En la álgebra linear, la eliminación gausiana es un algoritmo que se puede utilizar para determinar las soluciones de un sistema de las ecuaciones lineares, para encontrar la fila de una matriz, y para calcular lo contrario de una matriz cuadrada inversible . La eliminación gausiana se nombra después alemán Carl Friedrich Gauss del matemático y del científico.

Las operaciones elementales de la fila se utilizan a través del algoritmo. El algoritmo tiene dos porciones, que considera las filas de la matriz en orden. La primera parte reduce la matriz a la forma del grado de la fila mientras que el segundo reduce la matriz más lejos a la forma de grado de fila reducida . La primera parte solamente es suficiente para muchos usos.

Un algoritmo relacionado pero menos-eficiente, Gauss– La eliminación de Jordania, trae una matriz a la forma de grado de fila reducida en un paso.

Historia

Aunque el método se nombre después Carl Friedrich Gauss del matemático, la presentación más temprana de ella se puede encontrar en el suanshu matemático chino importante de Jiuzhang del del texto o el los nueve capítulos en el arte matemático, fechar aproximadamente 150 B.E, y comentar encendido por el Liu Hui en el siglo III.

Descripción del algoritmo

El proceso de la eliminación gausiana tiene dos porciones. La primera parte (eliminación delantera) reduce un sistema dado al la forma triangular del grado de o, o resultados en una ecuación degenerada sin la solución, indicando el sistema no tiene ninguna solución. Esto es realizado con el uso de las operaciones elementales de la fila. La segunda detrás-substitución de las aplicaciones del paso (eliminación posterior) para encontrar la solución del sistema arriba.

Indicado equivalente para las matrices, la primera parte reduce una matriz a la forma del grado de la fila usar las operaciones elementales de la fila mientras que el segundo la reduce a la forma de grado de fila reducida, o a la forma canónica de la fila.

Otro punto de vista, que resulta ser muy útil para analizar el algoritmo, es que la eliminación gausiana computa una descomposición de la matriz. Las tres operaciones elementales de la fila usadas en la eliminación gausiana (multiplicando filas, filas que cambian, y el adición de múltiplos de filas a otras filas) ascienden a multiplicar la matriz original con las matrices inversibles de la izquierda. La primera parte del algoritmo computa una descomposición del LU, mientras que la segunda parte escribe la matriz original como el producto de una matriz inversible únicamente resuelta y de una matriz reducida únicamente resuelta del fila-grado.

Ejemplo

Suponer que la meta es encontrar y describir las soluciones, eventualmente, del sistema siguiente de las ecuaciones lineares : $2x\; +\; y\; -\; z\; de\; =$
$-3x\; 8\; \backslash \; patio\; (L\_1)$ - y + 2z de =
-11 \ patio (L_2) $-2x\; +\; y\; +\; 2z\; =\; -3\; \backslash \; patio\; (L\_3)$

El algoritmo es como sigue: eliminar $x$ de todas las ecuaciones debajo de $L\_1$, y después eliminar $y$ de todas las ecuaciones debajo de $L\_2$. Esto pondrá el sistema en la forma triangular . Entonces, usar la detrás-substitución, cada uno desconocido se puede solucionar para.

En nuestro ejemplo, nosotros eliminan $x$ de $L\_2$ por agregando $\backslash \; comienzan\; \{matriz\}\; \backslash \; frac\; \{3\}\; \{2\}\; \backslash \; extremo\; \{matriz\}\; L\_1$ a $L\_2$, y entonces eliminamos $x$ de $L\_3$ agregando $L\_1$ a $L\_3$. Formalmente: + \ frac {3} {2}
de L_1 del

l $L\_2\; \backslash \; del\; rightarrow\; L\_2$ $L\_3\; +\; L\_1\; \backslash \; rightarrow\; L\_3$

El resultado es: $2x\; +\; y\; -\; z\; =\; 8\; \backslash ,$ del$$
de \ + \ frac {1} del frac {1} {2} y {2} z = 1 \,
de $2y\; +\; z\; =\; 5\; \backslash ,$

Ahora eliminamos $y$ de $L\_3$ agregando $-4L\_2$ a $L\_3$:

l $L\_3\; +\; -4L\_2\; \backslash \; rightarrow\; L\_3$

El resultado es:

l $2x\; +\; y\; -\; z\; =\; 8\; \backslash ,$ del$$
de \ + \ frac {1} del frac {1} {2} y {2} z = 1 \, $-z\; del$
de = 1 \,

Este resultado es un sistema de ecuaciones lineares en forma triangular, y así que la primera parte del algoritmo es completa.

La segunda parte, detrás-substitución, consiste en el solucionar para los desconocido en orden reversa. Así, podemos ver fácilmente eso $z\; del$

l = -1 \ patio (L_3)

Entonces, $z$ se puede substituir en $L\_2$, que se puede entonces solucionar fácil para obtener

= 3 $y\; \backslash \; patio\; (L\_2)$ del

Después, $z$ y $y$ se pueden substituir en $L\_1$, que se puede solucionar para obtener $x\; del$

l = 2 \ patio (L_1)

Así, se soluciona el sistema.

Este algoritmo trabaja para cualquier sistema de ecuaciones lineares. Es posible que el sistema no se puede reducir a la forma triangular, con todo todavía tiene por lo menos una solución válida: por ejemplo, si $y$ no hubiera ocurrido en $L\_2$ y $L\_3$ después de nuestro primer paso arriba, el algoritmo habría no podido reducir el sistema a la forma triangular. Sin embargo, todavía habría reducido el sistema a la forma del grado. En este caso, el sistema no tiene una solución única, pues contiene por lo menos una variable libre . El sistema de la solución puede entonces ser expresado paramétrico (es decir, en términos de variables libres, de modo que si los valores para las variables libres se eligen, una solución sea generada).

En la práctica, uno no se ocupa generalmente de los sistemas reales en términos de ecuaciones sino que por el contrario hace uso de la matriz aumentada (que es también conveniente para las manipulaciones de la computadora). Éste, entonces, es el algoritmo gausiano de la eliminación aplicado a la matriz aumentada del sistema arriba, comenzando con:

$\backslash \; comenzar\; \{el\; bmatrix\}\; 2\; y\; 1\; y\; -1\; y\; 8\; \backslash \; \backslash \; -3\; y\; -1\; y\; 2\; y\; -11\; \backslash \; \backslash \; -2\; y\; 1\; y\; 2\; y\; -3\; \backslash \; extremo\; \{bmatrix\}$

cuál, en el extremo de la primera parte del algoritmo parece esto:

$\backslash \; comenzar\; \{el\; bmatrix\}\; 2\; y\; 1\; y\; -1\; y\; 8\; \backslash \; \backslash \; 0\; y\; \backslash \; del\; frac\; \{1\}\; \{2\}\; y\; \backslash \; frac\; \{1\}\; \{2\}\; y\; 1\; \backslash \; \backslash \; 0\; y\; 0\; y\; -1\; y\; 1\; \backslash \; extremo\; \{bmatrix\}$

Es decir, está en la forma del grado de la fila.

En el final del algoritmo, nos dejan con

$\backslash \; comenzar\; \{el\; bmatrix\}\; 1\; y\; 0\; y\; 0\; y\; 2\; \backslash \; \backslash \; 0\; y\; 1\; y\; 0\; y\; 3\; \backslash \; \backslash \; 0\; y\; 0\; y\; 1\; y\; -1\; \backslash \; extremo\; \{bmatrix\}$

Es decir, está en la forma de grado de fila reducida, o la forma canónica de la fila.

Otros usos

Encontrar lo contrario de una matriz

Suponer que $A$ es un $n\; \backslash \; una\; matriz\; yustedde\; las\; épocas\; n$ necesidad de calcular su inverso. El $n\; \backslash \; la\; matriz\; de\; identidad\; de\; las\; épocas\; n$ se aumenta a la derecha de $A$, formando un $n\; \backslash \; una\; matriz\; de\; las\; épocas\; 2n$ (el $B\; de\; la\; matriz\; del\; bloque\; =\; el\; I$). Con el uso de las operaciones elementales de la fila y del algoritmo gausiano de la eliminación, el bloque izquierdo de $B$ se puede reducir a la matriz de identidad $I$, que deja el $A^\; \{-\; 1\}$ en el bloque correcto de $B$.

Si el algoritmo no puede reducir $A$ a la forma triangular, después $A$ no es inversible.

En la práctica, la inversión de una matriz se requiere raramente. La mayor parte del tiempo, uno está realmente después de la solución de un sistema particular de ecuaciones lineares.

El algoritmo general para computar filas y bases

El algoritmo gausiano de la eliminación se puede aplicar a cualquier $m\; \backslash \; matriz$ A$de\; las\; épocas\; n$. Si conseguimos el " stuck" en una columna dada, nos trasladamos a la columna siguiente. De esta manera, por ejemplo, algún $6\; \backslash \; matrices\; de\; las\; épocas\; 9$ se pueden transformar a una matriz que tenga una forma de grado de fila reducida como el $del\; \backslash \; comenzar\; \{el\; bmatrix\}\; 1\; y\; *\; y\; 0\; y\; 0\; y\; *\; y\; *\; y\; 0\; y\; *\; y\; 0\; \backslash \; \backslash \; 0\; y\; 0\; y\; 1\; y\; 0\; y\; *\; y\; *\; y\; 0\; y\; *\; y\; 0\; \backslash \; \backslash \; 0\; y\; 0\; y\; 0\; y\; 1\; y\; *\; y\; *\; y\; 0\; y\; *\; y\; 0\; \backslash \; \backslash \; 0\; y\; 0\; y\; 0\; y\; 0\; y\; 0\; y\; 0\; y\; 1\; y\; *\; y\; 0\; \backslash \; \backslash \; 0\; y\; 0\; y\; 0\; y\; 0\; y\; 0\; y\; 0\; y\; 0\; y\; 0\; y\; 1\; \backslash \; \backslash \; 0\; y\; 0\; y\; 0\; y\; 0\; y\; 0\; y\; 0\; y\; 0\; y\; 0\; y\; 0\; \backslash \; extremo\; \{bmatrix\}$

(* ' s es entradas arbitrarias). Esta matriz de grado $T$ contiene una abundancia de la información sobre $A$: la fila de $A$ es 5 puesto que hay 5 filas diferentes a cero en $T$; el espacio de vector atravesado por las columnas de $A$ tiene como base la columna el primer, del tercero, del cuarto, el séptimo y el noveno de $A$ (las columnas de las que está en $T$), y * ' s le dice cómo las otras columnas de $A$ se pueden escribir como combinaciones lineares de las columnas de la base.

Análisis

Eliminación gausiana en × del n un ; la matriz del n requiere aproximadamente 2 el n ³/3 operaciones. Tiene tan una complejidad del $\backslash \; mathcal\; \{O\}\; (n^3)\; \backslash ,$.

Este algoritmo se puede utilizar en una computadora para los sistemas con millares de ecuaciones y de desconocido. Sin embargo, el coste llega a ser prohibitivo para los sistemas con millones de ecuaciones. Estos sistemas grandes se solucionan generalmente usar métodos específicos iterativos de los métodos existen para los sistemas cuyos coeficientes siguen un patrón regular (véase el sistema de las ecuaciones lineares ).

La eliminación gausiana se puede realizar sobre cualquier campo .

La eliminación gausiana es el numéricamente estable para el diagonalmente las matrices positivo-definidas dominantes de o . Para las matrices generales, la eliminación gausiana se considera generalmente ser estable en la práctica si usted utiliza el que gira parcial como descrito más abajo, aunque hay los ejemplos por los cuales es inestable.

Pseudocode

Según lo explicado arriba, la eliminación gausiana escribe × dados del m un ; A de la matriz del n únicamente como producto de los × inversibles del m un ; S de la matriz del m y un T de la matriz del fila-grado. Aquí, el S es el producto de las matrices que corresponden a las operaciones de la fila realizadas.

El algoritmo formal para computar $T$ de $A$ sigue. Escribimos $A$ para la entrada en la fila $i$, columna $j$ en la matriz $A$. La transformación es " realizado; " in place;, significando que la matriz original $A$ es perdida y sucesivamente substituida por $T$.

i: = 1 j: = 1 mientras que ( del ≤ de i m y del ≤ de j n) hace Pivote del hallazgo del en la columna j, comenzando en la fila i: maxi: = i para k: = el i+1 al de m hace si ABS de (A) > ABS (A) entonces maxi: = k extremo del si extremo del para si entonces del ≠ 0 de A el intercambio rema i y maxi, pero no cambia el valor de i El ahora A contendrá el viejo valor de A. dividir cada entrada en la fila i por A El ahora A tendrá el valor 1. para u: = el i+1 al de m hace restar A * remar i de la fila u El ahora A será 0, desde A - A * A = A - 1 * A = 0. extremo del para i: = i + 1 extremo del si j: = j + 1 extremo del mientras que

Este algoritmo diferencia levemente de el discutido anterior, porque antes de eliminar una variable, primero intercambia filas para mover la entrada con el valor absoluto más grande al " position" del pivote;. Tal que gira procedimiento de mejora la estabilidad numérica del algoritmo; algunas variantes son también funcionando.

La columna que es transformada actual se llama la columna del pivote. Proceden de izquierda a derecha, dejando la columna del pivote estén la primera columna, entonces la segunda columna, los etc. y finalmente la columna pasada antes de la línea vertical. Para cada columna del pivote, hacer los dos pasos siguientes antes de mover encendido a la columna siguiente del pivote: Establecer el elemento diagonal en la columna del pivote. Este elemento se llama el pivote. La fila que contiene el pivote se llama la fila del pivote. Dividir cada elemento en la fila del pivote por el pivote para conseguir una nueva fila del pivote con un 1 en la posición del pivote.

Conseguir un 0 en cada posición debajo de la posición del pivote restando un múltiplo conveniente de la fila del pivote de cada uno de las filas debajo de él.

Sobre la terminación de este procedimiento la matriz aumentada estará en la forma del Fila-grado y se puede solucionar por la detrás-substitución.

Ver también

Disolvente frontal
Eliminación de Gauss-Jordania

.

Zenithic

Moons of Neptune

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