La ecuación de Helmholtz del, nombrada para el Hermann Von Helmholtz, es la ecuación diferencial parcial elíptica

$(\backslash \; nabla^2\; +\; k^2)\; un\; =\; 0$

donde está el el $\backslash \; nabla^2$ Laplacian, $k$ es un constante, y el $A=A\; desconocido\; de\; la\; función\; (x,\; y,\; z)$ se define en el n - dimensional n (típicamente n =1, 2, o 3 del ^{del R del espacio euclidiano, cuando la solución a esta ecuación tiene sentido físico).}

Motivación y aplicaciones

La ecuación de Helmholtz se presenta a menudo en el estudio de los problemas físicos que implican las ecuaciones diferenciales parciales (PDEs) en espacio y tiempo. La ecuación de Helmholtz, que representa la forma independiente del tiempo del de la ecuación original, resulta de aplicar la técnica de la separación de las variables para reducir la complejidad del análisis.

Por ejemplo, considerar la ecuación de onda :

$\backslash \; u\; dejado\; (\backslash \; nabla^2-\; \backslash \; frac\; \{1\}\; \{c^2\}\; \backslash \; frac\; \{\backslash \; partial^2\}\; \{\backslash \; \{t\}\; ^2\; parcial\}\; \backslash \; correcto)\; (\backslash \; mathbf\; \{r\},\; t)=0.$

La separación de variables comienza si se asume que el u ( t ) de la función de onda es de hecho separable:

$u\; (\backslash \; mathbf\; \{r\},\; t)=A\; (\backslash )\; \backslash \; cdot\; T\; (t)$ del mathbf {r} y $T\; del\; (t)\; =\; e^\; \{i\; \backslash \; Omega\; t\}.\; \backslash ,$ Substituyendo esta forma en la ecuación de onda, y después simplificándola, obtenemos dos ecuaciones diferenciales: + $\backslash \; nabla^2\; del$

l A \ frac {\ omega^2} {c^2} A = (\ nabla^2 + k^2) = 0 y $\backslash \; Omega\; \backslash \; \backslash \; stackrel\; \{\backslash \; mathrm\; \{def\}\}\; \{=\}\; \backslash \; kc$ donde está el vector de onda y &omega el k del ; es la frecuencia angular . Podemos escribir tan esto como: $\backslash \; nabla^2\; del$

l A + k^2 A = (\ nabla^2 + k^2) = 0.

Observar que por la naturaleza de nuestro Ansatz para el $T,$ $T$ satisface: + \ omega^2T del $\backslash \; del\; frac\; del$

l {d^2 {T}} {d {t} ^2} = \ dejado ({d^2 \ sobre dt^2} + \ omega^2 \ derecho) T = 0, para $A\; =\; e^\; \{-\; i\; \backslash \; mathbf\; \{\}\; \backslash \; cdot\; \backslash \; mathbf\; \{r\}\; de\; k\}.$

Ahora tenemos la ecuación de Helmholtz para el $\backslash \; el\; mathbf\; variables\; espaciales\; \{r\}$ y una ecuación diferencial ordinaria second-order a tiempo. La solución a tiempo será una combinación linear del seno y las funciones del coseno, con la frecuencia angular del ω, mientras que la forma de la solución en espacio dependerá de las condiciones de límite alternativo, integral transforman tal como el Laplace o el Fourier transforma, es de uso frecuente transformar un PDE hiperbólico en una forma de la ecuación de Helmholtz.

Debido a su relación a la ecuación de onda, la ecuación de Helmholtz se presenta en problemas en tales áreas de la física como el estudio de la radiación electromágnetica, de la sismología, y de la acústica .

Solucionar la ecuación de Helmholtz usar la separación de variables

La solución general a la ecuación espacial de Helmholtz $del$

l (\ nabla^2 + k^2) = 0

puede ser obtenido usar la separación de las variables .

Membrana vibrante

El análogo de dos dimensiones de la secuencia vibrante es la membrana vibrante, con los bordes afianzados con abrazadera para ser inmóvil. La ecuación de Helmholtz fue solucionada para muchas formas básicas en el siglo XIX: la membrana rectangular por el Siméon Denis Poisson en 1829, el triángulo equilateral por el Gabriel Lamé en 1852, y la membrana circular por el Alfred Clebsch en 1862. El parche de tambor elíptico fue estudiado por el Emilio Mateo, llevando a la ecuación diferencial de Mateo. Las formas solubles todas corresponden a las formas cuya tabla de billar dinámica es el integrable, es decir, no caótico. Cuando el movimiento en una tabla de billar de forma correspondiente es caótico, después no se sabe ningunas soluciones de la forma cerrada a la ecuación de Helmholtz. El estudio de tales sistemas se conoce como caos de Quantum, pues la ecuación de Helmholtz y las ecuaciones similares ocurren en los mecánicos de Quantum .

Si los bordes de una forma son línea segmentos recta, después una solución es integrable o conocible en forma cerrada solamente si es expresable como combinación linear finita de ondas planas que satisfagan las condiciones de límite (cero en el límite, es decir, membrana afianzada con abrazadera).

Una situación interesante sucede con una forma donde sobre mitad de las soluciones ser integrable, pero el resto no es. Una forma simple donde sucede ésta está con el hexágono regular. Si el wavepacket que describe una bola de billar del quántum se compone solamente de las soluciones de la forma cerrada, su movimiento no será caótico, pero eventualmente la cantidad de soluciones de la no-cerrado-forma es incluida, el movimiento del billar del quántum llega a ser caótica. Otra forma simple donde sucede ésta está con un " L" forma hecha reflejando un cuadrado abajo, entonces a la derecha.

Si el dominio es un círculo del del radio al, después es apropiado introducir el r de los coordenadas polares y el θ. La ecuación de Helmholtz toma la forma $A\_\; \{rr\}\; del$

l + \ + \ frac {1} {r^2} A_ de A_r del frac {1} {r} {\ theta \ theta} + k^2 A = 0.

Podemos imponer la condición de límite que el A desaparece si el r = un ; así $A\; (,\; \backslash \; theta)\; =\; 0\; del$

l de a. \,

El método de separación de variables lleva a las soluciones de ensayo de la forma $A\; (,\; \backslash \; theta\; del$

l de r) = R (r) \, \, de la theta (\ theta)

donde Θ debe ser periódico del período 2π. Esto lleva a $del$

l \ +n^2 de la theta \, \, de la theta =0

y $r^2\; R\; del\; +\; r\; R\; +\; r^2\; k^2\; R\; -\; n^2\; R=0.\; \backslash ,$

Sigue de la condición de la periodicidad eso $del$

l \ = \ alfa \ lechuga romana n \ theta de la theta + \ beta \ pecado n \, \, de la theta

y ese n debe ser un número entero. El componente radial R tiene la forma $R\; del$

l (r) = \, gamma \, de J_n (\ rho)

donde el J_n (ρ) de la función de Bessel Del satisface la ecuación de Bessel + \ rho J_n del del $\backslash \; rho^2\; J\_n\; del$

l + (\ rho^2 - n^2) J_n =0,

y del kr del ρ= . El radial de la función J_n tiene infinitamente muchas raíces para cada valor de n, denotado por el _{m del ρ, de n}. La condición de límite que el de A desaparece donde estarán satisfied el de r = un si las frecuencias correspondientes se dan cerca

$k\_\; \{m,\; n\}\; =\; \backslash \; frac\; \{1\}\; \{\}\; \backslash \; rho\_\; \{m,\; n\}\; de\; a.\; \backslash ,$

El general de la solución A entonces toma la forma de una suma doble infinita de términos que implican productos de

$\backslash \; pecado\; (n\; \backslash \; theta)\; \backslash ,\; \backslash \; hbox\; \{o\}\; \backslash ,\; \backslash \; lechuga\; romano\; (n\; \backslash \; theta),\; \backslash ,\; \backslash \; hbox\; \{y\}\; \backslash ,\; J\_n\; (k\_\; \{m,\; n\}\; r).$

Estas soluciones son los modos de vibración de un parche de tambor circular.

Soluciones tridimensionales

En coordenadas esféricos, la solución está: $A\; (r,\; \backslash ,\; \backslash \; phi\; del$

l de la theta) = \ ^ del sum_ {n=0} \ ^ infty \ del sum_ {l=0} \ ^l infty \ del sum_ {m=-l} (j_n del a_ {n l m} (k r) + m_l del ^ del y_n del b_ {n l m} (k r)) Y ({\, \ phi de la theta}).

Esta solución se presenta de la solución espacial de la ecuación de onda y de la ecuación de la difusión. Aquí j_n del $(k\; r)$ y y_n del $(k\; r)$ es las funciones de Bessel Esféricas y $Y^m\_l\; (\{\backslash ,\; \backslash \; phi\; de\; la\; theta\})$ del

l

son los armónicos esféricos (Abramowitz y Stegun, 1964). Observar que estas formas son soluciones generales, y requerir las condiciones de límite para ser especificado para ser utilizado en cualquier caso específico. Para los dominios exteriores infinitos, una condición de la radiación puede también ser requerida (Sommerfeld, 1949).

¡Form< paraxial! -- Esta sección se liga de la viga gausiana -->

La forma paraxial de la ecuación de Helmholtz es: $\backslash \; nabla\_T^2\; A\; -\; j\; 2k\; \{\backslash \; A\; parcial\; del$

l \ sobre \ z parcial} = 0

donde $\backslash \; nabla\_T^2\; del$

l = {\ partial^2 \ sobre \ x^2 parcial} + {\ partial^2 \ sobre \ y^2 parcial}

es la forma transversal Laplacian .

Esta ecuación tiene usos importantes en la ciencia de la óptica, donde proporciona las soluciones que describen la propagación de las ondas electromagnéticas (luz) bajo la forma de u ondas paraboloidales o las vigas gausianas la mayoría de los lasers emite las vigas que toman esta forma.

En la aproximación paraxial, la magnitud compleja del E del campo eléctrico se convierte $E\; del$

l (\ mathbf {r}) = e^ de A (\ mathbf {r}) {- jkz}

donde el A representa la amplitud complejo-valorada del campo eléctrico, que modula la onda plana sinusoidal representó por el factor exponencial.

La aproximación paraxial pone ciertos límites superiores en la variación del A de la función de la amplitud con respecto al longitudinal z de la distancia. Específicamente: $\backslash cebadabigg\; del$

l | {\ A parcial \ sobre \} parcial \ cebada bigg de z| \ ll | ka | y $del\; \backslash \; cebada\; bigg|\; \{\backslash \; partial^2\; A\; \backslash \; sobre\; \backslash \; z^2\}\; parcial\; \backslash \; cebada\; bigg|\; \backslash \; ll\; |\; k^2\; A\; |$

Estas condiciones son equivalentes a decir que el θ del ángulo entre el k del vector de onda y el z del eje óptico debe ser bastante pequeño de modo que

$\backslash \; pecado\; (\backslash \; theta)\; \backslash \; aproximadamente\; \backslash \; theta\; \backslash \; qquad\; \backslash \; mathrm\; \{y\}\; \backslash \; qquad\; \backslash \; tan\; (\backslash )\; \backslash \; aproximadamente\; \backslash \; theta$ de la theta

La forma paraxial de la ecuación de Helmholtz es encontrada substituyendo la magnitud compleja sobre-indicada del campo eléctrico en la forma general de la ecuación de Helmholtz como sigue. $del$

l \ nabla^ {2} (A \ (x, y, z \ derecho) e^ dejado {- jkz}) + k^2 (A \ (x, y, z \ derecho) e^ dejado {- jkz}) = 0

La extensión y la cancelación rinde el siguiente: $del$

l \ ido ({\ frac {\ ^ parcial {2}} {\ ^ parcial {x} {2}}} + {\ frac {\ ^ parcial {2}} {\ ^ parcial {y} {2}}} \ derecho) (A \ (x, y, z \ derecho) e^ dejado {- jkz}) + \ ({\ frac {\ ^ parcial {2}} {\ ^ parcial {z} {2}}} A dejada \ ido (x, y, z \ derecho) \ derecho) {e^{- jkz}} - 2 \, \ ({\ frac {\ parcial} {\ z parcial}} A dejada \ jk dejado (x, y, z \ derecho) \ correcto) {e^ {- jkz}} =0

Debido a las desigualdades paraxiales indicadas arriba, el factor de ∂²A/∂z² se descuida en comparación con el factor de ∂A/∂z. Las producciones la ecuación paraxial de Helmholtz.

Ecuación no homogénea de Helmholtz

La ecuación no homogénea de Helmholtz del es la ecuación

$\backslash \; nabla^2\; A\; +\; k^2\; A\; =\; -\; f\; \backslash \; mbox\; \{adentro\}\; \backslash \; mathbb\; R^n$

donde está una función dada con la ayuda del acuerdo, y $n=1\; el$ f:\backslash mathbb\; R^n\; \backslash \; \backslash \; mathbb\; C$,\; 2,\; 3.$

Para solucionar esta ecuación únicamente, una necesita especificar una condición de límite en el infinito, que es típicamente la condición de la radiación de Sommerfeld $del$

l \ r^ del lim_ {r \ \ infty} {\ frac {n-1} {2}} \ (\ frac {\ parcial} {\ r parcial} - ik \ derecho) A dejada (r \ sombrero {x}) = 0

uniformemente en el $\backslash \; el\; sombrero\; \{x\}$ con el $|\backslash \; sombrero\; \{x\}|=1$, donde las barras verticales denotan la norma euclidiana .

Con esta condición, la solución a la ecuación no homogénea de Helmholtz es la circunvolución ¡

$A\; (x)=\; (G*f)\; (x)=\; \backslash \; internacional\; \backslash \; limits\_\; \{\backslash \}\; \backslash !\; de\; R^n\; del\; mathbb\; G\; f\; (x-y)\; (y)\; \backslash ,\; dy$

(notar que este integral está realmente sobre una región finita, puesto que $f$ tiene ayuda compacta). Aquí, $G$ es la función de Green de esta ecuación, es decir, la solución a la ecuación no homogénea de Helmholtz con $f$ que iguala la función de delta de Dirac, así que $G$ satisface

$\backslash \; nabla^2\; G\; +\; k^2\; G\; =\; -\; \backslash \; delta\; \backslash \; mbox\; \{adentro\}\; \backslash \; mathbb\; R^n.$

La expresión para la función de Green depende de la dimensión del espacio. Uno tiene $G\; del$

l (x) = \ frac {ie^ {ik|x|}} {2k}

para $n=1,$ $G\; del$

l (x) = \ frac {i} {4} H^ {(1)} _0 (k|x|)

para $n=2$, donde está una función el $H^\; \{(1)\}\; \_0$ de Hankel, y $G\; del$

l (x) = \ frac {e^ {ik|x|}} {4 \ pi |x|}

para $n=3.$