Una ecuación diferencial es una ecuación matemática para una función desconocida de una o varia variables que relaciona los valores de la función sí mismo y de sus derivados de varias órdenes. Las ecuaciones diferenciales desempeñan un papel destacado en la ingeniería, la física, la economía y otra las disciplinas.

Introducción

Las ecuaciones diferenciales se presentan en muchas áreas de la ciencia y de la tecnología; siempre que una relación determinista que implica algunas cantidades continuamente cambiantes (modeladas por funciones) y sus índices de cambio (expresado como derivados) se sepa o se postule. Esto está bien ilustrado por los mecánicos clásicos, donde el movimiento de un cuerpo es descrito por su posición y velocidad mientras que el tiempo varía. Las leyes de Newton permiten que uno relacione la posición, la velocidad, la aceleración y las varias fuerzas actuando en el cuerpo y que indique esta relación como ecuación diferencial para la posición desconocida del cuerpo en función de tiempo. En muchos casos, esta ecuación diferencial se puede solucionar, rindiendo la ley del movimiento.

Las ecuaciones diferenciales se estudian matemáticamente de varias perspectivas distintas, referidas sobre todo a sus soluciones, las funciones del que hacen el ser verdad de la ecuación. Solamente las ecuaciones diferenciales más simples admiten las soluciones dadas por fórmulas explícitas. Muchas características de soluciones de una ecuación diferencial dada pueden ser resueltas sin encontrar su forma exacta. Si una fórmula autónoma para la solución no está disponible, la solución se puede aproximar numéricamente usar las computadoras. La teoría de los sistemas dinámicos pone énfasis en el análisis cualitativo de los sistemas descritos por ecuaciones diferenciales, mientras que muchos métodos numéricos se han desarrollado para determinar soluciones con un grado de exactitud dado.

Direcciones del estudio

El estudio de ecuaciones diferenciales es un campo ancho en el puro, las matemáticas aplicadas, la física, y la ingeniería . Todos estos campos se refieren a los tipos y a las características de ecuaciones diferenciales. Las matemáticas puras se centran en la existencia y la unicidad de soluciones, mientras que las matemáticas aplicadas acentúan la justificación rigurosa de los métodos para aproximar soluciones. En la física y la ingeniería, la complejidad de problemas reales dicta generalmente el cómputo de soluciones aproximadas. Las ecuaciones diferenciales modelan virtualmente cada proceso físico del movimiento celestial para tender un puente sobre diseño a las neuronas. A menudo, las ecuaciones diferenciales no tienen soluciones de la forma cerrada y se solucionan usar los métodos numéricos .

Los matemáticos también estudian las soluciones débiles (que confían en los derivados débiles, que son tipos de soluciones que no tengan que ser diferenciables por todas partes. Esta extensión es a menudo necesaria para que las soluciones existan, y también da lugar a características más físicamente razonables de soluciones, tales como presencia posible de choques para las ecuaciones del tipo hiperbólico.

El estudio de la estabilidad de las soluciones de ecuaciones diferenciales se conoce como teoría de la estabilidad.

Tipos de ecuaciones diferenciales

Una ecuación diferencial ordinaria (ODA) es una ecuación diferencial en la cual la función desconocida es una función de una sola variable independiente del .
Una ecuación diferencial parcial (PDE) es una ecuación diferencial en la cual la función desconocida es una función de las variables independientes múltiples y de sus derivados parciales del .
Una ecuación diferencial (DDE) del retardo es una ecuación diferencial en la cual el derivado de la función desconocida en cierto rato se da en términos de valores de la función en las horas anteriores.
Una ecuación diferencial estocástica (SDE) es una ecuación diferencial en cuál o más de los términos es un proceso estocástico, así dando por resultado una solución que sea sí mismo un proceso estocástico.
Una ecuación algebraica diferenciada (DAE) es una ecuación diferencial que abarca los términos diferenciados y algebraicos, dados en forma implícita.

Cada uno de esas categorías se divide en subcategorías lineares y no lineares. Una ecuación diferencial es el linear si la variable dependiente y todos sus derivados aparecen a la energía 1 y no hay productos o funciones de la variable dependiente. Si no la ecuación diferencial es el no linear. Así si el $u\text{'}\; denota\; el\; primer\; derivado\; de\; la\; función$ u$,\; entonces\; la\; ecuación$

$u\text{'}=\; u$

es el linear, mientras que la ecuación $u\; del$

l = u^2

es no linear. Las soluciones de una ecuación linear en la cual la función desconocida o su derivado o derivados aparezcan en cada término (ecuaciones homogéneas lineares del ) se pueden agregar juntas o multiplicar por un constante arbitrario para obtener soluciones adicionales de esa ecuación, pero allí no son ninguna manera general de obtener las familias de soluciones de ecuaciones no lineares, excepto cuando exhiben simetrías; ver las simetrías y los invariants . Las ecuaciones lineares aparecen con frecuencia como aproximaciones a las ecuaciones no lineares, y estas aproximaciones son solamente condiciones restrictas inferiores válidas.

Otra característica importante de una ecuación diferencial es su orden, que es la orden del derivado más alto (de una variable dependiente) que aparece en la ecuación. Por ejemplo, una ecuación diferencial de primer orden contiene solamente los primeros derivados, como ambos ejemplos arriba.

Conexión a las ecuaciones de diferencia

La teoría de ecuaciones diferenciales es estrechamente vinculada a la teoría de las ecuaciones de diferencia, en las cuales los coordenadas asumen solamente valores discretos, y la relación implica valores de la función desconocida o las funciones y los valores en los coordenadas próximos. Muchos métodos para computar las soluciones numéricas de ecuaciones diferenciales o para estudiar las características de ecuaciones diferenciales implican la aproximación de la solución de una ecuación diferencial por la solución de una ecuación de diferencia correspondiente. Ver también: Cálculo de escala de tiempo.

Universalidad de la descripción matemática

Una gran cantidad de leyes fundamentales de la física y de la química se pueden formular como ecuaciones diferenciales. En la biología y las ecuaciones diferenciales de la economía se utilizan al modelo el comportamiento de sistemas complejos. La teoría matemática de ecuaciones diferenciales primero se convirtió junto con las ciencias donde las ecuaciones habían originado y donde los resultados encontraron el uso. Sin embargo, los problemas diversos, originando a veces en campos científicos absolutamente distintos, pueden dar lugar a ecuaciones diferenciales idénticas. Siempre que suceda esto, la teoría matemática detrás de las ecuaciones se puede ver como principio unifying detrás de fenómenos diversos. Como ejemplo, considerar la propagación de la luz y del sonido en la atmósfera, y de ondas en la superficie de una charca. Todos se pueden describir por la misma ecuación diferencial parcial, la ecuación de onda del segundo de la orden, que permite que pensemos en luz y sonido como formas de ondas, como ondas familiares en el agua. La conducción del calor, cuya teoría fue desarrollada brillante por el José Fourier, es gobernada por otra ecuación diferencial parcial de la segunda orden, la ecuación del calor. Resultó que muchos procesos de la difusión, mientras que aparentemente son diferentes, son descritos por la misma ecuación; La ecuación Negra-Scholes en finanzas está por ejemplo, relacionado con la ecuación del calor.

Ecuaciones diferenciales famosas

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Del de Newton ley en segundo lugar en las dinámicas (mecánicos)
Ecuaciones de Hamilton en mecánicos clásicos
Decaimiento radiactivo en la física nuclear
Ley del enfriamiento de Newton en termodinámica
La ecuación de onda
Ecuaciones del maxwell en el electromagnetismo
La ecuación del calor en termodinámica
Ecuación de Laplace, que define las funciones armónicas * ecuación de Poisson
Ecuación de campo de Einstein en la relatividad general
La ecuación de Schrödinger en los mecánicos de Quantum
La ecuación geodésica
El Navier-Alimenta las ecuaciones en las dinámicas flúidas
La ecuación de Lotka-Volterra en las dinámicas de la población
La ecuación Negra-Scholes en las finanzas
Las ecuaciones de Cauchy-Riemann en el análisis complejo
Las ecuaciones del agua poco profunda