En las matemáticas, la ecuación diferencial hipergeométrica es una ecuación diferencial ordinaria (ODA) linear second-order cuyas soluciones son dadas por la serie hipergeométrica . Cada ODA linear second-order con tres puntos regulares del singular puede ser transformada en esta ecuación. Las soluciones son un caso especial de un Schwarz-Christoffel que traza a un triángulo con los arcos circulares como bordes. Éstos son importantes debido a el papel que desempeñan en la teoría de los grupos del triángulo de los cuales lo contrario al de Klein J-invariante puede ser construido. Así, las soluciones se juntan a la teoría de los grupos de Fuchsian y así de las superficies hiperbólicas de Riemann

Definición

La ecuación diferencial hipergeométrica es

$z\; (1-z)\; \backslash \; frac\; \{d^2w\}\; \{dz^2\}\; +\; \backslash \; se\; fue\; \backslash \; derecho\; \backslash \; frac\; \{dw\}\; \{DZ\}\; -\; abw\; =\; 0.$

Tiene tres puntos singulares regulares: 0. La generalización de esta ecuación a los puntos singulares regulares arbitrarios es dada por la ecuación diferencial de Riemann.

Soluciones

Las soluciones a la ecuación diferencial se construyen fuera del $de\; la\; serie\; hipergeométrica\; \backslash ;\; \_2F\_1\; (a,\; b;\; c;\; z).$ la ecuación tiene generalmente dos soluciones independientes linear . Uno comienza definiendo los valores $\backslash \; nu=a-b.$ $\backslash \; mu=c-a-b$ $\backslash \; lambda=1-c$ del

l

Éstos se conocen como los parámetros angulares para los puntos singulares regulares 0.1 y el ∞ respectivamente. Con frecuencia, el $\backslash \; nu\_0$ de la notación, el $\backslash \; nu\_1$ y el $\backslash \; el\; nu\_\; \backslash \; infty$, respectivamente, se utilizan para los parámetros angulares. A veces, el $\backslash \; mu\_0$ de los exponentes, el $\backslash \; mu\_1$, el $\backslash \; mu\_z$ y el $\backslash \; el\; mu\_\; \backslash \; infty$ se utilizan, con $\backslash \; mu\_0=\; \backslash \; frac\; \{1\}\; \{2\}\; (1\; \backslash \; nu\_0+\; \backslash \; nu\_1-\; \backslash \; nu\_\; \backslash \; infty)\; del$

l = $\backslash \; mu\_1=\; \backslash \; frac\; \{1\}\; \{2\}\; (1+\; \backslash \; nu\_0-\; \backslash \; nu\_1-\; \backslash \; nu\_\; \backslash \; infty)\; del$
de c-a = $\backslash \; mu\_z=\; \backslash \; frac\; del$
de b+1-c {1} {2} (1 \ nu_0- \ nu_1+ \ nu_ \ infty) = $\backslash \; mu\_\; \backslash \; infty=\; \backslash \; frac\; del$
de a {1} {2} (1+ \ nu_0+ \ nu_1+ \ nu_ \ infty) = 1 b

y $\backslash \; mu\_0+\; \backslash \; mu\_1+\; \backslash \; mu\_z+\; \backslash \; mu\_\; \backslash \; infty=2$.

El caso general, donde están los números enteros ningunos de los parámetros angulares se da abajo. Cuando uno o más de estos parámetros son números enteros, las soluciones se dan en las soluciones hipergeométricas de la ecuación del artículo.

Alrededor del z =0 del punto, las dos soluciones independientes están $\backslash \; phi\_0^\; del$

l {(0)}(z)= \; _2F_1 (a, b; c; z)

y $\backslash \; phi\_0^\; \{(1)\}\; (z)\; =\; z^\; \backslash lambdadel$

l \; _2F_1 (a+ \ lambda, b+ \ lambda; 1+ \ lambda; z)

Alrededor del z =1, uno tiene $\backslash \; phi\_1^\; del$

l {(0)}(z)= \; _2F_1 (a, b; 1 \ MU; 1-z)

y $del$

l \ phi_1^ {(1)} (z) = ^ (1-z) \ MU \; _2F_1 (b+ \ MU, a+ \ MU; 1+ \ MU; 1-z)

Alrededor de =&infin del z ; uno tiene $\backslash \; phi\_\; \backslash \; infty^\; del$

l {(0)}(z) = z^ {-} \; de a_2F_1 (a, a+ \ lambda; 1+ \ NU; z^ {- 1})

y

$\backslash \; phi\_\; \backslash \; infty^\; \{(1)\}\; (z)\; =\; z^\; \{-\}\; \backslash ;\; de\; b\_2F\_1\; (b,\; b+\; \backslash \; lambda;\; 1\; \backslash \; NU;\; z^\; \{-\; 1\})$

Éste es el sistema completo de soluciones. sistema de s de Kummer el 'de 24 soluciones canónicas puede ser obtenido aplicando cualquiera o ambas identidades siguientes a las ecuaciones antedichas: $del$

l \; _2F_1 (a, b; c; z)= (1-z) ^ {} \; del taxi_2F_1 (Ca, Cb; c; z)

y $del$

l \; _2F_1 (a, b; c; z)= (1-z) ^ {-} \; de a_2F_1 (a, Cb; c; z (z-1))

Coeficientes de la conexión

Los pares de soluciones se relacionan el uno al otro con los coeficientes de la conexión, correspondiendo a la continuación analítica de las soluciones. Denotar un par de soluciones como el vector de la columna el $\backslash \; Phi\_k\; del$

l = \ se fueron (\ comenzar {matriz} \ phi_k^ {(0)} \ \ \ phi_k^ {(1)} \ extremo {matriz} \) derecho

para el k =0,1, ∞. Los pares son relacionados por las matrices $\backslash \; Phi\_0\; =\; del$

l \ ido (\ comenzar {la matriz} \ frac {\ gamma (c) \ gamma (taxi)}{\ Gamma () \ gamma (Cb) del Ca} \; y \; \ frac {\ gamma (c) \ gamma (a+b-c)}{\ Gamma (a) \ de la gamma (b)} \ \ \; y \; \ \ \ frac {\ gamma (2-c) \ gamma (taxi)}{\ Gamma (1-a) \ gamma (1-b)} \; y \; \ frac {\ gamma (2-c) \ gamma (a+b-c)}{\ Gamma () \ gamma (b+1-c) de a+1-c} \ extremo {matriz} \ derecho) \ Phi_1

y $\backslash \; Phi\_0\; =\; del\; \backslash \; ido\; (\backslash \; comenzar\; \{la\; matriz\}\; e^\; \{-\}\; \backslash \; frac\; de\; i\; \backslash \; del\; pi\; a\; \{\backslash \; gamma\; (c)\; \backslash \; gamma\; (b-a)\}\{\backslash \; Gamma\; (Ca)\; \backslash \; gamma\; (b)\}\; \backslash ;\; y\; \backslash ;\; e^\; \{-\}\; \backslash \; frac\; de\; i\; \backslash \; del\; pi\; b\; \{\backslash \; gamma\; (c)\; \backslash \; gamma\; (a-b)\}\{\backslash \; De\; la\; gamma\; (Cb)\; \backslash \; de\; la\; gamma\; (a)\}\; \backslash \; \backslash \; \backslash ;\; y\; \backslash ;\; \backslash \; \backslash \; e^\; \{-\; i\; \backslash \; pi\; (a+1-c)\}\; \backslash \; frac\; \{\backslash \; gamma\; (2-c)\; \backslash \; gamma\; (b-a)\}\{\backslash \; Gamma\; ()\; \backslash \; gamma\; (1-a)\; de\; b+1-c\}\; \backslash ;\; y\; \backslash ;\; e^\; \{-\; i\; \backslash \; pi\; (b+1-c)\}\; \backslash \; frac\; \{\backslash \; gamma\; (2-c)\; \backslash \; gamma\; (a-b)\}\{\backslash \; Gamma\; ()\; \backslash \; gamma\; (1-b)\; de\; a+1-c\}\; \backslash \; extremo\; \{matriz\}\; \backslash \; derechos)\; \backslash \; Phi\_\; \backslash \; infty$

donde Γ es la función gamma .

Q-forma

La ecuación hipergeométrica se puede traer en la Q-forma $del$

l \ frac {d^2u} {dz^2} +Q (z) u (z) = 0

haciendo la substitución $w=uv$ y eliminando el término del primero-derivado. Uno encuentra eso $Q=\; del$

l \ frac {z^2 +z +c (2-c)}{4z^2 (1-z) ^2}

y el v es dado por la solución a

$\backslash \; frac\; \{d\}\; \{\}\; \backslash \; registro\; v\; de\; DZ\; (z)\; =\; \backslash \; frac\; \{CZ\; (a+b+1)\}\; \{2z\; (1-z)\}$

La Q-forma es significativa en su relación al derivado de Schwarzian.

Mapas del triángulo de Schwarz

Los mapas del triángulo de Schwarz del o las s-funciones de Schwarz del son cocientes de pares de soluciones. $s\_k\; del$

l (z) = \ frac {\ phi_k^ {(1)} (z)} {\ phi_k^ {(0)}(z)}

donde está uno el k de los puntos 0. La notación $D\_k\; del$

l, \ NU, \ MU (\ lambda; z)=s_k (z) también se utiliza a veces. Observar que los coeficientes de la conexión se convierten en las transformaciones de Möbius en los mapas del triángulo.

Observar que cada mapa del triángulo es el regular en el z =0,1 y ∞ respectivamente, con
$s\_1\; del$

$s\_0\; (z)=z^\; \backslash \; lambda\; (1+\; \backslash \; \{O\}\; (z)\; mathcal)$ del ^ \ MU (1+ (del z)= (1-z) \ mathcal {O} (1-z)) y $s\_\; del\; \backslash \; infty\; (z)=z^\; \backslash \; NU\; (1+\; \backslash \; \{O\}\; (1/z))$ mathcal

En el caso especial del λ, μ y ν verdadero, con entonces los s-mapas son los mapas conformales de la parte superior - media - el plano H de a los triángulos en la esfera de Riemann, limitada por los arcos circulares. Éste que traza es un caso especial de un mapa de Schwarz-Christoffel. Los puntos singulares 0.1 y ∞ se envían a las cimas del triángulo. Los ángulos del triángulo son π λ, π μ y π ν respectivamente.

Además, en el caso del $\backslash \; lambda=1/p$, del $\backslash \; mu=1/q$ y del $\backslash \; nu=1/r$ para el p, q, r de los números enteros, entonces el triángulo embaldosa la esfera, y los s-mapas son funciones inversas de las funciones de Automorphic para el $\backslash \; el\; langle\; p,\; q,\; r\; \backslash \; rangle=\; \backslash \; delta\; (p,\; q,\; r).$ del grupo del triángulo

Grupo de Monodromy

El monodromy de una ecuación hipergeométrica describe cómo las soluciones fundamentales cambian cuando están continuadas analítico alrededor de las trayectorias en el plano del z que vuelven al mismo punto. Es decir, cuando los vientos de la trayectoria alrededor de una singularidad del $\backslash ;\; \_2F\_1$, el valor de las soluciones en la punto final diferenciará del punto de partida.

Dos soluciones fundamentales de la ecuación hipergeométrica son relacionadas el uno al otro por una transformación linear; así el monodromy es un trazado (homomorfismo del grupo):

$\backslash \; pi\_1\; (z\_0,\; \backslash \; mathbb\; \{\}\; \backslash \; setminus\; \backslash \; \{0.1\; \backslash \})\; \backslash \; de\; C\; a\; GL\; (2,\; \backslash \; mathbb\; \{C\})$

donde está el grupo el $\backslash \; pi\_1$ fundamental . Es decir el monodromy es una representación linear de dos dimensiones del grupo fundamental. El grupo de Monodromy de la ecuación es la imagen de este mapa, es decir el grupo generado por las matrices monodromy.

Ver también

La segunda oda de la orden con cuatro puntos singulares regulares puede ser transformada siempre en la ecuación de Heun.
Grupo del triángulo
Grupo de Schottky
Derivado de Schwarzian

.

Zenithic

Francisco Acebras Hochstrasse

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