Ecuaciones diferenciales ordinarias numéricas

Las ecuaciones diferenciales ordinarias numéricas son la parte del análisis numérico que estudia la solución numérica de las ecuaciones diferenciales ordinarias (odas). Este campo también se sabe bajo el nombre la integración numérica, pero alguna gente reserva este término para el cómputo de los integrales

Muchas ecuaciones diferenciales no se pueden solucionar analítico, en este caso tenemos que satisfacernos con una aproximación a la solución. Los algoritmos estudiados aquí se pueden utilizar para computar tal aproximación. Un método alternativo es utilizar técnicas del cálculo para obtener una extensión de serie de la solución.

Las ecuaciones diferenciales ordinarias ocurren en muchas disciplinas científicas, por ejemplo en los mecánicos, la química, la biología, y la economía . Además, algunos métodos en las ecuaciones diferenciales parciales numéricas convierten la ecuación diferencial parcial en una ecuación diferencial ordinaria, que debe entonces ser solucionada.

El problema

Queremos aproximar la solución del

y'(del de la ecuación diferencial t) = de f (t, y (t)), \, =y_0 \ qquad \ qquad del qquad y (t_0) (1)

donde está una función el f que traza al ''' ^d del ''' R, y a la condición inicial '' y '' ₀ ∈ El ''' ^d del ''' R es un vector dado.

La formulación antedicha se llama un problema de valor inicial (IVP). El teorema de Picard-Lindelöf indica que hay una solución única, si el f es Lipschitz continuo. En cambio, los problemas de valor de límite '(BVPs) especifican (los componentes de) el de la solución y en más de un punto. Diversos métodos necesitan ser utilizados para solucionar BVPs, por ejemplo el método del Shooting, shooting múltiple o métodos globales como las diferencias finitas o métodos de la colocación

Observar que nos restringimos a las ecuaciones diferenciales del de primer orden de (significado que solamente el primer derivado del de y aparece en la ecuación, y a ningunos derivados más altos). Sin embargo, una ecuación higher-order se puede convertir fácilmente a una ecuación de primer orden introduciendo variables adicionales. Por ejemplo, el second-order del de la ecuación y; = el y del − se puede reescribir como dos ecuaciones de primer orden: y ' = z y z ' = y del −.

Métodos

Dos métodos elementales se discuten para dar al lector una sensación para el tema. Después de ése, los indicadores se proporcionan a otros métodos (que sean generalmente más exactos y eficientes). Los métodos mencionados aquí se analizan en la sección siguiente.

¡El método de Euler

considera también:

l método de Euler

Comenzando con la ecuación diferencial (1), substituimos el derivado y ' por el y'(del $t) \ aproximadamente \ frac {y (t+h) -, de y (t)} {h} \ qquad \ qquad (2)$ cuál rinde el $siguiente del de la fórmula y (t+h) \ aproximadamente y (t) + hf (t, y (t)). \ qquad \ qquad (3)$ Esta fórmula se aplica generalmente así. Elegimos un h del tamaño de paso, y construimos el t ₀, t ₁ de la secuencia; = t ₀ + h, t ₂ = t ₀ + 2 h, … Denotamos por el n del _{del y una estimación numérica del exacto y ( n} de la solución del _{del t ). Motivado por (3), computamos estas estimaciones por el y_ recurrente del ${n+1} = y_n + hf (t_n, y_n). \ qquad \ qquad (4)$ Éste es el método de Euler del (o el método delantero de Euler del, al contrario del método posterior de Euler del, ser descrito más abajo). El método se nombra después Leonhard Euler que lo describió en el 1768 .}

El método de Euler es un ejemplo de un método '' explícito '' de . Esto significa que el nuevo n+1 del _{del y del valor está definido en términos de cosas que se sepan ya, como el n} del _{del y .}

El método posterior de Euler

Si, en vez de (2), utilizamos el y'(del

t) \ aproximadamente \ frac {y (t) - y (el t-h)}{h}, \ qquad \ qquad (5)

conseguimos a el método posterior de Euler: y_ del

del {n+1} = y_n + hf (t_ {n+1}, y_ {n+1}). \ qquad \ qquad (6)

El método posterior de Euler es un método '' implícito '' de, significando que tenemos que solucionar una ecuación para encontrar el n +1 del _{del y . Uno utiliza a menudo la iteración del punto fijo o (una cierta modificación de) el método de Newton-Raphson para alcanzar esto. Por supuesto, cuesta hora de solucionar esta ecuación; este coste se debe tomar en la consideración cuando una selecciona el método para utilizar. La ventaja de métodos implícitos tales como (6) es que son generalmente más estables para solucionar una ecuación tiesa, significando que un más grande h del tamaño de paso puede ser utilizado.
Generalizaciones
El método de Euler no es a menudo bastante exacto. En términos más exactos, tiene solamente orden una (el concepto de la orden del se explica abajo). Esto hizo a matemáticos buscar métodos higher-order. Una posibilidad es utilizar no sólo el previamente computado n del _{del y del valor para determinar el n +1} del _{del y, pero para hacer que la solución depende más los valores del pasado. Esto rinde a supuesto el método de varias fases . Quizás el más simple es el método de la pídola que es segunda orden y (en línea general) confía en dos valores de tiempo.}
Casi todos los métodos de varias fases prácticos bajan dentro de la familia de métodos de varias fases lineares que tengan el y_ del $= h \ se fueron \ + \ beta_ {k-1} del beta_k f (t_ {n+k}, y_ {n+k}) f (t_ {n+k-1}, y_ {n+k-1}) + \ + \ beta_0 f (t_n, y_n) de los cdots \ derecho].$
Otra posibilidad es utilizar más puntos en el intervalo. Esto lleva a la familia de los métodos de Runge-Kutta nombrados después Carl Runge y Martin Kutta . Uno de sus métodos de la cuarto-orden es especialmente popular.
Ambas ideas pueden también ser combinadas. Los métodos resultantes se llaman los métodos lineares generales del .

Características avanzadas
Una buena puesta en práctica de uno de estos métodos para solucionar una ODA exige más que la fórmula del tiempo-escalonamiento. Es a menudo ineficaz utilizar el mismo tamaño de paso todo el tiempo, así que se han desarrollado los métodos variables del paso-tamaño del . Generalmente, el tamaño de paso se elige tales que el error (del local) por paso está debajo de un cierto nivel de tolerancia. Esto significa que los métodos deben también computar un indicador de error del, una estimación del error local.
Una extensión de esta idea es elegir dinámicamente entre diversos métodos de diversas órdenes (esto se llama a método variable de la orden del ). Los métodos de la extrapolación son de uso frecuente construir varios métodos de diversas órdenes.
Otras características deseables incluyen:
salida densa del : aproximaciones numéricas baratas para el intervalo entero de la integración, y no sólo en el t ₀, t ₁, t ₂ de los puntos,…
localización del acontecimiento del : encontrar los tiempos donde, por ejemplo, una función particular desaparece.
ayuda para la computación paralela .
cuando está utilizado para integrar con respecto a tiempo, medir el tiempo de la reversibilidad

Métodos alternativos
Muchos métodos no bajan dentro del marco discutido aquí. Algunas clases de métodos alternativos son:
métodos multiderivative del, que utilizan no sólo el f de la función pero también sus derivados. Esta clase incluye los métodos de Hermite-Obreschkoff del y los métodos de Fehlberg, así como los métodos como el método de Parker-Sochacki, que computan los coeficientes de la serie de Taylor del y de la solución recurrentemente.
métodos del para las segundas odas de la orden. Dijimos que todas las odas higher-order pueden ser transformadas a las odas de primer orden del form (1). Mientras que esto es ciertamente verdad, puede no ser la mejor manera proceder. Particularmente, trabajo de los métodos de Nyström del directo con las ecuaciones second-order.
los métodos geométricos de la integración se diseñan especialmente para las clases especiales de las odas (e., integradores simplécticos para la solución de las ecuaciones hamiltonianas ). Toman cuidado que la solución numérica respeta la estructura o la geometría subyacente de estas clases.
Análisis
El análisis numérico es no sólo el diseño de métodos numéricos, pero también su análisis. Tres conceptos centrales en este análisis son:
convergencia del : si el método aproxima la solución,
orden del : como de bien aproxima la solución, y
'' estabilidad '' : si los errores están amortiguados.
Convergencia
Un método numérico reputa el convergente si la solución numérica se acerca a la solución exacta mientras que el h del tamaño de paso va a 0. Más exacto, requerimos que para cada ODA (1) con un f de la función de Lipschitz y cada t ^* > 0,

$\ lim_ {h \ de to0+} \ max_ {n=0,1, \ de los puntos, \ lfloor t^*/h \ del rfloor} \| y_ {n, h} - y (del t_n) \| = 0.$
Todos los métodos mencionados anteriormente son convergentes. De hecho, la convergencia es una condición indispensable de la condición para cualquier esquema numérico.

Consistencia y orden
Suponer que es el método numérico = \ PSI (t_ {n+k} del y_ del $del l {n+k}; el y_n, \ puntea del y_ {n+1}, el y_ {n+k-1}; h). \,$ El error local método es el error cometido por un paso del método. Es decir, es la diferencia entre el resultado dado por el método, si se asume que no se hizo ninguÌn error en pasos anteriores, y la solución exacta: = \ PSI del $\ del delta^h_ del l {n+k} \ se fue (t_ {n+k}; y (t_n), \ puntea de y (t_ {n+1}), y (t_ {n+k-1}); h \) - y correcta (t_ {n+k}).$
Método reputa constante si

$\ lim_ {h \ a 0} \ frac {\ delta^h_ {n+k}} {h} = 0.$ Método tiene orden $p$ si

$\ mbox {como} h \ to0 del h^ {p+1}.$ Por lo tanto un método es constante si tiene una orden mayor de 0. El método (delantero) de Euler (4) y el método posterior de Euler (6) introdujeron sobre ambos tienen orden 1, así que son constantes. La mayoría de los métodos que son utilizados logran en la práctica una orden más alta. La consistencia es una condición necesaria para la convergencia, pero no suficiente; para que un método sea convergente, debe ser constante y el Cero-estable.
Un concepto relacionado es el error global del, el error continuo en todos los pasos uno necesita alcanzar un fijo t del tiempo. Explícitamente, el error global en el t del tiempo es el N del _{del y ; − y ( t ) donde del N ; = (&minus del t ; )/ h del t ₀. El error global de un método de un solo paso de la orden del th del p es O ( p del ^{del h ); particularmente, tal método es convergente. Esta declaración no es necesario verdad para los métodos de varias fases.}}

Estabilidad y tiesura artículo principal del del de
: Ecuación tiesa Para algunas ecuaciones diferenciales, uso del methods&mdash estándar; tal como el método de Euler, los métodos explícitos de Runge-Kutta, o el &mdash de varias fases de los métodos (e., métodos de Adams-Bashforth); inestabilidad del objeto expuesto en las soluciones, aunque otros métodos pueden producir soluciones estables. Este " behaviour" difícil; en la ecuación (que puede necesario no ser compleja sí mismo) se describe como tiesura del, y es causado a menudo por la presencia diversos escala de tiempo en el problema subyacente. Los problemas tiesos son ubicuos en la cinética química, la teoría de control, la mecánica de sólidos, la predicción de tiempo, la biología, y la electrónica .
Historia
Debajo está una cronología de algunos progresos importantes en este campo.
1768 del - el Leonhard Euler publica su método.
1824 - el Agustín Louis Cauchy prueba la convergencia del método de Euler. En esta prueba, Cauchy utiliza el método implícito de Euler.
1855 - primera mención de los métodos de varias fases del sofá Adams de Juan en una letra escrita por el F.
1895 - el Carl Runge publica el primer método de Runge-Kutta.
1905 - el Martin Kutta describe el método popular de Runge-Kutta de la cuarto-orden.
1910 - la fritada Richardson de Lewis anuncia su método de la extrapolación.
1952 - el Charles F. Curtiss y el José Oakland Hirschfelder acuñan las ecuaciones tiesas del término

Ver también
Integración de Verlet
Regla trapezoidal
Condición de Courant-Friedrichs-Lewy .
Zenithic
MicrokeratomeRandom links: Superhombre: Hijo rojo | Lista de clases de la complejidad | Ballyroan | Caws de Mary Ann | Púrpura del agente}

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