Una ecuación linear es una ecuación algebraica en la cual cada término es un constante o el producto del las épocas constantes la primera energía de un variable. Tal ecuación es equivalente a comparar un polinomio primer grado a cero. Estas ecuaciones se llaman " linear" porque representan las líneas rectas en los coordenadas cartesianos . Una forma común de una ecuación linear en las dos variables $x$ y $y$ es

l $y\; =\; MX\; +\; B.\; \backslash ,$

En esta forma, el $m$ constante determinará la cuesta o el gradiente de la línea; y el término constante $b$ determinará el punto en el cual la línea cruza el y - eje. Las ecuaciones que implican términos tales como x ², y ^1/3, y xy son el no linear del .

Formas para las 2.as ecuaciones lineares

Las ecuaciones lineares complicadas, tales como las arriba, se pueden reescribir usar las leyes de la álgebra elemental en varias formas más simples. En qué sigue el x, el y y el t están las variables; otras letras representan los constantes (sin especificar solamente los números fijos).

Forma general $Ax\; del\; del$
de

+ por + C = 0, \,
de donde no están ambo el A y el B igual a cero. La ecuación es escrita generalmente de modo que el ≥ 0 del A, por la convención. El gráfico de la ecuación es una línea recta, y cada línea recta se puede representar por una ecuación en la forma antedicha. Si el A es diferente a cero, después el x - intercepción, que es el x - el coordinado del punto donde el gráfico cruza el x - el eje ( y es cero), es − C / A . Si el B es diferente a cero, después el y - intercepción, que es el y - coordenada del punto donde el gráfico cruza el y - el eje (x es cero), es − El C / B, y la cuesta de la línea es − A / B .

Forma estándar el $Ax\; del\; del$
de

+ por =, \, de C
de donde están los números enteros el A, el B, y el C cuyo factor común más grande es 1, el A y el B no es igual a cero y, el A es no negativo. La forma estándar se puede convertir a la forma general, pero no siempre a el resto de formas si el A o el B es cero.

Cuesta-interceptar la forma

Fórmula del Y-axis

l del
$y\; =\; MX\; +,\; \backslash ,\; de\; b$ el

l donde está la cuesta el m de la línea y del b es el y - intercepción, que es el y - coordenada del punto donde la línea cruza el eje del y . Esto puede ser vista dejando el $x\; =\; 0$, que da inmediatamente $y\; =\; b$.

Fórmula del X-axis

= \ frac {y} {m} del $x\; del$

l del
+, \, de c el

l donde está la cuesta el m de la línea y del c es el x - intercepción, que es el x - coordenada del punto donde la línea cruza el eje del x . Esto puede ser vista dejando $y\; =\; 0$, que da inmediatamente el $x\; =\; c$.

forma de la Punto-cuesta

- y_1 = m \ cdot (x - x_1 $y)\; del\; del$
, el

l donde está la cuesta el m de la línea y (el x ₁, el y ₁) es cualquier punto en la línea. La punto-cuesta y cuesta-intercepta formas es fácilmente permutable. El
la forma de la punto-cuesta expresa el hecho que la diferencia en el coordenada del y entre dos puntos en una línea (es decir, - y_1) es proporcional a la diferencia en el x coordinado (es decir, $x\; -\; x\_1$ $y).\; El\; constante\; de\; la\; proporcionalidad\; es\; el\; m\; (la\; cuesta\; de\; la\; línea).\; La\; forma\; de\; la\; punto-cuesta\; del$
aparece de vez en cuando como el siguiente: $del$

l del
\ frac {y-y_1} {x-x_1} =m el

l sin embargo, en esta forma $x=x\_1$ no satisface la ecuación.

Forma de la intercepción + \ frac {y} {b} del $\backslash \; del\; frac\; del\; del$
de

{x} {c} =
de 1. donde el c y el b deben ser diferentes a cero. El gráfico de la ecuación tiene x - interceptar el c y el y - intercepta el b . La forma de la intercepción se puede convertir a la forma estándar fijando el A = 1 c, B = 1 b y el C = 1.

forma del Dos-punto
- k = \ frac {q - k $y\}\; \{p\; -\; h\}\; (x\; del$
del
de

- h),
de donde h del ≠ del p . El gráfico pasa a través de los puntos ( h, k ) y (el p, el q ), y tiene m de la cuesta = (&minus del q ; )/(del k &minus del p ; h ).

Forma paramétrica $x\; del\; del$
de

= T t + U \,
de y $y\; =\; V\; t\; +\; W.\; \backslash ,\; lasecuaciones\; simultáneasdel$
dos de en términos de variable t del parámetro, con el m de la cuesta = el V / T, x - interceptar (&minus del VU del ; )/ V y y del PESO del - interceptar (&minus del PESO del ; )/ T DEL VU DEL . El
esto se puede también relacionar con la forma del dos-punto, donde el T = &minus del p ; h, U = h, V = &minus del q ; k, y W = k : $x\; del\; =\; (p\; -\; h)\; t\; +\; h\; \backslash ,$
de y $y\; =\; (q\; -\; k)\; t\; +\; K.\; \backslash ,\; el\; t\; del$
de en este caso varía a partir de la 0 en el punto ( h, k ) a 1 en el punto ( p, q ), con valores del t entre 0 y 1 interpolación de abastecimiento y otros valores del t que proporciona la extrapolación .

Forma normal el $y\; \backslash \; pecado\; \backslash \; phi\; +\; x\; \backslash \; lechuga\; romana\; \backslash \; phi\; del\; del$
de

- p = 0, \,
de donde está el ángulo el φ de la inclinación del normal y del p es la longitud del normal. El normal se define para ser el segmento más corto entre la línea en la pregunta y el origen. La forma normal se puede derivar de forma general dividiendo todos los coeficientes por el $\backslash raíz\; cuadrada\{A^2\; +\; B^2\}$ y si el C > 0 multiplica todos los coeficientes por -1 para tener la negativa constante pasada. Esta forma también llamó Hesse forma estándar, nombrada después de un alemán Luis Otto Hesse del matemático.

Casos especiales el del
de

$y\; =\; B.\; \backslash ,$
de esto es un caso especial de la forma estándar donde el A = 0 y el B = 1, o de cuesta-interceptan la forma donde el M de la cuesta = 0. El gráfico es una linea horizontal con el y - interceptar el igual al b . No hay x - intercepción, a menos que el b = 0, en este caso el gráfico de la línea es el x - eje, y así que cada número verdadero es un x - intercepción. está un caso el $x\; del$

l del
= la C. \,
de esto especial de la forma estándar donde el A = 1 y el B = 0. El gráfico es una línea vertical con el x - interceptar el igual al c . La cuesta es indefinida. No hay y - intercepción, a menos que el c = 0, en este caso el gráfico de la línea es el y - eje, y así que cada número verdadero es un y - intercepción. el

l del
$y\; =\; y\; \backslash$ y el $x\; =\; X.\; \backslash ,$
de en este caso todas las variables y los constantes se ha anulado, dejar una declaración trivial verdadera. La ecuación original, por lo tanto, sería llamada una identidad y uno no consideraría normalmente su gráfico (sería el entero xy - plano). Un ejemplo es 2 el x + 4 el y = 2 (el x + 2 el y ). Las dos expresiones de cualquier lado del signo de igualdad son el siempre igual, no importa qué los valores se utilizan para el x y el y . $del$

l del
e = F. \, el

l en las situaciones donde la manipulación algebraica lleva a una declaración tal como 1 = 0, después la ecuación original se llama el contrario, significarlo es falso para cualquier valor del x y del y (es decir su gráfico sería el sistema vacío ) un ejemplo sería 3 el x + 2 = 3 &minus del x ; 5.

Conexión con funciones lineares y operadores

En todas las formas nombradas arriba (si se asume que el gráfico no es una línea vertical), el variable y es una función x, y el gráfico de esta función es el gráfico de la ecuación.

En el caso particular que la línea cruza con el origen, si la ecuación linear se escribe en el y de la forma = el f ( x ) entonces el f tiene las características: $f\; del\; (x\; +\; y)\; =\; f\; (x)\; +\; f\; (y)\; \backslash ,$ y $del\; f\; (una\; x)\; =,\; \backslash ,\; de\; f\; (x)$

donde está cualquier el un escalar. Una función que satisface estas características se llama una función linear, o más generalmente un mapa linear . Esta característica hace ecuaciones lineares particularmente fáciles solucionar y razonar alrededor.

Las ecuaciones lineares ocurren con gran regularidad en las matemáticas aplicadas . Mientras que se presentan absolutamente naturalmente al modelar muchos fenómenos, son particularmente útiles desde muchos que las ecuaciones no lineares de se pueden reducir a las ecuaciones lineares si se asume que las cantidades de interés varían solamente a un pequeño grado de un cierto " background" estado.

Ecuaciones lineares en más de dos variables

Una ecuación linear puede implicar más de dos variables. La ecuación linear general en variables del n es:

$a\_1\; del\; x\_1\; +\; a\_2\; x\_2\; +\; \backslash \; cdots\; +\; x\_n\; del\; a\_n\; =\; b.$

En esta forma, el un ₁, un ₂,…, un n del _{de es los coeficientes, x 1, x 2,…, el n} del _{del x es las variables, y el b es el constante. Al ocuparse de tres o pocas variables, es común substituir el x 1 por apenas el x, x 2 con el y, y el x 3 con el z, como apropiado.}

Tal ecuación representará (el n - 1) - el hiperplano dimensional en el n - espacio euclidiano (por ejemplo, un plano dimensional en el espacio 3).

Zenithic

Radasha Ho'ohuli

Random links:

Interpretación de sueños | Catalina, Arizona | P4M Mercator | Monitor multinacional | Dick, señoras de Kerr