En las matemáticas, una ecuación diferencial ordinaria (o la ODA ) es una relación que contiene funciones de solamente una variable independiente, y uno o más de sus derivados con respecto a esa variable.

Un ejemplo simple es la ley de Newton en segundo lugar del movimiento, que lleva a la ecuación diferencial $m\; del$

l \ frac {d^2 x (t)} {dt^2} = F, \, (de x (t))

para el movimiento de una partícula del total m . El F de la fuerza depende generalmente de la posición del x de la partícula (t) en el t del tiempo, y así el x de la función desconocida (t) aparece en ambos lados de la ecuación diferencial, como se indica en el F ( x ( t ) de la notación).

Las ecuaciones diferenciales ordinarias deben ser distinguidas de las ecuaciones diferenciales parciales donde hay varias variables independientes que implican los derivados parciales

Las ecuaciones diferenciales ordinarias se presentan en muchos diversos contextos incluyendo geometría, mecánicos, astronomía y el modelado de la población. Muchos matemáticos famosos han estudiado ecuaciones diferenciales y han contribuido al campo, incluyendo el Newton, el Leibniz, la familia de Bernoulli, el Riccati, el Clairaut, el D'Alembert y el Euler .

Mucho estudio se ha dedicado a la solución de ecuaciones diferenciales ordinarias. En el caso donde está el la ecuación linear, puede ser solucionado por métodos analíticos. Desafortunadamente, la mayor parte de las ecuaciones diferenciales interesantes son no lineares y, con algunas excepciones, no se pueden solucionar exactamente. Las soluciones aproximadas se llegan usar aproximaciones de la computadora (véase las ecuaciones diferenciales ordinarias numéricas ).

Definiciones

Ecuación diferencial ordinaria

Dejar el y ser una función desconocida

$y:\; \backslash \; mathbb\; \{\}\; \backslash \; \backslash \; mathbb\; \{R\}$ de R

en el x con el $y^\; \{(i)\}$ el i - derivado del th del y, entonces una función $F\; del$

l (x, y, y', \ \, \ y^ de los puntos {(n-1)}) =y^ {(n)}

se llama una ecuación diferencial ordinaria (ODE) del del n de la orden . Para el vector funciones valoradas

$y:\; \backslash \; mathbb\; \{\}\; \backslash \; \backslash \; mathbb\; \{R\}\; ^m$ de R

llamamos el F un sistema del de las ecuaciones diferenciales ordinarias del m de la dimensión .

Cuando una ecuación diferencial del n de la orden tiene la forma $F\; del$

l \ ido (x, y, de y', y, \ \ puntea, \ y^ {(n)} \ derecho) = 0

se llama una ecuación diferencial implícita del mientras que la forma el $F\; del$

l \ se fue (x, y, \ \ de y', y, \ y^ de los puntos {(n-1)}\ derecho) = y^ {(n)}

se llama una ecuación diferencial explícita del .

Una ecuación diferencial no dependiendo del x se llama el autónomo .

Una ecuación diferencial reputa el linear si el F se puede escribir como combinación linear de los derivados del y $y^\; del$

l {(n)} = \ a_i del ^ del sum_ {i=1} {n-1} (x) y^ {(i)} + r (x)

con el funciones continuas de del _{de un i} ( x ) y del r ( x ) en el x . El r ( x ) de la función se llama el término de la fuente del ; si el r ( x ) =0 entonces nosotros llama el linear de la ecuación diferencial homogéneo, y de otra manera nos llamarlo no homogéneo.

Soluciones

Dado una ecuación diferencial $F\; del$

l (x, y, \ \ puntea de y', \ y^ {(n)}) =0

una función

$u:\; I\; \backslash \; subconjunto\; \backslash \; mathbb\; \{\}\; \backslash \; \backslash \; mathbb\; \{R\}$ de R

se llama la solución o la curva integral para el F, si el u es el n - épocas diferenciables en el I, F se define para todos

$(x,\; u,\; \backslash \; \backslash \; puntea,\; \backslash )\; \backslash \; patio\; x\; \backslash \; en\; de\; u\text{'},\; del\; u^\; \{(n)\}\; I$

y $F\; del$

l (x, u, \ \ puntea de u', \ u^ {(n)}) =0 \ patio x \ en I.

Dado dos soluciones

$u:\; J\; \backslash \; subconjunto\; \backslash \; mathbb\; \{\}\; \backslash \; \backslash \; mathbb\; \{R\}$ de R

y

$v:\; I\; \backslash \; subconjunto\; \backslash \; mathbb\; \{\}\; \backslash \; \backslash \; mathbb\; \{R\}$ de R

el u se llama la extensión de un v si &sub del I ; J y $u\; del$

l (x) = v (x) \ patio x \ en el I. \,

Una solución que no tiene ninguna extensión se llama una solución global .

Una solución general de un n - la ecuación de la orden del th es una solución que contiene las variables arbitrarias de $n$, correspondiendo a los constantes n de la integración . Una solución particular es derivada de la solución general fijando los constantes a los valores particulares, elegidos a menudo para satisfacer el sistema las “condiciones de la inicial o de límite”. Una solución singular es una solución que no se puede derivar de la solución general.

Ejemplos

considera también: Ejemplos las ecuaciones diferenciales

Reducción a un sistema de primera orden

Cualquier ecuación diferencial del n de la orden se puede escribir como sistema de ecuaciones diferenciales de primer orden del n . Dado una ecuación diferencial ordinaria explícita del n de la orden y de la dimensión 1, el $F\; del$

l \ se fue (x, y, \ \ del de y', y, \ y^ de los puntos {(n-1)}\ derecho) = y^ {(n)}

definimos una nueva familia de funciones desconocidas

$y\_n\; :=\; y^\; \{(n-1)\}.\; ¡\backslash !$

Podemos entonces reescribir la ecuación diferencial original como sistema de ecuaciones diferenciales con la orden 1 y el de la dimensión n.

l $y\_1^\; =\; y\_2$ $\backslash \; vdots$ del

l $y\_n^\; del$

l = F (y_n, \ puntos, y_1, x).

cuál se puede escribir sucinto en la notación del vector como = \ mathbf {F} (\ mathbf {y}, x) del ^ del $\backslash \; del\; mathbf\; del$

l {y} '

con $del$

l \ mathbf {y}: = (y, \ ldots, y_n).

Ecuaciones diferenciales ordinarias lineares

considera también:

linear de la ecuación diferencial

Un pozo entendía que la clase particular de ecuaciones diferenciales es ecuaciones diferenciales lineares. Podemos reducir siempre una ecuación diferencial linear explícita de cualquier orden a un sistema de ecuación diferencial de la orden 1

$y\_i\text{'}(x)\; =\; \backslash \; sum\_\; \{j=1\}\; ^n\; a\_\; \{i,\; j\}\; (x)\; y\_j\; +\; b\_i\; (x)\; \backslash ,\; \backslash \; mathrm\; \{,\}\; \backslash \; patio\; i\; =\; 1,\; \backslash \; ldots,\; n$

cuál podemos escribir sucinto usar la notación del vector como $del$

l \ ^ del mathbf {y} ' (x) = \ mathbf {A} + \ mathbf {b} (x) de (x) \ del mathbf {y} (x)

con $del$

l \ mathbf {y} (x): = (y_1 (x), \ ldots, $y\_n\; (x))$ \ mathbf {b} (x): = (b_1 (x), \ ldots, $b\_n\; (x))$ \ mathbf {A} (x): = (a_ {i, j} (x)) \, \ mathrm {,} \ patio i, j = 1, \ ldots, n.

Ecuaciones homogéneas

El sistema de las soluciones para un sistema de ecuaciones diferenciales lineares homogéneas de la orden 1 y del n de la dimensión $del$

l \ ^ del mathbf {y} ' (x) = \ mathbf {A} (x) \ mathbf {y} (x)

forma un n - espacio de vector dimensional . Dado una base para este $\backslash \; mathbf\; \{z\}\; \_1\; (x),\; \backslash \; ldots,\; \backslash \; \_n\; delespacio\; de\; vectordel\; mathbf\; \{z\}\; (x)$, que se llama un sistema fundamental, cada $de\; la\; solución\; \backslash \; mathbf\; \{s\}\; (x)$ se puede escribir como $del$

l \ mathbf {s} (x) = \ c_i del ^ del sum_ {i=1} {n} \ _i del mathbf {z} (x).

Los × del n ; matriz del n $del$

l \ mathbf {Z} (x): = (\ mathbf {z} _1 (x), \ ldots, \ _n del mathbf {z} (x))

se llama la matriz fundamental . En general no hay método para construir explícitamente un sistema fundamental, pero si se sabe una solución la reducción de D'Alembert se puede utilizar para reducir la dimensión de la ecuación diferencial por una.

Ecuaciones no homogéneas

El sistema de las soluciones para un sistema de ecuaciones diferenciales lineares no homogéneas de la orden 1 y del n de la dimensión $del$

l \ ^ del mathbf {y} ' (x) = \ mathbf {A} + \ mathbf {b} (x) de (x) \ del mathbf {y} (x)

puede ser construido encontrando el $\backslash \; el\; mathbf\; \{z\}\; \_1\; (x),\; \backslash \; ldots,\; \backslash \; \_n\; del\; mathbf\; \{z\}\; (x)$ del sistema fundamental a la ecuación homogénea correspondiente y a un $de\; la\; solución\; \backslash \; mathbf\; particulares\; \{p\}\; (x)$ a la ecuación no homogénea. Cada $de\; la\; solución\; \backslash \; mathbf\; \{s\}\; (x)$ a la ecuación no homogénea se pueden entonces escribir como $del$

l \ mathbf {s} (x) = \ c_i del ^ del sum_ {i=1} {n} \ _i del mathbf {z} (x) + \ mathbf {p} (x).

Una solución particular a la ecuación no homogénea se puede encontrar por el método de los coeficientes indeterminados o el método de variación de los parámetros .

Sistemas fundamentales para las ecuaciones homogéneas con coeficientes constantes

Para un sistema de ecuaciones diferenciales lineares homogéneas con coeficientes constantes

$\backslash \; mathbf\; \{y\}\; ^\; \text{'}\; (x)\; =\; \backslash \; mathbf\; \{\}\; \backslash \; mathbf\; \{y\}\; (x)$ de A

podemos construir explícitamente un sistema fundamental. El sistema se puede escribir como ecuación diferencial de la matriz

$\backslash \; mathbf\; \{Y\}\; ^\; \text{'}\; =\; \backslash \; mathbf\; \{\}\; \backslash \; mathbf\; \{Y\}$ de A

con la solución como matriz exponencial $e^\; del$

l {x \ mathbf {A}}

cuál es una matriz fundamental para la ecuación diferencial original. Para calcular explícitamente esta expresión primero transformamos el A en la forma normal de Jordania $e^\; del$

l {x \ mathbf {A}} = e^ {x \ mathbf {C} ^ {- 1} \ ^ del mathbf {J} \ del mathbf {C} {1}} = \ e^ del ^ del mathbf {C} {- 1} {x \ mathbf {J}} \ ^ del mathbf {C} {1}

y entonces evaluar los bloques de Jordania $J\_i\; del$

l = \ comenzar {el bmatrix} \ lambda_i y 1 y \; y \; \ \ \; y \ ddots y \ y \; de los ddots \ \ \; y \; y \ ddots y 1 \ \ \; y \; y \; y \ lambda_i \ extremo {bmatrix} del J por separado como $e^\; del\; \{x\; \backslash \; mathbf\; \{J\_i\}\}\; =\; e^\; \{\backslash \; lambda\_i\; x\}\; \backslash \; comenzar\; \{el\; bmatrix\}\; 1\; y\; x\; y\; \backslash \; y\; \backslash \; puntea\; del\; frac\; \{x^2\}\; \{2\}\; y\; \backslash \; frac\; \{x^\; \{n-1\}\}\; \{(n-1)!\}\; \backslash \; \backslash \; \backslash ;\; y\; \backslash \; ddots\; y\; \backslash \; ddots\; y\; \backslash \; ddots\; y\; \backslash \; de\; los\; vdots\; \backslash \; \backslash \; \backslash ;\; y\; \backslash ;\; y\; \backslash \; ddots\; y\; \backslash \; ddots\; y\; \backslash \; del\; frac\; \{x^2\}\; \{2\}\; \backslash \; \backslash \; \backslash ;\; y\; \backslash ;\; y\; \backslash ;\; y\; \backslash \; ddots\; y\; de\; x\; \backslash \; \backslash \; \backslash ;\; y\; \backslash ;\; y\; \backslash ;\; y\; \backslash ;\; y\; 1\; \backslash \; extremo\; \{bmatrix\}\; .$

Teorías de odas

Soluciones singulares

La teoría de las soluciones singulares de ordinario y de parcial las ecuaciones diferenciales eran un tema de la investigación a partir del tiempo de Leibniz, pero solamente puesto que el centro del siglo XIX lo hizo recibir la especial atención. Un trabajo valioso pero poco conocido sobre el tema es el de Houtain (1854). Darboux (que comienza en 1873) era a líder en la teoría, y en la interpretación geométrica de éstos las soluciones él abrió un campo que fue trabajado por vario escritores, notablemente Casorati y Cayley. A estes 3ultimo es debido (1872) la teoría de las soluciones singulares de ecuaciones diferenciales del primera orden según lo aceptado circa 1900.

Reducción a las cuadraturas

La tentativa primitiva haciendo frente a ecuaciones diferenciales tenía en la visión una reducción a las cuadraturas pues había sido la esperanza de los algebristas del décimo octavo-siglo encontrar un método para solucionar la ecuación general del grado de $n$th, así que era la esperanza de analistas encontrar un método general para integrar cualquier ecuación diferencial. El gauss (1799) demostró, sin embargo, que la ecuación diferencial resuelve sus limitaciones muy pronto a menos que se introduzcan los números complejos . Por lo tanto los analistas comenzaron a substituir el estudio de funciones, así abriendo un nuevo y fértil campo. Cauchy era el primer para apreciar la importancia de esta visión. La pregunta verdadera era después de eso ser, no si una solución es posible por medio de funciones sabidas o de sus integrales, pero si una ecuación diferencial dada es suficiente para la definición de una función del variable independiente o variables, y si es así cuáles son las características características de esta función.

Teoría de Fuchsian

Dos memorias por el Fuchs ( Crelle, 1866, 1868), inspiraron un acercamiento nuevo, elaborado posteriormente por Thomé y el Frobenius . El collar era un principio prominente del contribuidor en 1869, aunque su método para integrar a el sistema no linear fue comunicado a Beltrán en 1868. Clebsch (1873) atacó la teoría a lo largo de las líneas paralelas a ésas siguió en su teoría de Los integrales abelianos como estes 3ultimo se pueden clasificar según características de la curva fundamental que permanece sin cambiar debajo de a la transformación racional, así que Clebsch propusieron clasificar funciones trascendentes definidas por las ecuaciones diferenciales según las características invariantes de la correspondencia emerge f = 0 bajo transformaciones unas por racionales.

Teoría de la mentira

A partir de de la mentira el trabajo la 1870 puso la teoría de ecuaciones diferenciales en una fundación más satisfactoria. Él demostró a eso la integración las teorías de los más viejos matemáticos pueden, por la introducción de qué ahora se llaman los grupos de mentira que se refiera una fuente común; y eso ecuaciones diferenciales ordinarias que admiten las mismas dificultades comparables infinitesimales de las transformaciones actuales de la integración. Él también acentuó el tema de las transformaciones del contacto ( Berührungstransformationen ).

Teoría de Sturm-Liouville

La teoría de Sturm-Liouville es un método general para la resolución de las ecuaciones lineares de la segunda orden con coeficientes variables.

Ver también

Ecuaciones diferenciales de la física exterior
Ecuación de diferencia
El Laplace transforma aplicado a las ecuaciones diferenciales
Problema de valor de límite
Lista de los asuntos de los sistemas dinámicos y de las ecuaciones diferenciales ¡ Software libre INTEGRA - Freeware. Analizador de ecuaciones diferenciales ordinarias -->

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Zenithic

Chocolate box art

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