El tiempo discreto Fourier transforma

En las matemáticas, el tiempo discreto Fourier del transforma (DTFT) es una de las formas específicas del análisis de Fourier . Como tal, transforma una función en otra, que se llama la representación del dominio de frecuencia, o simplemente el " DTFT", de la función original (que es a menudo una función en el Tiempo-dominio ). Pero el DTFT requiere una función de entrada que sea el '' discreto ''. Tales entradas son creadas a menudo por el muestreo una función continua, como la voz de una persona.

La representación de la banda de frecuencias de DTFT es siempre una función periódica. Desde un período de la función contiene toda la información única, él es a veces conveniente decir que el DTFT es una transformación a un " finite" banda de frecuencias (la longitud de un período), algo que a la línea verdadera entera. más ourier transforma

Definición

Dado un sistema discreto del de los números verdaderos o complejos:, \; del $x del n \ en \ mathbb {Z}$ (números enteros ), el transform de Fourier del tiempo discreto de (o DTFT ) del $x \,$ es generalmente del written: $X del l (\ Omega) = \ ^ del sum_ {n=- \ infty} {\ infty} x \, e^ {- i \ Omega n}.$

Relación al muestreo

Su nombre implica que la secuencia {x} representa los valores (el del aka muestrea ) de una función del continuo-tiempo, $x (t) \,$ , en los momentos discretos en del time: el $t del = el NT \,$ , donde está el intervalo el $T \,$ de muestreo (en segundos), y $1/T = los f_s \,$ es la tarifa de muestreo (muestras por segundo). El DTFT proporciona una aproximación del continuo-tiempo Fourier transforma :

$X (f) = \ int_ {- \ infty} ^ \ infty x (t) \ cdot e^ {-} \, de i 2 \ pi f t despegue$

Según las indicaciones del artículo del teorema del muestreo, si nosotros eran conceptual utilizar valor $x () \, del NT$ para modular esta función del peine de Dirac:

$\ Delta_T (t) = T \ sum_ {n=- \ infty} ^ {\ infty} \ delta (t -) \$ , del NT

el resultado es una función cuyo Fourier transforma es la suma de " copies" del $X (f) \,$ sobrepuesto en los intervalos de los $f_s \,$ : $X_ del l \ mathrm {T} (f) = \ ^ del sum_ {k = - \ infty} {\ infty} X (f - {f_s de k})$

Pues ahora veremos, esta función periódica es un DTFT. Y bajo ciertas condiciones readily-apparent, el término k=0 se puede observar con poco o nada de distorsión (alias ) de los otros términos. El peine modulado es :

$x_ \ mathrm {T} (t) = T \ sum_ {n=- \ infty} ^ {\ infty} x () \, \ delta (t - n T)$ del NT

Por lo tanto :

Periodicidad

$x del muestreo (t) \,$ hace su espectro (DTFT) llegar a ser periódico. En términos de frecuencia ordinaria, el $f \,$ (ciclos por segundo), el período es la tarifa de la muestra, $f_s \,$ . En términos de frecuencia normalizada, el $f/los f_s \,$ (ciclos por muestra), el período es $1$ . Y en términos de $\ Omega \,$ (radianes por muestra), período es $2 \ pi$ , que también sigue directo de periodicidad de $e^ {- i \} \, de Omega n$ . Eso es: $+ 2 \ pi k) n} = e^ {- i \} \, de Omega n$

donde están números enteros n y k arbitrarios. de Therefore:

$X (\ Omega + 2 \ pi k) = X (\) \, de Omega$

Popular alterno notación $X (e^ {i \ Omega}) \,$ para DTFT $X (\) \, de Omega$ : del destaca la característica de la periodicidad, y el

las ayudas distinguen entre el DTFT y Fourier que es la base transformar de

x (t) \,

; es decir,

X (f) \,

X (\) \, de Omega

), y

acentúa la relación del DTFT al Z-transform . Sin embargo, su importancia se obscurece cuando el DTFT es formado por el método del dominio de frecuencia (superposición), según lo discutido arriba. Tan notación

X (\) \, de Omega

es también de uso general, como en la tabla a seguir.

Lo contrario transforma

Lo contrario siguiente transforma recupera el del sequence del tiempo discreto:

secuencias de la Finito-longitud

Para la evaluación práctica del DTFT numéricamente, una secuencia de la finito-longitud es obviamente necesaria. Por ejemplo, una secuencia larga se pudo modificar por una función rectangular, de la ventana del resulting in:

$X (\ Omega) = \ sum_ {n=0} ^ {L-1} x \, e^ {- i \} \, de Omega n$ , donde está la longitud el $L \,$ modificada de la secuencia.

Ésta es a menudo una aproximación útil del espectro de la secuencia sin modificar. La diferencia es una pérdida de claridad (resolución), que mejora mientras que L aumenta.
Es común evaluar el $X (\ Omega)$ en un número arbitrario $(N)$ de frecuencias uniformly-spaced a través de un período (2π) : = \ frac {2 \ pi} {N} k \, , del $¡k \ en \ {0, 1, \ puntos, N-1 \}$ --->

cuál da : $X del l = X (\ omega_k) = \ ^ del sum_ {n=0} {L-1} x \, e^ {- i 2 \ pi \ frac {k} {N} n}$

Cuando el $N \ GE L \,$ , éste se puede también escribir : $X del l = \ ^ del sum_ {n=0} {N-1} x \, e^ {- i 2 \ pi \ frac {k} {N} n}$ , porque definimos el $x = 0 \,$ para el $n \ GE L \,$ .

Con ese ajuste cosmético, el $X \, secuencia de$ es reconocible ahora pues un Fourier discreto transforma (DFT). Mientras que $N$ define la resolución en la cual muestreamos el DTFT, $L$ limita la resolución inherente del DTFT sí mismo. Son tan generalmente valores similares (o igual). Y mientras que es común elegir el $N > L$ , el de la razón de solamente para incluir los términos cero-valorados en la adición es aprovecharse de un que Fourier rápido transforma el algoritmo de para computar el DFT. Sin embargo, cuando se hace eso se da a menudo la significación indebida, tal como cero-rellenado de DFT y/o interpolado de DFT. Pero el exacto el mismo DFT se puede calcular obviamente directo sin los términos cero-valorados. Uno puede también computar el DTFT para el caso del $N < de L$ (o para otras muestras de la frecuencia) donde no está equivalente a un DFT.

Para ilustrar porqué el $N > L$ es comunes, considerar la secuencia : $x del l = e^ {i 2 \ pi \ frac {1} {8} n}$ , y $L=64$ .

Las dos figuras abajo son diagramas de la magnitud de dos diverso DFTs clasificado, según lo indicado en sus etiquetas. En ambos casos, el componente dominante está en la frecuencia de la señal: $f = \ comienzan {matriz} \ frac {1} {8} \ extremo {matriz} = 0. También visible a la derecha es el patrón de de la '' salida espectral '' de la ventana rectangular de L=64 . La ilusión a la izquierda es un resultado de muestrear el DTFT en absoluto de sus pasos a cero. Algo que el DTFT de una secuencia de la finito-longitud, da la impresión de una secuencia sinusoidal infinitamente larga. Los factores que contribuyen a la ilusión son el uso de una ventana rectangular, y la opción de una frecuencia (\ comienzan {matriz} \ el frac {1} {8} \ fin {matriz} = \ comienzan {matriz} \ el frac {8} {64} \ extremo {matriz}) con exactamente 8 ciclos (de un número entero) por 64 muestras.$

DTFT del DFT por el acolchado cero infinito

Si añadimos un número infinito de ceros a x, después el DFT se acerca al DTFT de la señal finita correspondiente. Este acolchado es equivalente a tener $N \ rightarrow \ infty$ y $k \ rightarrow \ infty$ a la misma tarifa, con su cociente acercándose a un $constante \ omega/2 \ pi$ : $del l \ lim_ {N \ \ infty, k \ \ infty} \ = \ omega$ del frac {2 \ pi k} {N}

En este caso, sigue eso $del l \ lim_ {N \ \ infty, k \ \ infty} \ ^ del sum_ {n=0} {L-1} x \, e^ {- i 2 \ pi \ frac {k n} {N}} = \ ^ del sum_ {n=0} {L-1} x \, e^ {- i \ Omega n}$

Así, obtenemos el DTFT por cero que rellena el x de la señal '' con un número infinito de ceros. --->

La diferencia entre el DTFT y el otro Fourier transforma

Esencialmente, el DTFT es el revés de la serie de Fourier Del, en que este 3ultimo tiene una entrada continua, periódica y un espectro discreto. Los usos de los dos transforman, sin embargo, ser absolutamente diferente.

El DFT y el DTFT se pueden ver como el resultado lógico de aplicar el Fourier continuo estándar transforman a los datos discretos. De esa perspectiva, tenemos el resultado satisfying que no es la transformación que varía, él es apenas la forma del del input: l Si es discreto, el Fourier transforma se convierte en un DTFT.
Si es periódico, el Fourier transforma se convierte en una serie de Fourier.
Si es ambos, el Fourier transforma se convierte en un DFT.

Relación al Z-transform

El DTFT es un caso especial del Z-transform . El Z-transform bilateral se define como : $X del l (z) = \ ^ del sum_ {n=- \ infty} {\ infty} x \, z^ {- n}$

El caso especial es tan : $z = e^ {i \} \, de Omega$ . Desde $|e^ {i \ Omega}| = 1 \,$ , es la evaluación del Z-transform alrededor del círculo de unidad en el plano complejo .

La tabla de tiempo discreto Fourier transforma

Un cierto campo común transforma pares se demuestra abajo. La notación siguiente aplicó el : l ¡ $n \!$ es un número entero que representa el dominio del tiempo discreto (en muestras)
¡ $\ Omega \!$ es un número verdadero en el $(- \ pi, \ \ pi)$ , representando frecuencia angular continua (en radianes por muestra). El resto del $de la transformación (|\ Omega| > \ pi \,)$ es definido por : $X (\ Omega + 2 \ pi k) = X (\) \, de Omega$
¡ $u \!$ es la función de paso de unidad del tiempo discreto
¡ $\ operatorname {sinc} (t) \!$ es la función normalizada de Sinc
¡ $\ delta (\) \! de Omega$ es la función de delta de Dirac
¡ $\ delta \! ¡$ es Kronecker delta $\ delta_ {n, 0} \!$
el $\ el operatorname {rect} (t)$ es la función del rectángulo para el con valores reales arbitrario de t: del
= \ sqcap del $\ del mathrm de {rect} (t) (t) = \ comenzar {los casos} 0 y \ mbox {si} |t| > \ del frac {1} {2} \ \ \ 2} y \ mbox del frac {1} {{si} |t| = \ del frac {1} {2} \ \ 1 y \ mbox {si} |t| < \ frac {1} {2} \ l extremo {casos}$ el $\ el operatorname {tri} (t)$ es la función del triángulo para el con valores reales arbitrario de t: del
= \ y del $\ del operatorname de {tri} (t) (t) = \ comenzar {los casos} 1 + t; y - de 1 \ leq t \ leq 0 \ \ 1 - t; y 0 < de t \ leq 1 \ \ 0 y \ mbox {si no} \ extremo {casos}$

Características

Esta tabla demuestra que las relaciones entre el tiempo discreto genérico Fourier transforman. Utilizamos la notación siguiente:
¡ $* \!$ es la circunvolución entre dos señales
¡ $x^* \!$ es la conjugación del complejo x de la función ''
¡ $\ rho_ {xy} \!$ representa la correlación entre x '' y el y ''.

La primera columna proporciona una descripción de la característica, las demostraciones de la segunda columna la función en el dominio de tiempo, las terceras demostraciones de la columna el espectro en el dominio de frecuencia:

Características de la simetría

El Fourier transforma se puede descomponer en un verdadero e imaginario o en incluso e impar.
¡ $X (e^ {i \ Omega}) = X_R (e^ {i \ Omega}) + iX_I () \! del e^ {i \ Omega}$
o
¡ $X (e^ {i \ Omega}) = X_E (e^ {i \ Omega}) + X_O () \! del e^ {i \ Omega}$

Zenithic

Cerro Punta, Chiriquí

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