacciones débiles son V-A.

Ver también

ecuación de Breit
Ecuación de Klein-Gordon
Electrodinámica de Quantum
Ecuación de Rarita-Schwinger
Tablero de damas de Feynman
Justificación teórica y experimental para la ecuación de Schrödinger

.

Zenithic

Pettineo

Random links:

Goodland, Indiana | Escudero (compartimiento) | Lista de artículos Albania-relacionados | Penacho del oído | Hoota y Snoz