En el electromagnetismo, las ecuaciones del maxwell del son un sistema de cuatro ecuaciones que primero fueron presentadas como grupo distinto en 1884 por el Oliverio Heaviside conjuntamente con el Willard Gibbs . Estas ecuaciones habían aparecido a través papel de s 1861 del maxwell vendedor James de 'titulado en líneas de fuerza físicas.

Esas ecuaciones describen la correlación entre el campo eléctrico, el campo magnético, la carga eléctrica, y la corriente eléctrica . Aunque el maxwell mismo fuera el autor de solamente uno de estas ecuaciones (en virtud de modificar una ecuación ya existente), él las derivó todas otra vez independiente conjuntamente con su modelo molecular del vórtice " de s de Faraday de '; líneas de force".

Aunque las ecuaciones del maxwell fueran sabidas antes de relatividad especial, pueden ser derivadas de la ley de culombio y de la relatividad especial si uno asume la invariación de la carga eléctrica . Para más información, ver los acoplamientos a la sección de la relatividad .

Historia

Ecuaciones del maxwell son un sistema de cuatro ecuaciones que aparecen original por separado en el documento del maxwell 1861 sobre líneas de fuerza físicas como ley de Faraday de la ecuación (54), el B (de 56) div de la ecuación = 0, la ley de Ampère de la ecuación (112) con la corrección del maxwell, y la ley del gauss de la ecuación (113). Expresan respectivamente cómo cambian los campos magnéticos producen campos eléctricos, la ausencia experimental de los monopoles magnéticos cómo las corrientes eléctricas y los campos eléctricos cambiantes producen los campos magnéticos (ley circuital de Ampère con la corrección del maxwell), y cómo los campos eléctricos del producto de las cargas eléctricas

El aspecto más significativo del trabajo del maxwell en el electromagnetismo es el término que él introdujo en la ley circuital de Ampère; el derivado del tiempo del campo eléctrico, conocido como dislocación actual del maxwell.

En el papel del maxwell 1865, el una teoría dinámica de la versión modificada del maxwell del campo electromagnético de la ley circuital de Ampère le permitió derivar la ecuación de la onda electromagnética, por lo tanto demostrando que la luz es una onda electromagnética.

Aparte de la enmienda del maxwell a la ley circuital de Ampère, ningunas de estas ecuaciones eran originales. El maxwell sin embargo re-las derivó únicamente hidrodinámico y mecánicamente usar su modelo del vórtice de las líneas de fuerza de Faraday.

En el 1884 Oliverio Heaviside, conjuntamente con el Willard Gibbs, agrupó estas ecuaciones juntas y las expuso en forma modificada en la notación moderna del vector. Es importante sin embargo observar eso al hacer eso, Heaviside utilizó la notación derivada del tiempo parcial en comparación con la notación derivada del tiempo total usada por Maxwell en la ecuación (54). La consecuencia de esto es que perdemos el término de B v X que apareció en la ecuación de la carta recordativa del maxwell (77). Hoy en día, el término de B v X se sienta al lado del grupo conocido como ecuaciones del maxwell y lleva la fuerza de Lorentz conocida .

Esta materia entera es confusa porque las ecuaciones del término del maxwell del también se utilizan para un sistema de ocho ecuaciones en el papel del maxwell 1865, una teoría dinámica del campo electromagnético, y esta confusión es confusa todavía adicional en virtud del hecho de que seises de esas ocho ecuaciones cada uno están escritos como tres ecuaciones separadas para el x, la y, y el z, hachas, por lo tanto permitiendo que incluso el maxwell les refiera como veinte ecuaciones en veinte desconocido.

Los dos sistemas de las ecuaciones del maxwell son casi físicamente equivalentes, aunque el término de B v X en la ecuación (d) de los ocho originales sea ausente del Heaviside moderno cuatro. La ecuación del Maxwell-Ampère en la nueva exposición de Heaviside es una amalgamación de dos ecuaciones en el sistema de ocho que el maxwell publicó en su papel 1865.

Resumen de las versiones modernas de Heaviside

Los símbolos en el en negrilla representan cantidades del vector, mientras que los símbolos en los it3alicos del representan cantidades escalares .

Caso general

El las ecuaciones se da en las unidades del SI. Ver el debajo de para las unidades CGS.

En materiales lineares

En materiales lineares, la densidad de la polarización, el $\ el mathbf {P}$ (en culombios por metro cuadrado), y la densidad de la magnetización, $\ mathbf {M}$ (en amperios por el metro), se dan cerca: = \ chi_e \ varepsilon_0 \ mathbf {E} del $\ del mathbf del l {P} = \ chi_m \ mathbf {H}$ del $\ del mathbf del l {M} y el \ el mathbf {D} y los campos del \ del mathbf {B} se relacionan con el \ el mathbf {E} y el \ el mathbf {H} cerca:$

$\ mathbf {D} \ \ = \ \ \ varepsilon_0 \ mathbf {E} + \ mathbf {P} \ \ = \ \ (1 + \) \ \ \$

de varepsilon_0 del chi_e \ del mathbf {E} \ \ \ varepsilon \ mathbf {E}

$\ mathbf {B} \ \ = \ \ \ mu_0 (\ + \ mathbf {M} del mathbf {H}) \ \ = \ \ (1 + \) \ \ \$

de mu_0 del chi_m \ del mathbf {H} \ \ \ MU \ mathbf {H}

donde:

el $\ el chi_e$ es la susceptibilidad eléctrica del material,

el $\ el chi_m$ es la susceptibilidad magnética del material,

el $\ el varepsilon$ es la permitividad eléctrica del material, y

el $\ MU$ es la permeabilidad magnética del material

(Esto se puede ampliar realmente para manejar los materiales no lineares también, haciendo el ε y el μ depende de la fuerza de campo; ver e. el Kerr y los efectos de Pockels)

En no-dispersivo, los medios, ε y μ isotrópicos son escalares independientes del tiempo, y las ecuaciones del maxwell reducen a = \ rho del $\ del nabla \ del cdot \ del varepsilon \ del mathbf del l {E} \ nabla \ cdot \ MU \ mathbf {H} del l = 0 \ nabla \ tiempos \ mathbf {E} del l = - \ MU \ frac {\ parcial \ mathbf {H}} {\ t parcial} \ nabla \ tiempos \ mathbf {H} del l = \ + \ varepsilon \ frac {\ parcial \ mathbf {E} del mathbf {J}} {\ t parcial}$

En un medio (homogéneo) uniforme, el ε y el μ son independiente de los constantes de la posición, y se pueden además intercambiar así con los derivados espaciales.

Más generalmente, el ε y el μ pueden ser los tensores (matrices rank-2 3×3) que describen los materiales (anisotrópicos) birrefringentes . También, aunque para muchos propósitos la época/la frecuencia-dependencia de estos constantes pueda ser descuidada, los objetos expuestos verdaderos de cada material una cierta dispersión material al lado de la cual el ε y/o el μ dependan de la frecuencia (y de la causalidad obligan a esta dependencia que obedezca las relaciones de Kramers-Kronig).

En vacío, sin cargas o corrientes

El vacío es un medio linear, homogéneo, isotrópico, dispersionless, y los constantes de la proporcionalidad en el vacío son denotados por el ε₀ y el μ₀ . = \ varepsilon_0 \ mathbf {E} del $\ del mathbf del l {D} = \ mu_0 \ mathbf {H}$ del $\ del mathbf del l {B} Puesto que no hay carga actual o eléctrica presente en el vacío, obtenemos las ecuaciones del maxwell en espacio libre: \ nabla \ cdot \ mathbf del l {E} = 0 \ nabla \ cdot \ mathbf del l {B} = 0 \ nabla \ tiempos \ mathbf {E} del l = - \ frac {\ parcial \ mathbf {B}} {\ t parcial} del l \ nabla \ épocas \ = \ \ \ mu_0 \ varepsilon_0 \ frac {\ parcial \ mathbf {E} del mathbf {B}} {\ t parcial}$

Estas ecuaciones tienen una solución en términos de ondas planas sinusoidales que viajan, con las direcciones del campo eléctrico y magnético ortogonales a una otra y la dirección de recorrido, y con los dos campos en la fase, viajando a la velocidad = \ frac {1} {\ raíz cuadrada {\ mu_0 \ varepsilon_0}} del $c del l El del maxwell descubrió que este c de la cantidad es la velocidad de la luz en el vacío, y así que la luz es una forma de la radiación electromágnetica . Los valores del SI de la corriente para la velocidad de la luz, del constante eléctrico y magnético se resumen en la tabla siguiente:$

Con los monopoles magnéticos

Las ecuaciones del maxwell del electromagnetismo se relacionan el eléctrico y los campos magnéticos con los movimientos de cargas eléctricas. La forma estándar de las ecuaciones preve una carga eléctrica, pero no postula ninguna carga magnética . A excepción de esto, las ecuaciones son simétricas bajo intercambio del campo eléctrico y magnético. De hecho, las ecuaciones simétricas pueden ser escritas cuando todas las cargas son cero, y ésta es cómo se deriva la ecuación de onda . Las ecuaciones completamente simétricas pueden también ser escritas si una permite la posibilidad del " charges" magnético; análogo a las cargas eléctricas. Con la inclusión de una variable para estas cargas magnéticas, decir el

\ el rho_m \,

, allí también ser " current" magnético; variable en las ecuaciones, _m del

\ del vec {J} \,

. Las ecuaciones del maxwell extendido, simplificadas por el nondimensionalization, son como sigue:

Las versiones de Heaviside detalladamente

Ley del gauss

La ley del gauss rinde las fuentes (y los fregaderos) de la carga eléctrica. = \ rho del $\ del nabla \ del cdot \ del mathbf del l {D} donde está la densidad el {\ rho} de carga eléctrica libre del (en unidades C / m ³), no incluyendo cargas del dipolo limitar en un material, y el \ el mathbf {D} es el campo eléctrico de la dislocación (en unidades de C/m ²). La solución a la ley del gauss del es la ley de culombio para las cargas inmóviles en vacío.$

La forma integral equivalente (por el teorema de la divergencia), también conocida como ley de los gauss, es:

$\ oint_S \ mathbf {D} \ cdot \ mathrm {} \ mathbf {A} de d = Q_ \ mathrm$ {incluido}

donde $\ el mathrm {} \ mathbf {A}$ de d está el área de un cuadrado diferenciado en la superficie cerrada A con un normal exterior de la superficie del revestimiento que define su dirección, y $Q_ \ mathrm$ {incluido} es la carga libre incluida por la superficie. (Aquí se asume que la superficie sí mismo es uncharged; si no hay una contribución adicional cargada por un factor el 1/2.)

En un material linear del, el $\ el mathbf {D}$ se relaciona directo con el $\ el mathbf {E}$ del campo eléctrico vía un constante material-dependiente llamado la permitividad, $\ epsilon$ : = \ varepsilon \ mathbf {E} del $, y aparece en: = \ frac {\ rho_t} {\ varepsilon_0}$ del $\ del nabla \ del cdot \ del mathbf del l {E} donde, otra vez, \ mathbf {E} es eléctrico campo (en unidades V / m ), \ rho_t es total carga densidad (cargas encuadernadas incluyendo), y \ epsilon_0 (aproximadamente 8.854 p [[el faradio F]]/ m ) es la permitividad del espacio libre. el \ epsilon se puede también escribir como \ varepsilon_0 \ varepsilon_r, donde está la permitividad relativa o su constante el \ epsilon_r dieléctrica del material.$

Comparar la ecuación de Poisson .

La divergencia del campo magnético

La divergencia de un campo magnético es siempre cero y por lo tanto las líneas del campo magnético son solenoidales. $\ nabla \ cdot \ mathbf del l {B} = 0$

el $\ el mathbf {B}$ es la densidad de flujo magnético (en unidades de teslas, T), también llamó la inducción magnética.

Forma integral equivalente:

$\ oint_S \ mathbf {B} \ cdot \ mathrm {} \ mathbf {A} de d = 0$

$\ el mathrm {} \ mathbf {A}$ de d es el área de un cuadrado diferenciado en la superficie $A$ con un normal exterior de la superficie del revestimiento que define su dirección.

Como la forma integral del campo eléctrico, esta ecuación trabaja solamente si el integral se hace sobre una superficie cerrada.

Esta ecuación se relaciona con la estructura del campo magnético porque indica que dado cualquie elemento de volumen, la magnitud neta de los componentes del vector que señalan hacia fuera de la superficie debe ser igual a la magnitud neta de los componentes del vector que señalan hacia adentro. Estructural, esto significa que las líneas del campo magnético deben ser lazos cerrados. Otra manera de ponerlo es que las líneas de campo no pueden originar de en alguna parte; el intentar seguir las líneas al revés a su fuente o remitirlas a su término lleva de nuevo en última instancia a la posición de salida. Por lo tanto, ésta es una formulación matemática de la declaración que no hay monopoles magnéticos

Ley de Faraday de la inducción electromágnetica

\ nabla \ tiempos \ mathbf {E} del l = - \ frac {\ parcial \ mathbf {B}} {\ t parcial}

La forma integral equivalente es (según alimentó el teorema ):

$\ oint_ {C} \ mathbf {E} \ cdot \ mathrm {d} \ mathbf {l} = - \ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} t} (\ int_ {S} \ mathbf {B} \ cdot \ mathrm {} \ mathbf {A} de d)$

donde

el $\ el scriptstyle \ el mathbf {E}$ es el campo eléctrico,

el $\ el scriptstyle C= \ S$ parcial es el límite del $superficial S$ .

(Exacto, alimenta teorema solamente llevar a $- \ int_S \ frac {\ parcial \ el mathbf B} {\ t parcial} \ cdot \ el mathrm {} \ mathbf {A}$ de d, pero por otra parte la invariación relativista entra en el juego y permite tirar del diferencial delante del integral, de común acuerdo con la observación importante que el voltaje de inducción de Faraday también aparece si el campo magnético no cambia en absoluto, en contraste con la superficie de la integración. En la versión diferenciada la invariación relativista se puede considerar solamente del sistema del conjunto de ecuaciones. Más detalles se pueden encontrar, por ejemplo, en U. Owen: La física teórica básica del - una descripción sucinta, Berlín y a otra parte, saltador 2007.)

Si un alambre que conduce, siguiendo el contorno $C$ , se introduce en el campo, la fuerza electromotriz supuesto en este alambre es igual al valor de estos integrales (sobre los campos en la ausencia del alambre!).

La muestra negativa fue establecida experimental por Faraday en 1831, una interpretación moderna común del libro de textos es que es necesario mantener la conservación de la energía. Es tan importante que incluso tiene su propio nombre, la ley de Lenz .

Esta ecuación relaciona el eléctrico y los campos magnéticos, pero también tiene un número de usos prácticos. En teoría de circuito toma la forma de la relación del voltaje inducido debido a una corriente cambiante en una inductancia, a veces llamada un revés o un emf trasero. Esta ecuación describe cómo los motores eléctricos y los generadores eléctricos funcionan. Específicamente, demuestra que un voltaje puede ser generado variando el flujo magnético que pasa con un área dada en un cierto plazo, por ejemplo uniformemente girando un lazo del alambre a través de un campo magnético fijo. En un motor o un generador, la excitación fija es proporcionada por el circuito del campo y el voltaje diverso se mide a través del circuito de la armadura . En algunos tipos de motores/de generadores, el circuito de campo se monta en el rotor y el circuito de la armadura se monta en el estator, pero otros tipos de motores/de generadores invierten la configuración.

Las ecuaciones del maxwell se aplican a un sistema coordinado derecho. Para aplicarlas sin modificar a un sistema zurdo invertirían la polaridad de los campos magnéticos (no contrarios, pero confusamente contra la convención).

Ley circuital de Ampère

La ley circuital de Ampère describe la fuente del campo magnético, $\ nabla \ tiempos \ mathbf {H} del l = \ + \ frac {\ parcial \ mathbf {D}} {\ t parcial}$ del mathbf {J}

donde está la fuerza el $\ el mathbf {H}$ de campo magnético (en unidades A / m ), relacionada con el $\ el mathbf {B}$ de la densidad de flujo magnético por un constante llamado la permeabilidad, μ ( $\ = \ MU \ mathbf {H}$ ) del mathbf {B}, y el $\ el mathbf {J}$ es la densidad corriente, definida cerca: = \ rho_q \ mathbf {v} del $\ del mathbf {J} donde está un campo el \ el mathbf {v} de vector llamado la velocidad de deriva que describe las velocidades de las ondas portadoras que tienen una densidad descrita por la función escalar ρ$ _q. El segundo término en el lado derecho de la ley de Circuital de Ampère se conoce como la dislocación actual.

Era el maxwell que agregó el término actual de la dislocación a la ley de Circuital de Ampère en la ecuación (112) en su documento 1861 sobre líneas de fuerza físicas. Esta adición significa que las ecuaciones de la original ocho del maxwell, o el Heaviside modificado cuatro ecuaciones se pueden combinar juntos para obtener la ecuación de la onda electromagnética.

El maxwell utilizó la corriente de la dislocación conjuntamente con las ocho ecuaciones originales en su de papel del 1864 una teoría dinámica del campo electromagnético para derivar la ecuación de la onda electromagnética en una manera mucho más incómoda que el se emplea que al usar el “Heaviside cuatro”. La mayoría de los libros de textos modernos derivan la ecuación de la onda electromagnética usar el “Heaviside cuatro”.

En espacio libre, el μ de la permeabilidad es la permeabilidad del espacio libre, μ₀, que se define para ser Wb / A exactamente 4π×10^-7 • m . También, la permitividad se convierte en la permitividad del espacio libre ε₀. Así, en espacio libre, la ecuación se convierte: $del l \ nabla \ épocas \ = \ + \ mu_0 \ varepsilon_0 \ frac {\ parcial \ mathbf {E} de mu_0 del mathbf {B} \ del mathbf {J}} {\ t parcial}$

Forma integral equivalente:

$\ oint_C \ mathbf {B} \ cdot \ mathrm {d} \ mathbf {l} = \ mu_0 I_ \ mathrm {cercado} + \ mu_0 \ varepsilon_0 \ int_S \ frac {\ parcial \ mathbf {E}} {\ t parcial} \ cdot \ mathrm {} \ mathbf {A}$ de d

el $del \ el mathbf {l}$ es el borde del superficial abierto A (cualquie superficie con el $\ el mathbf {l}$ del de la curva pues su borde hará), y el I _encircled es la corriente cercada por el $\ el mathbf {l}$ del de la curva (la corriente a través de cualquier superficie es definida por la ecuación: $\ comienzan {matriz} I_ {\ mathrm {a través} \ A} = \ int_S \ mathbf {J} \ cdot \ mathrm {d} \ mathbf {} \ extremo {matriz}$ ) de A. En algunas situaciones, esta forma integral de ley del Amperio-Maxwell aparece en:

$\ oint_C \ mathbf {} \ = \ mu_0 (I_ \ mathrm {enc} del cdot de B \ del mathrm {d} \ del mathbf {l} + I_ \ mathrm {d, enc})$

para

$\ varepsilon_0 \ int_S \ frac {\ parcial \ mathbf {E}} {\ t parcial} \ cdot \ mathrm {} \ mathbf {A}$ de d

a veces se llama la dislocación actual. El concepto actual de la dislocación era la innovación más grande del maxwell en teoría electromágnetica. Indica que un campo magnético aparece durante la carga o la descarga de un condensador. Con este concepto, y la ecuación de la ley de Faraday, maxwell podía derivar las ecuaciones de onda, y demostrando que la velocidad de onda prediced era igual que la velocidad medida de la luz, el maxwell afirmó que las ondas ligeras son ondas electromagnéticas.

Aquí otra vez, debido a la invariación relativista, el $\ internacional \ frac {\ parcial} de la expresión {\ t parcial}…$ se puede substituir por (\ la internacional del $\ del frac {\ mathrm d} {\ despegue del mathrm}…)$ .

Si la densidad de flujo eléctrico no varía rápido, el segundo término en el lado derecho (el flujo de la dislocación) es insignificante, y la ecuación reduce a la ley de amperio .

Ecuaciones de la original ocho del maxwell

En la parte III de una teoría dinámica del campo electromagnético, dada derecho " Ecuaciones generales del Field" electromágnetico; (página 480 del artículo y página 2 del acoplamiento del pdf), el maxwell formuló ocho ecuaciones etiquetadas A a H. Estas ocho ecuaciones eran conocerse como ecuaciones del maxwell. Hoy, sin embargo, las referencias a las ecuaciones del maxwell refieren generalmente a las nuevas exposiciones de Heaviside. Las versiones de Heaviside de las ecuaciones del maxwell contienen realmente solamente uno de los ocho originales, ley del gauss (ecuación del maxwell G). Otras de cuatro ecuaciones de Heaviside son una amalgamación de la ley del maxwell de las corrientes totales (ecuación A) con la ley circuital de Ampère (ecuación C). Esta amalgamación, que el maxwell mismo hizo original en la ecuación (112) en su " de papel 1861; En líneas físicas de Force", es el que modifica la ley circuital de Ampère para incluir la dislocación actual del maxwell.

Ecuaciones las ocho del maxwell original se pueden escribir en la notación moderna del vector como sigue:

; (a) La ley de corrientes totales $del \ _ del mathbf {J} {bebé} = \ + \ frac {\ parcial \ mathbf {D}} {\ t parcial}$ del mathbf {J}

; (b) Definición del potencial magnético del vector $\ = \ nabla \ épocas \ mathbf {A}$ de MU del \ del mathbf {H}

; (c) Ley circuital de Ampère $\ nabla \ tiempos \ mathbf {H} del = \ _ del mathbf {J} {bebé}$

; (d) La fuerza de Lorentz (campos eléctricos creados por la convección, inducción, y por las cargas) = \ MU \ mathbf {v} \ épocas \ mathbf {H} del $\ del mathbf del {E} - \ nabla \ phi$ - \ del frac {\ parcial \ mathbf {A}} {\ t parcial}

; (e) La ecuación eléctrica de la elasticidad

$\ mathbf {E} = \ frac {1} {\} \ mathbf {D}$ del épsilon

; (f) Ley de ohmio

$\ mathbf {E} = \ frac {1} {\} \ mathbf {J}$ de la sigma

; Ley del gauss del (G) = \ rho del $\ del nabla \ del cdot \ del mathbf del l {D} ; (h) Ecuación de la continuidad de la carga \ nabla \ cdot \ mathbf del l {J} = - \ frac {\ parcial \ rho} {\ t parcial}$

; El $del de la notación \ el mathbf {H}$ es el campo magnético, que el maxwell llamó el " intensity" magnético;. el $del \ el mathbf {J}$ es la densidad corriente eléctrica (con el _ del $\ del mathbf {J} {bebé}$ siendo la corriente total incluyendo corriente de la dislocación). el $del \ el mathbf {D}$ es el campo de la dislocación (llamado el " displacement" eléctrico; de Maxwell). el $\ rho$ del
es la densidad de carga libre (llamada el " cantidad de electricity" libre; de Maxwell). el $del \ el mathbf {A}$ es el potencial magnético del vector (llamado el " impulse" angular; de Maxwell). el $del \ el mathbf {E}$ es el campo eléctrico (llamado el " force" electromotor; de Maxwell, no ser confundido con la cantidad escalar que ahora se llama el la fuerza electromotriz ). el $\ phi$ del
es el potencial eléctrico (que el maxwell también llamó " potential" eléctrico;). el $\ sigma$ del
es la conductividad eléctrica (el maxwell llamó lo contrario de la conductividad el " resistance" específico;, qué ahora se llama la resistencia ).

El maxwell no consideraba los materiales totalmente generales; su formulación inicial utilizó el ε de la permitividad y el μ lineares, isotrópicos, nondispersive de la permeabilidad, aunque él también discutiera la posibilidad de materiales anisotrópicos.

El maxwell incluye un $\ MU \ mathbf {v} \ épocas \ término del mathbf {H}$ en su expresión para la fuerza electromotriz en la ecuación D, que corresponde a la fuerza magnética por carga de unidad en un conductor móvil con el $\ el mathbf {v}$ de la velocidad . Esto significa que la ecuación D es con eficacia la fuerza de Lorentz. Esta ecuación primero apareció en la ecuación (77) en el " de papel del maxwell 1861; En líneas físicas de Force" una absolutamente cierta hora antes de Lorentz pensó en ella. Hoy en día, la fuerza de Lorentz se sienta junto a las ecuaciones del maxwell como ecuación electromágnetica adicional que no se incluya en el sistema del maxwell.

Cuando el maxwell deriva la ecuación de la onda electromagnética en sus 1864 papel, él utiliza la ecuación D algo que la ley de Faraday de la inducción electromágnetica, que se utiliza en libros de textos modernos. Sin embargo, el maxwell cae el $\ MU \ mathbf {v} \ épocas \ término del mathbf {H}$ de la ecuación D cuando él está derivando la ecuación de la onda electromagnética, y él considera la situación solamente del marco de resto.

Ecuaciones del maxwell en unidades de CGS

Las ecuaciones antedichas se dan en el sistema internacional de las unidades, o el SI para el cortocircuito. En un sistema relacionado de la unidad, llamado los cgs (cortos para el centímetro-gramo-segundos ), las ecuaciones toman la forma siguiente: $\ nabla \ cdot \ mathbf del l {D} = 4 \ pi \ rho$ $\ nabla \ cdot \ mathbf del l {B} = 0$

$\ nabla \ época \ mathbf {E} = - \ frac {1} {} \ frac {\ parcial \ mathbf {B}} {\ t parcial}$ de c

$\ nabla \ época \ mathbf {H} = \ frac {1} {c} \ frac {\ parcial \ mathbf {D}} {\ t parcial} + \ frac {} \ mathbf {J}$ de 4 \ pi} {c

Donde está la velocidad el c de la luz en un vacío. Para el campo electromagnético en un vacío, las ecuaciones se convierten: $\ nabla \ cdot \ mathbf del l {E} = 0$ $\ nabla \ cdot \ mathbf del l {B} = 0$

$\ nabla \ época \ mathbf {E} = - \ frac {1} {} \ frac {\ parcial \ mathbf {B}} {\ t parcial}$ de c

$\ nabla \ época \ mathbf {B} = \ frac {1} {} \ frac {\ parcial \ mathbf {E}} {\ t parcial}$ de c

En este sistema de unidades la relación entre la inducción magnética, el campo magnético y la magnetización total toma la forma: = \ mathbf {H} + 4 \ pi \ mathbf {M} del $\ del mathbf del {B} Con la aproximación linear: \ mathbf {B} = (\ 1 + 4 \ pi \ chi_m \) \ mathbf {H}$

el $\ el chi_m$ para el vacío es cero y por lo tanto: = \ mathbf {H} del $\ del mathbf del l {B} y en los materiales magnéticos ferro o ferri donde está mucho más grandes el \ el chi_m de 1: del l \ mathbf {B} = 4 \ pi \ chi_m \ mathbf {H}$

La fuerza ejercida sobre una partícula cargada por el campo eléctrico y el campo magnético es dada por la ecuación de la fuerza de Lorentz : $del l \ mathbf {F} = q \ dejado (\ + \ frac del mathbf {E} {\ mathbf {v}} {c} \ épocas \ mathbf {B} \ derecho),$

donde $q \$ está carga en partícula y $\ mathbf {} \$ de v es la velocidad de partícula. Esto es levemente diferente SI - expresión de la unidad arriba. Por ejemplo, aquí magnético campo $\ mathbf {B} \$ tiene mismo unidad que eléctrico campo $\ mathbf {} \$ de E.

¡Formulación de las ecuaciones del maxwell en relatividad especial

considera también: Formulación de las ecuaciones del maxwell en

la relatividad especial

En relatividad especial, para más claramente expreso el hecho de que las ecuaciones del maxwell (en vacío) tomen la misma forma en cualquier sistema coordinado de inercia, las ecuaciones del maxwell del vacío se escribe en términos de Cuatro-vectores y tensores en el " manifestamente covariant" forma (unidades de los cgs): ¡

${4 \ pi \ sobre c} J^ {\ beta} = {\ parcial F^ {\} alfa \ beta \ encima {\ x^ parcial {\ alfa}}} \ \ stackrel {\ mathrm {def}} {=} \ \ partial_ {\ alfa} F^ {\ alfa \ beta} \ \ stackrel {\ mathrm {def}} {=} \ {F^ {\ alfa \ beta}} _ {, \} \, \! de la alfa$ ,

$0 = \ partial_ {\ gamma} F_ {\ alfa \ beta} + \ partial_ {\ beta} F_ {\ gamma \ alfa} + \ partial_ {\ alfa} F_ {\ beta \ gamma} \ \ stackrel {\ mathrm {def}} {=} \ {F_ {\ alfa \ beta}} _ {, \ gamma} + {F_ {\ gamma \ alfa}} _ {, \ beta} + {F_ {\ beta \ gamma}} \ \ stackrel del _ {, \ alfa} {\ mathrm {def}} {=}\ \ _ del epsilon_ {\ delta \ alfa \ beta \ gamma} {F^ {\ beta \ gamma}} {, \ alfa}$

donde está el el $\, J^ {\ alfa}$ 4 actual, el $\, F^ {\ alfa \ beta}$ es el tensor, el $de la fuerza de campo \, \ epsilon_ {\ alfa \ beta \ gamma \ delta}$ es el símbolo de Levi-Civita, y

${\ parcial \ encima {\ x^ parcial {\ alfa}}} \ \ stackrel {\ mathrm {def}} {=} \ \ partial_ {\ alfa} \ \ stackrel {\ mathrm {def}} {=} \ {} _ {, \ alfa} \ \ stackrel {\ mathrm {def}} {=} \ \ dejó (\, \ nabla del frac {\ parcial} {\ ct parcial} \ derecho)$

es el gradiente 4. Los índices repetidos se suman encima según la convención de la adición de Einstein. Hemos exhibido los resultados en varias notaciones comunes. Los componentes superiores y más bajos de un vector, de un $v^ \ alpha$ y de un $v_ \ alpha$ respectivamente, se intercambian con el fundamental g, e., =diag de g del (+1, - 1, - 1 de la matriz, - 1).

La primera ecuación del tensor es una expresión ecuaciones de las dos del maxwell no homogéneo, de la ley de los gauss y de la ley de amperio con la corrección del maxwell. La segunda ecuación es una expresión de las ecuaciones homogéneas, de la ley de Faraday de la inducción y de la ausencia de los monopoles magnéticos

Se ha sugerido que el componente de B v X de la fuerza de Lorentz se puede derivar de la ley de culombio y de la relatividad especial si uno asume la invariación de la carga eléctrica .

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