La ecuación de onda del es una ecuación diferencial parcial linear second-order importante que describe la propagación de una variedad de ondas tal como ondas del sonido, que ligero agita y el agua agita. Se presenta en campos tales como acústica, electromagnetics, y dinámicas flúidas . Históricamente, el problema de una secuencia vibrante tal como el de un instrumento musical fue estudiado por el d'Alembert de Jean le Rond, el Leonhard Euler, el Daniel Bernoulli, y el José-Louis Lagrange .

Introducción

La ecuación de onda es el ejemplo prototípico de una ecuación diferencial parcial hiperbólica . En su forma más simple, la ecuación de onda refiere a un escalar u de la función que satisfaga: $del$

l {\ partial^2 u \ sobre \ t^2 parcial} = c^2 \ nabla^2 u,

donde está el el $\backslash \; nabla^2$ Laplacian y donde está un el c fijo constante igual a la velocidad de la propagación de la onda. Para una onda acústica en aire en este constante 20°C está cerca de 343 m/s (véase la velocidad del sonido ). Para la vibración de una secuencia la velocidad puede variar extensamente, dependiendo de la densidad linear de la secuencia y de la tensión en ella. Por un resorte espiral (un furtivo) puede ser tan lenta como un metro por segundo. Ecuaciones diferenciales más realistas para las ondas permiten la velocidad de la propagación de onda variar con la frecuencia de la onda, un fenómeno conocido como dispersión . En tal caso, el c se debe substituir por la velocidad de fase : = \ frac del $v\_\; \backslash \; del\; mathrm\; del\; \{p\}\; \{\backslash \; Omega\}\; \{k\}.$ Otra corrección común es que, en sistemas realistas, la velocidad también puede depender de la amplitud de la onda, llevando a una ecuación de onda no linear: $del$

l {\ partial^2 u \ sobre \ t^2 parcial} = c (u)^2 \ nabla^2 u

También observar que una onda se puede sobreponer sobre otro movimiento (por ejemplo propagación sana en un medio móvil como un flujo del gas). En ese caso el escalar u contendrá un factor (que del Mach sea positivo para la onda que se mueve a lo largo del flujo y de la negativa para la onda reflejada).

La ecuación de onda de elástico en tres dimensiones describe la propagación de ondas en un medio elástico homogéneo isotrópico . La mayoría de los materiales sólidos son elásticos, así que esta ecuación describe los fenómenos tales que las ondas sísmicas en la tierra y las ondas ultrasónicas usadas para detectar defectos en materiales. Mientras que es linear, esta ecuación tiene una forma más compleja que las ecuaciones dadas arriba, pues debe explicar el movimiento longitudinal y transversal: $\backslash \; rho\; del$

l {\ ddot {\ en negrilla {u}}} = \ en negrilla {f} + (\ lambda + 2 \ MU) \ - \ MU \ nabla \ épocas (\ nabla \ épocas \ en negrilla {u}) del nabla (\ nabla \ cdot \ en negrilla {u})

donde:
el $\backslash \; lambda$ del

y el $\backslash \; mu$ son los parámetros supuestos de Lamé que describen las características elásticos del medio,
el $\backslash \; rho$ es densidad,
el $\backslash \; \{f\}$ en negrilla es la función de la fuente (la fuerza impulsora),
y el $\backslash \; \{u\}$ en negrilla es dislocación. Observar que en esta ecuación, la fuerza y la dislocación son cantidades del vector . Así, esta ecuación se conoce a veces como la ecuación de onda del vector.

Las variaciones de la ecuación de onda también se encuentran en los mecánicos de Quantum y la relatividad general .

Ecuación de onda escalar en una dimensión del espacio

Derivación de la ecuación de onda

La ecuación de onda en el caso unidimensional se puede derivar así: Imaginarse un arsenal de pequeños pesos del total m interconectado con los resortes (o el Slinkies del h de la longitud. Los resortes tienen una tiesura k :
del

Aquí u (x) mide la distancia del equilibrio de la masa situada en el x . Las fuerzas ejercidas en la masa $m$ en la localización $x+h$ son: =m del $F\_\; del\; \{\backslash \; mathit\; \{Newton\}\}\; \backslash \; cdot\; a\; (t)=m\; \backslash \; cdot$ $F\_\; del$

l \ mathit {Hooke} = F_ {x+2h} + F_x = k \ ido {u (x+2h, t) - u (x+h, t)} \ derecho + k - u (x+h, t)

La ecuación del movimiento para el peso en el x+h de la localización es dada comparando estas dos fuerzas: $m\; del$

l {\ partial^2u (x+h, t) \ sobre \ t^2 parcial} = k

donde la función del tiempo del u ( x ) se ha hecho explícita.

Si el arsenal de pesos consiste en los pesos del N espaciados uniformemente sobre el L de la longitud = el h del N del M de la masa total = el m del N, y la tiesura total K del arsenal = el k / N podemos escribir la ecuación antedicha como: $del$

l {\ partial^2u (x+h, t) \ sobre \ t^2 parcial} = {KL^2 M} {u (x+2h, t) - 2u (x+h, t)+u (x, t) \ sobre h^2}

Tomando el $N\; \backslash \; el\; rightarrow\; \backslash \; el\; infty\; del\; límite,\; h\; \backslash \; el\; rightarrow\; 0$ (y la suavidad asumida) uno consigue: $del$

l {\ partial^2 u (x, t) \ sobre \ t^2 parcial} = {KL^2 \ sobre M} {\ partial^2 u (x, t) \ sobre \ x^2 parcial}

( KL²) /el M es el cuadrado de la velocidad de la propagación en este caso particular.

Solución del problema de valor inicial

La solución general a la ecuación de onda escalar unidimensional $del$

l {\ partial^2 u \ sobre \ t^2 parcial} = c^2 {\ partial^2 u \ sobre \ x^2 parcial}

fue derivado por el d'Alembert . La ecuación de onda se puede escribir en la forma del factor el $del$

l \ se fue \ frac {\ parte} {\ parte t} - c \ frac {\ parte} {\ parte x} \ derecho \ a la izquierda \ frac {\ parte} {\ parte t} + c \ frac {\ parte} {\ parte x} \ derecho u = 0. \,

Por lo tanto, si el F y el G son funciones arbitrarias, entonces cualquie suma de forma

$u\; (x,\; t)\; =\; F\; (x-ct)\; +\; G\; ()\; \backslash ,\; de\; x+ct$

satisfará la ecuación de onda. Los dos términos son ondas que viajan: cualquier punto en la forma de onda dada por una discusión específica para el F o el G se moverá con el c de la velocidad en el delantero o al revés la dirección: remite para el F y al revés para el G . Estas funciones se pueden determinar para satisfacer condiciones iniciales arbitrarias: =f del $u\; del$

l (x, 0) (x) \, =g del $u\_t\; del$
de (x, 0) (x) \,

El resultado es la fórmula de D'Alembert: $u\; del$

l (x, t) = \ frac {f (x-ct) + f (x+ct)}{2} + \ frac {1} {2c} \ ^ del int_ {x-ct} {x+ct} g ds

En el sentido clásico si $f\; (x)\; \backslash \; en\; C^k$ y $g\; (x)\; \backslash \; en\; el$ u\; de\; C^\; \{k-1\}$entonces\; (t,\; x)\; \backslash \; en\; C^k$. Sin embargo, el F de las formas de onda y el G pueden también ser funciones generalizadas, tales como la función delta. En ese caso, la solución se puede interpretar como impulso que viaje a la derecha o a la izquierda.

La ecuación de onda básica es una ecuación diferencial linear que significa que la amplitud de dos ondas que obran recíprocamente es simplemente la suma de las ondas. Esto significa también que un comportamiento de una onda puede ser analizado rompiendo para arriba la onda en componentes. El Fourier transforma rompe para arriba una onda en componentes sinusoidales y es útil para analizar la ecuación de onda.

Ecuación de onda escalar en tres dimensiones del espacio

La solución del problema del inicial-valor para la ecuación de onda en tres dimensiones del espacio se puede obtener de la solución para una onda esférica. Este resultado se puede entonces utilizar para obtener la solución en dos dimensiones del espacio.

Ondas esféricas

La ecuación de onda es sin cambios bajo rotaciones de los coordenadas espaciales, y por lo tanto uno puede esperar encontrar las soluciones que dependen solamente de la distancia radial de un punto dado. Tales soluciones deben satisfacer u_ del $del$

l {tt} - c^2 \ (u_ {rr} + \ u_r del frac {2} {r} \ derecho) =0 dejado. \,

Esta ecuación se puede reescribir como _ del $del$

l (ru) {tt} - _ c^2 (ru) {rr} =0; \,

el ru de la cantidad satisface la ecuación de onda unidimensional. Por lo tanto hay soluciones en la forma $u\; (t\; del$

l, r) = \ frac {1} {r} F (r-ct) + \, \, de G del frac {1} {r} (r+ct)

donde están funciones el F y el G arbitrarias. Cada término se puede interpretar como onda esférica que se amplíe o contrate con el c de la velocidad. Tales ondas son generadas por una fuente de punto, y hacen las señales agudas posibles cuya forma es alterada solamente por una disminución de la amplitud mientras que el r aumenta (véase una ilustración de una onda esférica en la derecha superior). Tales ondas existen solamente en casos del espacio con dimensiones impares. Afortunadamente, vivimos en un mundo que tenga tres dimensiones del espacio, de modo que poder comunicar claramente con las ondas acústicas y electromagnéticas.

Solución de un problema general del inicial-valor

La ecuación de onda es linear en el u y es dejada inalterada por traducciones en espacio y tiempo. Por lo tanto podemos generar una gran variedad de soluciones traduciendo y sumando ondas esféricas. Dejar el φ (ξ, η, ζ) sea una función arbitraria de tres variables independientes, y deja el F de la forma de onda esférica ser una función delta: es decir, dejar el F ser un límite débil de funciones continuas cuyo integral sea la unidad, pero cuya ayuda (la región donde está diferente a cero la función) se encoge al origen. Dejar una familia de ondas esféricas tener centro en (ξ, η, ζ), y dejar el r ser la distancia radial de ese punto. Así $del$

l r^2 = (x \ XI) ^2 + (y \ eta) ^2 + (z \ zeta) ^2. \,

Si el u es una superposición de tales ondas con el φ de la función ponderante, entonces

$u\; (t,\; x,\; y,\; z)\; =\; \backslash \; frac\; \{1\}\; \{4\; \backslash \; pi\; c\}\; \backslash \; iiint\; \backslash \; varphi,\; (\backslash \; XI\; \backslash \; eta,\; \backslash )\; \backslash \; frac\; de\; la\; zeta\; \{\backslash \; delta\; (r-ct)\}\{r\}\; d\; \backslash \; XI\; \backslash ,\; d\; \backslash \; eta\; \backslash ,\; d\; \backslash \; zeta;\; \backslash ,$

el denominador 4πc es una conveniencia.

De la definición de la función delta, el u se puede también escribir como

$u\; (t,\; x,\; y,\; z)\; =\; \backslash \; frac\; \{\}\; \backslash \; iint\_S\; \backslash \; varphi\; (x\; +ct\; \backslash \; alfa,\; y\; +ct\; \backslash \; beta,\; z+ct\; \backslash \; gamma)\; de\; t\}\; \{4\; \backslash \; pi\; d\; \backslash ,\; \backslash ,\; de\; Omega$

donde están coordenadas en el S de la esfera de unidad, y ω el α, β, y γ es el elemento de área en el S . Este resultado tiene la interpretación que el u ( t, x ) es tiempos del t que el valor medio del φ en una esfera del ct del radio se centró en el x : $u\; (t,\; x,\; y\; del$

l, z) = t M_ {ct}. \,

Sigue eso $u\; (0,\; x,\; y\; del$

l, z) = 0, \ u_t del patio (0, x, y, z) = \ phi (x, y, z). \,

El valor medio es una función uniforme del t, y por lo tanto si, \, del $v\; del$

l (t, x, y, z) = \ frac {\ parte} {\} \ dejado de la parte t (t M_ {ct} \ derecho)

entonces $v\; del\; (0,\; x,\; y,\; z)\; =\; \backslash \; PSI\; (x,\; y,\; z),\; \backslash \; v\_t\; del\; patio\; (0,\; x,\; y,\; z)\; =\; 0.\; \backslash ,$

Estas fórmulas proporcionan la solución para el problema del inicial-valor para la ecuación de onda. Demuestran que la solución en un dado P del punto, dado (el t, el x, el y, el z ) depende solamente de los datos sobre la esfera del ct del radio que es intersecado por el cono de la luz del extraído al revés del P . Hace el no depende de datos del interior de esta esfera. Así el interior de la esfera es una laguna para la solución. Este fenómeno se llama el principio de Huygens del . Es verdad para los números impares de la dimensión del espacio, a excepción de una dimensión. No se satisface en incluso dimensiones del espacio. El fenómeno de lagunas se ha investigado extensivamente en el Atiyah, el Bott y el Gårding (1970, 1973).

Ecuación de onda escalar en dos dimensiones del espacio

En dos dimensiones del espacio, la ecuación de onda está u_ del $del$

l {tt} = c^2 \ ido (u_ {xx} + u_ {yy} \ derecho). \,

Podemos utilizar la teoría tridimensional para solucionar este problema si miramos el u como función en tres dimensiones que sea independiente de la tercera dimensión. Si $u\; (0,\; x,\; y)=0,\; \backslash \; u\_t\; del\; patio\; (0,\; x\; del$

l, y) = \ phi (x, y), \,

entonces la fórmula tridimensional de la solución se convierte

$u\; (t,\; x,\; y)\; =\; tM\_\; \{ct\}\; =\; \backslash \; frac\; \{\}\; \backslash \; iint\_S\; \backslash \; phi\; (x\; +,\; \backslash ,\; y\; +\; ct\; \backslash \; beta\; del\; ct\; \backslash \; de\; la\; alfa)\; d\; \backslash ,\; \backslash ,\; de\; t\}\; \{4\; \backslash \; pi\; deOmega$

donde están los primeros dos coordenadas en la esfera de unidad, y dω el α y β es el elemento de área en la esfera. Este integral se puede reescribir como integral sobre el D del disco con el centro ( x, y ) y el ct del radio:

$u\; (t,\; x,\; y)\; =\; \backslash \; frac\; \{1\}\; \{\}\; \backslash \; iint\_D\; \backslash \; frac\; de\; 2\; \backslash \; pi\; c\; \{\backslash \; phi\; (x+\; \backslash \; XI,\; y\; +\; \backslash \; eta)\}\{\backslash \; raíz\; cuadrado\; \{(ct)\; ^2\; -\; -\; \backslash \; xi^2\; \backslash \; eta^2\}\}\; d\; \backslash \; XI\; \backslash ,\; d\; \backslash \; eta.\; \backslash ,$

Es evidente que la solución en (el t, el x, el y ) depende no sólo de los datos sobre el cono ligero donde $del$

l (x - \ XI) ^2 + (- \ eta de y), \, de ^2 = de c^2 t^2

pero también en los datos que son interiores a ese cono.

Problemas con límites

Una dimensión del espacio

Una secuencia flexible que se estira entre dos puntos del x = el 0 y el x = el L satisface la ecuación de onda para el t >0 y 0 < el x < el L . En los puntos del límite, el u puede satisfacer una variedad de condiciones de límite. Una forma general que es apropiada para los usos es $del$

l - u_x (t, 0) + un u (t, 0) = 0, \, u_x del $del$

l (t, L) + b u (t, L) = 0, \,

donde están no negativos el un y el b . El caso donde u se requiere para desaparecer en una punto final es el límite de esta condición cuando el respectivo un o el b se acerca a infinito. El método de separación de las variables consiste en buscar soluciones de este problema en la forma especial $u\; (t\; del$

l, x) = T (t) v (x). \,

Una consecuencia es ese $del\; \backslash \; =\; \backslash \; frac\; \{v\; \}\; \{v\}\; del\; frac\; \{\}\; de\; T\; \{c^2T\}\; =\; -\; \backslash \; lambda.\; \backslash ,$

El λ del valor propio debe ser resuelto de modo que haya una solución no trivial del problema del valor límite, \, + \ lambda v=0 del del $v\; del$

l $del$

l - v'(0) + un v (0) = 0, \ v'(del patio L) + B. \,

Éste es un caso especial del problema general de la teoría de Sturm-Liouville. Si un y de b son positivos, los valores propios son todos positivos, y las soluciones son funciones trigonométricas. Una solución que satisface las condiciones iniciales cuadrado-integrables para el de u y el de u_t se puede obtener de la extensión de estas funciones en la serie trigonométrica apropiada.

Varios espacian dimensiones

La teoría de valor unidimensional del inicial-límite se puede ampliar a un número arbitrario de dimensiones del espacio. Considerar un D del dominio en el m - espacio dimensional del x, con el B del límite. Entonces la ecuación de onda debe ser satisfecha si el x está en el D y $t>0$. En el límite del D, el u de la solución satisfará $\backslash \; frac\; del$

l {\ parte u} {\ parte n} +, \, de u =0

donde está el normal exterior de la unidad al B, y el n un es una función no negativa definió en el B . El caso donde el u desaparece en el B es un caso de limitación para el al infinito inminente de . Las condiciones iniciales son $u\; (0\; del$

l, x) = f (x), \ u_t=g del patio (x), \,

donde el f y el g se definen en el D . Este problema puede ser solucionado ampliando el f y el g en las funciones propias del Laplacian en el D, que satisfacen las condiciones de límite. Así el v de la función propia satisface + \, \, de la lambda v = 0 del $\backslash \; del\; nabla\; \backslash \; del\; cdot\; \backslash \; del\; nabla\; del$

l v

en el D, y $\backslash \; frac\; del$

l {\ parte v} {\ parte n} +, \, de v =0

en el B .

En el caso de dos dimensiones del espacio, las funciones propias se pueden interpretar como los modos de vibración de un parche de tambor estirado sobre el B del límite. Si el B es un círculo, después estas funciones propias tienen un componente angular que sea una función trigonométrica del θ polar del ángulo, multiplicado por una función de Bessel Del (de la orden del número entero) del componente radial. Otros detalles están en la ecuación de Helmholtz.

Si el límite es una esfera en tres dimensiones del espacio, los componentes angulares de las funciones propias son los armónicos esféricos, y los componentes radiales son las funciones de Bessel Del de la orden del mitad-número entero.

Ecuación de onda no homogénea en una dimensión

La ecuación de onda no homogénea en una dimensión es la siguiente: u_ del

$c^2\; del\; \{x\; x\}\; (x,\; t)\; -\; u\_\; \{t\; t\}\; (x,\; t)\; =\; s\; (x,\; t)$ con las condiciones iniciales dadas cerca =f del $u\; del$

l (x, 0) (=g del $u\_t\; del$
de x) (x, 0) (x).

Los $s\; de\; la\; función\; (x,\; t)$ a menudo se llama la función de la fuente porque describe en la práctica los efectos de las fuentes de ondas en el medio que las lleva. Los ejemplos físicos de las funciones de la fuente incluyen la fuerza que conduce una onda en una secuencia, o la densidad del carga o corriente en el calibrador de Lorenz del electromagnetismo .

Un método para solucionar el problema de valor inicial (con los valores iniciales según lo presentado arriba) es aprovecharse de la característica de la ecuación de onda que sus soluciones obedecen causalidad. Es decir, para cualquier $del\; punto\; (x\_i,\; t\_i)$, el valor del $u\; (x\_i,\; t\_i)$ depende solamente de los valores del $f\; (x\_i\; +\; t\_i\; de\; c)$ y del $f\; (x\_i\; -\; t\_i\; de\; c)$ y los valores del $g\; de\; la\; función\; (x)$ entre el $(x\_i\; -\; t\_i\; de\; c)$ y el $(x\_i\; -\; t\_i\; de\; c)$. Esto se puede ver en la fórmula de D'Alembert, indicada arriba, donde están las únicas estas cantidades que aparecen en ella. Físicamente, si la velocidad máxima de la propagación es $c$, después ninguna parte de la onda que no puede propagar a un punto dado por un rato dado puede afectar a la amplitud en el mismo punto y tiempo.

En términos de encontrar una solución, esta característica de la causalidad significa que para cualquier punto dado en la línea que es considerada, la única área que necesita ser considerada es el área que abarca todos los puntos que podrían causal afectar al punto que era considerado. Denotar el área que afecta ocasional al $del\; punto\; (x\_i,\; t\_i)$ como $R\_C$. Suponer que integramos la ecuación de onda no homogénea sobre esta región. el $\backslash \; el\; iint\; \backslash \; el\; limits\_\; del$

l {R_C} \ se fueron (el u_ c^2 {x x} (x, t) - el u_ {t t} (x, t) \ derecho) = \ iint \ limits_ {R_C} s (x del dx despegue, t) despegue del dx.

Para simplificar esto grandemente, podemos utilizar el teorema de Green para simplificar el lado izquierdo para conseguir el siguiente: el $\backslash \; el\; int\_\; del$

l {L_0 + L_1 + L_2} \ se fueron (- el u_x c^2 (x, t) despegue - = \ iint \ limits_ {R_C} s (x del u_t (x, t) dx \ derecho), t) despegue del dx.

El lado izquierdo ahora es la suma tres de la línea integrales a lo largo de los límites de la región de la causalidad. Éstos resultan ser bastante fáciles de computar $del$

l \ _ del int^ {x_i + t_i de c} {x_i - t_i de c} - dx del u_t (x, 0) = - \ _ del int^ {x_i + t_i de c} {x_i - t_i de c} g (x) dx.

En el antedicho, el término que se integrará con respecto a tiempo desaparece porque el intervalo de tiempo implicado es cero, así el $d\; t\; =\; 0$.

Para los otros dos lados de la región, vale el observar de que el $x\; \backslash \; P.\; c\; t$ es un constante, namingly el $x\_i\; \backslash \; P.\; c\; t\_i$, donde la muestra se elige apropiadamente. Usar esto, podemos conseguir el $dx\; \backslash \; P.\; c\; dela\; relacióndespegue\; =\; 0$, eligiendo otra vez la muestra correcta:

$\backslash \; int\_\; \{L\_1\}\; \backslash \; se\; fue\; (-\; u\_x\; c^2\; (x,\; t)\; despegue\; -\; u\_t\; (x,\; t)\; dx\; \backslash \; derecho)\; \backslash ,$

$=\; \backslash \; int\_\; \{L\_1\}\; \backslash \; a\; la\; izquierda\; (c\; u\_x\; (x,\; t)\; dx\; +\; c\; u\_t\; (x,\; t)\; despegue\; \backslash )\; derecho\; \backslash ,$ =\; c\; \backslash \; int\_\; \{L\_1\}\; d\; u\; (x\; del$$
de , t) = c u (x_i, t_i) - c f (x_i + t_i de c). \,

Y semejantemente para el segmento final del límite: $del$

l \ int_ {L_2} \ (- u_x c^2 (x, t) despegue - $=\; del\; del\; u\_t\; (x,\; t)\; dx\; \backslash \; derecho)$ - \ int_ {L_2} \ dejado (u_x de c (x, t) dx + $=\; u\_t\; de\; c\; (x,\; t)\; despegue\; \backslash \; derecho)$ - c \ int_ {L_2} d u (x, t) = - \ dejado (c f (x_i - t_i de c) - c u (x_i, t_i) \ derecho) $=\; dejado\; c\; u\; (x\_i,\; t\_i)\; del$
de - c f (x_i - t_i de c). \,

Agregando los tres resultados juntos y poniéndolos detrás en el integral original: $-\; del$

l \ _ del int^ {x_i + t_i de c} {x_i - t_i de c} g (x) dx + c u (x_i, t_i) - c f (x_i + t_i de c) + c u (x_i, t_i) - = \ iint \ limits_ {R_C} s (x de c f (x_i - t_i de c), t)
$2\; c\; u\; (x\_i,\; t\_i)\; de\; despegue$ del dx - \ _ del int^ {x_i + t_i de c} {x_i - t_i de c} g (x) dx - c f (x_i + t_i de c) - c f (x_i - t_i de c) = \ iint \ limits_ {R_C} s (x, t)
$2\; c\; u\; (x\_i,\; t\_i)\; de\; despegue$ del dx = \ _ del int^ {x_i + t_i de c} {x_i - t_i de c} g (x) dx + c f (x_i + t_i de c) + + \ iint \ limits_ {R_C} s (x de c f (x_i - t_i de c), t) = \ frac {f (x_i del $u\; del$
de despegue del dx (x_i, t_i) + t_i de c) + f (x_i - t_i de c)}{2} + \ frac {1} {2 c} \ int^ {x_i + t_i de c} _ {x_i - t_i de c} g (x) dx + \ frac {1} {2} \ int^ {t_i} _0 \ int^ de c {el x_i + c \ se fueron (t_i - t \ derecho)}_ {x_i - c \ se fue (t_i - t \ derecho)} s (x, t) despegue del dx. \,

En la ecuación pasada de la secuencia, los límites del integral sobre la función de la fuente se han hecho explícitos. Mirando esta solución, que es válida para todo el $de\; las\; opciones\; (x\_i,\; t\_i)$ compatible con la ecuación de onda, está claro que los primeros dos términos son simplemente fórmula de los d'Alembert, como se declaró anteriormente como la solución de la ecuación de onda homogénea en una dimensión. La diferencia está en el tercer término, el integral sobre la fuente.

Otros sistemas coordinados

En tres dimensiones, la ecuación de onda, cuando está escrita en los coordenadas cilíndricos elípticos, se puede solucionar por la separación de variables, llevando a la ecuación diferencial de Mateo.

Ver también

Ecuación de Helmholtz
Ecuación de la onda acústica
Ecuación de la onda electromagnética
Ecuación no homogénea de la onda electromagnética
Motor variable
Efecto de Doppler
Ecuación de Schrödinger
Justificación teórica y experimental para la ecuación de Schrödinger
Operador de Laplace
Los aspectos matemáticos de las ecuaciones de onda se discuten en el PDE dispersivo Wiki.

Zenithic

Participatory organization

Random links:

Hymenaios | Objeto inyectivo | Metsovo | Austeridad 2-8-0 de WD