En ecuaciones simultáneas del de las matemáticas son un sistema de las ecuaciones que contienen variables múltiples. Este sistema se refiere a menudo como sistema del de las ecuaciones . Para solucionar ecuaciones simultáneas, el disolvente necesita utilizar las ecuaciones proporcionadas para encontrar el valor exacto de cada uno variable. El disolvente utiliza generalmente o un método gráfico (trazando todas las líneas y/o curvas en el mismo gráfico y encontrando los coordenadas exactos de su intersección), el método de matriz, el método de substitución, y/o el método de eliminación. Algunos libros de textos refieren al método de eliminación como el método de adición, puesto que implica el agregar de ecuaciones (o de múltiplos constantes de las ecuaciones dichas) a una otra, según lo detallado más adelante en este artículo.

Éste es un sistema de las ecuaciones lineares, también conocido como sistema linear de las ecuaciones :

\ comenzar {los casos} 2x + y = 8 \ \ x + y = 6 \ extremo {casos}

Solucionar esto implica el restar del x + el y = 6 a partir el 2 del x + el y = 8 (usar el método de eliminación) para quitar el y - variable, después simplificaión de la ecuación resultante para encontrar el valor del x, después substituir el x - valor en cualquier ecuación para encontrar el y .

La solución de este sistema es:

\ comenzar {los casos} x = 2 \ \ y = 4 \ extremo {casos}

cuál se puede también escribir como pidió los pares (2, 4), representando en un gráfico los coordenadas del punto de la intersección de las dos líneas representaron por las ecuaciones.

Encontrar soluciones

Si hay pocas ecuaciones independientes que variables, no todas las variables se pueden solucionar para, y así que una respuesta por lo menos una variable se debe expresar en términos de otras variables. Para solucionar generalmente un sistema exactamente, por lo menos una ecuación es necesaria para cada variable desconocida para la cual necesite ser solucionado. Si el número de ecuaciones independientes es igual que el número de variables, después potencialmente el sistema puede ser exactamente soluble, pero no tiene que ser. Esto ocurre con frecuencia en sistemas lineares si una ecuación es un múltiplo simple de la otra (representando la misma línea, e. 2 x + el y = 3 y 4 el x + 2 el y = 6) o si el cociente de variables semejantes en dos ecuaciones lineares es igual (representando las líneas paralelas, e. 2 x + el y = 3 y 6 el x + 3 el y = 7 donde está 3) el cociente de letras comparables. Debido a la importancia de esto, una frase en el " de la forma; Ecuaciones de E, unknowns" de U; (por ejemplo " 2 ecuaciones, unknowns" 3; o " 4 ecuaciones, unknowns" 4;) es de uso frecuente describir sistemas de ecuaciones. Si E = U o E < U, entonces el sistema tiene generalmente soluciones - generalmente finitas cuando E = U. Si, sin embargo, E > U, el sistema no tiene generalmente ninguna solución.

Los sistemas de dos ecuaciones en dos desconocido del verdadero-valor aparecen generalmente como uno de cinco diversos tipos, teniendo una relación al número de soluciones: Sistemas que representan sistemas de intersección de puntos tales como líneas y curvas, y que no están de uno de los tipos abajo. Esto se puede considerar el tipo normal, los otros que son excepcionales en alguno respecto. Estos sistemas tienen generalmente un número finito de soluciones, cada uno formado por los coordenadas de un punto de la intersección.

  • Sistemas que simplifican abajo a falso (por ejemplo, ecuaciones tales como 1 = 0). Tales sistemas no tienen ningún punto de la intersección y ninguna solución. Se encuentra este tipo, por ejemplo, cuando las ecuaciones representan líneas paralelas.
  • Sistemas en los cuales ambas ecuaciones simplifican abajo a una identidad (por ejemplo, el x = el x del − del 2x y 0 y = 0). Cualquier asignación de valores a las variables desconocidas satisface las ecuaciones. Así, hay un número infinito de soluciones: todos los puntos del plano.
  • Sistemas en los cuales las dos ecuaciones representan el mismo sistema de puntos: son matemáticamente equivalente (una ecuación se puede transformar típicamente en la otra con la manipulación algebraica). Tales sistemas representan líneas totalmente traslapadas, o las curvas, etc. Una de las dos ecuaciones es redundante y puede ser desechado. Cada punto del sistema de puntos corresponde a una solución. Generalmente, esto significa que hay un número infinito de soluciones.
  • Sistemas en cuál (y solamente uno) de las dos ecuaciones simplifica abajo a una identidad. Es por lo tanto redundante, y puede ser desechada, según el tipo anterior. Cada punto del sistema de puntos representados por la otra ecuación es una solución cuyo hay entonces generalmente un número infinito. El x de la ecuación 2 + el y 2 = 0 se puede pensar en como la ecuación de un círculo cuyo radio se ha encogido a cero, y así que representa un monopunto: ( x = 0, y = 0), desemejante de un círculo normal que contiene un infinito de puntos. Este y los ejemplos similares demostrar a razón por la que los dos tipos pasados descritos arriba necesitan el " de la calificación; usually". Un ejemplo de un sistema de ecuaciones del primer tipo descrito arriba con un número infinito de soluciones es dado por el x = | x |, y = | y | (donde la notación |•| denota la función del valor absoluto ), cuyas soluciones forman un cuadrante '' x '' - '' y '' plano. Otro ejemplo es el x = | y |, y = | x |, cuya solución representa un rayo .

    Método de substitución

    Los sistemas de ecuaciones simultáneas pueden ser duros de solucionar a menos que se utilice un acercamiento sistemático. Una técnica común es el método de substitución del : Encontrar una ecuación que se pueda cambiar para una variable, es decir, puede ser reescrita en el〉 del 〈VARIABLE de la forma = el〉 del 〈EXPRESSION, en los cuales la variable del lado izquierdo no ocurre en la expresión del lado derecho. Después, substituto que expresión donde esa variable aparece en las otras ecuaciones, de tal modo obteniendo un sistema más pequeño con pocas variables. Después que se ha solucionado un sistema más pequeño (sea por el uso adicional del método de substitución o por otros métodos), substituir las soluciones encontradas para las variables en la expresión antedicha del lado derecho.

    En este sistema de ecuaciones

    \ comenzar {los casos} x^2 + y^2 = 1 \ \ 2x + 4y = 0 \ extremo {casos}

    primero hacemos el x el tema de la segunda ecuación: x del = -2y \, y substituir este resultado en la primera ecuación: del (- 2y) ^2 + y^2 = 1. \, Después de la simplificación, esto rinde a de las soluciones = y \ P. \ raíz cuadrada {1 \ sobre 5} y substituyendo esto en el x = −2 el y obtenemos los valores correspondientes del x . Ahora tenemos las dos soluciones de nuestro sistema de ecuaciones:

    x = -2 \ raíz cuadrado {1 \ sobre 5}, \ y= \ raíz cuadrado {1 \ sobre 5} \ qquad \ mbox {y} \ qquad, \ y=- \ raíz cuadrada {1 \ sobre de x de = 2 \ raíz cuadrada {1 \ sobre 5} 5}. \,

    Método de eliminación

    La eliminación por la multiplicación juiciosa es el otro método de uso general para solucionar ecuaciones lineares simultáneas. Utiliza los principios generales que cada lado de una ecuación todavía iguala la otra cuando ambos lados son multiplicados (o divididos) por la misma cantidad, o cuando la misma cantidad se agrega (o se resta) de ambos lados. En la multiplicación/la división, se elige un factor de modo que cuando ambos lados tienen cantidades equivalentes agregadas de otra ecuación en el sistema (es decir, las ecuaciones se agregan), desaparezcan uno o más de las variables, las ecuaciones resultantes es representaciones todavía válidas en el sistema, y su número más pequeño de desconocido restantes así hace el sistema de ecuaciones más fácil solucionar. Pues las ecuaciones crecen más simples con la eliminación de algunas variables, una variable aparecerá eventual en forma completamente soluble, y este valor puede entonces ser " back-substituted" en ecuaciones previamente derivadas enchufando este valor para la variable. Típicamente, cada " back-substitution" puede entonces permitir que otra variable en el sistema sea solucionada.

    Matrices

    Los sistemas de ecuaciones se pueden también representar en términos de matrices, permitiendo que los varios principios de operaciones de la matriz sean aplicados práctico al problema. Los sistemas de las ecuaciones '' lineares '' simultáneas se estudian en la álgebra linear ; se solucionan usar la eliminación gausiana o la descomposición de Cholesky. Para determinar soluciones aproximadas al numéricamente de los sistemas generales en una computadora, el n - el método de Newton dimensional puede ser utilizado. La geometría algebraica es esencialmente la teoría de las ecuaciones polinómicas simultáneo . La cuestión del cómputo eficaz con tales ecuaciones pertenece a la teoría de la eliminación. Ver también la regla de Cramer, que computa el cociente de 2 determinantes para calcular la solución.

    Los modelos simultáneos de la ecuación son una forma del modelo estadístico bajo la forma de sistema de ecuaciones simultáneas lineares. Son de uso frecuente en la econometría .

    En la aritmética modular, los sistemas simples de las congruencias simultáneas se pueden solucionar por el método de la substitución sucesiva .

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