En las matemáticas, una elipse ( griego ἔλλειψις, literalmente de la ausencia del ) es el lugar geométrico de los puntos en un plano para el cual la suma de las distancias de cualquier punto a dos puntos fijos sea constante. Los dos puntos fijos se llaman los focos (plural del del foco del ). Una definición alterna sería que una elipse es la trayectoria trazada por un punto cuya distancia de un punto fijo, llamado foco, mantenga un cociente constante menos de uno con su distancia de una línea recta que no pasa a través del foco, llamado la directriz.

Descripción

Una elipse es un tipo de la sección cónica : si una superficie cónica se corta con un plano que no interseque la base del cono, la intersección del cono y del plano es una elipse. Para una prueba elemental corta de esto, ver las esferas de Dandelin.

El algebraico, una elipse es una curva en el plano de cartesiano definida cerca una ecuación del $A\; del\; de\; la\; forma\; x^2\; +\; B\; xy\; +\; C\; y^2\; +\; D\; x\; +\; E\; y\; +\; F\; =\; 0\; \backslash ,$ tales que , donde están verdaderos todos los coeficientes, y donde más de una solución, definiendo un par de puntos (x, y) en la elipse, existe.

Una elipse se puede dibujar con dos pernos, un lazo de la secuencia, y un lápiz. Los pernos se colocan en los focos y los pernos y el lápiz se incluyen dentro de la secuencia. El lápiz se coloca en el papel dentro de la secuencia, así que la secuencia es tensa. La secuencia formará un triángulo . Si el lápiz se mueve alrededor de modo que la secuencia permanezca tensa, la suma de las distancias del lápiz a los pernos seguirá siendo constante, satisfaciendo la definición de una elipse.

La línea segmento AB, ese pasa a través de los focos y termina en la elipse, se llama el eje principal . El eje principal es el segmento más largo que puede ser obtenido ensamblando dos puntos en la elipse. La línea CD del segmento, que pasa a través del centro (a medio camino entre los focos), perpendicular al eje principal, y termina en la elipse, se llama el eje de menor importancia . El eje de Semimajor del (denotado por el un en la figura) es una mitad del eje principal: la línea segmento del centro, a través de un foco, y al borde de la elipse. Asimismo, el eje de semiminor del (denotado por el b en la figura) es una mitad del eje de menor importancia.

Si coinciden los dos focos, después la elipse es un círculo ; es decir un círculo es un caso especial de una elipse, una donde está cero la excentricidad .

Una elipse centrada en el origen se puede ver como la imagen del círculo de unidad debajo de un mapa linear asociado a un $A\; =\; a\; un\; PDP^T$, $D$ de la matriz simétrica que es una matriz diagonal con los valores propios de $A$, que son positivo verdadero, a lo largo de la diagonal principal, y $P$ que son una matriz unitaria verdadero que tiene como columnas los vectores propios de $A$. Entonces las hachas de la elipse mentirán a lo largo de los vectores propios de $A$, y los valores propios son las longitudes del semimajor y de las hachas del semiminor .

Una elipse puede ser producida multiplicando los coordenadas del x de todos los puntos en un círculo por un constante, sin el cambio de los coordenadas del y . Esto es equivalente al que estira el círculo hacia fuera en la x-dirección.

Excentricidad

La forma de una elipse se puede expresar por un número llamado la excentricidad de la elipse, $convencionalmente\; denotado\; \backslash ,\; \backslash \; varepsilon$ . La excentricidad es un número no negativo menos de 1 y mayor o igual 0. Es el valor del cociente constante de la distancia de un punto en una elipse de un foco a eso de la directriz correspondiente. Una excentricidad de 0 implica que los dos focos ocupan el mismo punto y que la elipse es un círculo .

Para una elipse con el del eje del semimajor un b del eje de y de semiminor, la excentricidad es = \ raíz cuadrada {1 - \ frac {b^2} {a^2}} del $\backslash \; del\; varepsilon\; del\; .\; Cuanto\; mayor\; la\; excentricidad\; es,\; cuanto\; más\; grande\; es\; elcocienteun\; al\; b,\; y\; por\; lo\; tanto\; alargada\; la\; elipse.$

Si el c iguala la distancia del centro a cualquier foco, entonces = \ frac {c} {a} del $\backslash \; del\; varepsilon\; del\; .\; El\; c\; de\; la\; distancia\; se\; conoce\; como\; la\; excentricidad\; linear\; de\; la\; elipse.\; La\; distancia\; entre\; los\; focos\; es\; el\; 2\; al\; \epsilon \; de\; .$

Ecuaciones

Una elipse con un del eje del semimajor un b del eje de y de semiminor, centrado en el $del\; punto\; (h,\; k)$ y tener su eje importante paralelo al x - el eje se puede especificar por la ecuación + \ frac del $\backslash \; del\; frac\; del$

l {^ (del x-h) {2}} {a^ {2}} {^ (del y-k) {2}} {b^ {2}} = 1 .

¡Esta elipse se puede expresar paramétrico como $x\; del\; =\; h+a\; \backslash ,\; \backslash ,\; \backslash ,\; \backslash !\; de\; lechuga\; romana\; t¡$
de $y\; =\; k+b\; \backslash ,\; \backslash pecadot\; \backslash ,\; \backslash !$ ¡donde $t$ se puede restringir al $-\; \backslash \; pi\; \backslash \; leq\; t\; \backslash \; leq\; \backslash \; pi\; del\; intervalo\; \backslash ,\; \backslash !$.

Si $h$ = 0 y $k$ = 0 (es decir, si el centro es el origen (0.0)), entonces podemos expresar esta elipse en coordenadas polares por $r\; del\; de\; la\; ecuación\; =\; \backslash \; =\; \backslash \; frac\; \{b\}\; \{\backslash \; raíz\; cuadrada\; \{1\; \backslash \; varepsilon^2\; \backslash \; cos^2\; \backslash \; theta\}\}$ del frac {ab} {\ raíz cuadrada {a^2 \ sin^2 \ theta + b^2 \ cos^2 \ theta}} donde está la excentricidad el $\backslash \; varepsilon$ de la elipse.

Con un foco en el origen, la ecuación polar de la elipse es = \ frac {a \ cdot (1 \ varepsilon^ {2} del $r)\; del$
} del
{1 - \ varepsilon \ cdot \ lechuga romana \ theta} .

Una forma Gauss-trazada : $del\; \backslash \; (\backslash \; frac\; \{a\; \backslash \; lechuga\; romana\; \backslash \; beta\}\; \{\backslash \; raíz\; cuadrada\; \{a^2\; \backslash \; cos^2\; \backslash \; beta+b^2\; \backslash \; sin^2\; \backslash \; beta\}\},\; dejado\; \backslash \; frac\; \{b\; \backslash \; pecado\; \backslash \; beta\}\; \{\backslash \; raíz\; cuadrada\; \{a^2\; \backslash \; cos^2\; \backslash \; beta+b^2\; \backslash \; sin^2\; \backslash \; beta\}\}\; \backslash )$ derecho tiene $normal\; (\backslash \; lechuga\; romana\; \backslash ,\; beta\; \backslash \; pecado\; \backslash \; beta)$.

¡Recto de Semi-latus y coordenadas polares

¡El recto de una elipse, $l\; generalmente\; denotado\; de\; Semi-latus\; \backslash ,\; \backslash !$ (el minúsculo L), es la distancia de un foco de la elipse a la elipse sí mismo, medido a lo largo de una línea perpendicular al eje principal. ¡Se relaciona con el $a\; \backslash ,\; \backslash !\; ¡$ y $b\; \backslash ,\; \backslash !\; ¡$ (las semi-hachas de la elipse) por la fórmula $al=b^2\; \backslash ,\; \backslash !\; ¡$ o, si usa la excentricidad, $l=a\; \backslash \; cdot\; (1\; \backslash \; varepsilon^2)\; \backslash ,\; \backslash !$.

¡En polar coordenada, elipse con uno foco en origen y otro en negativo x - el eje es dado por el $r\; \backslash \; el\; cdot\; (1\; -\; \backslash \; varepsilon\; \backslash \; cdot\; \backslash \; lechuga\; romana\; \backslash \; theta)\; del\; de\; la\; ecuación\; =\; l\; \backslash ,\; \backslash !$

Una elipse se puede también pensar en como proyección de un círculo: un círculo en un plano en el φ del ángulo al horizontal proyectado verticalmente sobre un plano horizontal da una elipse del sin  de la excentricidad; φ, con tal que el φ no sea el 90°.

Área y circumfrence

El área incluida por una elipse es el πab del, donde (como antes) están las hachas el un y el b del semimajor y del semiminor de la elipse.

La circunferencia $C$ de una elipse es $4\; a\; la\; E\; (\backslash \; varepsilon)$, donde está el integral la función $E$ elíptico completo en segundo lugar bueno.

La serie infinita exacto es: ¡$C\; del$

l = 2 \ pi a \ ido - \ ({1 \ sobre 2} \ derecho) ^2 dejado \ varepsilon^2 - \ ({1 \ cdot 3 \ sobre 2 \ cdot 4} \ derecho) ^2 dejado {\ varepsilon^4 \ sobre 3} - \ ({1 \ cdot 3 \ cdot 5 \ sobre 2 \ cdot 4 \ cdot 6} \ derecho) ^2 dejado {\ varepsilon^6 \ over5} - \ puntos} \ derecho \! \,

O:

$C\; =\; 2\; \backslash \; pi\; a\; \backslash \; sum\_\; \{n=0\}\; ^\; \backslash \; infty\; \{\backslash \; dejado\; \backslash \; lbrace\; -\; \backslash \; dejado\; \backslash \; ido\; (\{2m-1\; \backslash \; sobre\; los\; 2m\}\; \backslash )\; derecho\; \backslash \; right^2\; \{\backslash \; varepsilon^\; \{2n\}\; \backslash \; sobre\; 2n\; -\; 1\}\; \backslash \; derecho\; \backslash \; rbrace\}$

Una buena aproximación es Ramanujan 's: $C\; del$

l \ aproximadamente \ pi \ - dejado \ raíz cuadrada {(3a+b) (a+3b)}¡\ derecho \! \,

cuál se puede también escribir como: el $C\; del$

l \ aproximadamente \ pi a \ salieron de 3 (1+ \ la raíz cuadrada {1 \ varepsilon^2}) - \ raíz cuadrada {(3+ \ la raíz cuadrada {1 \ varepsilon^2}) (1+3 \ raíz cuadrada {1 \ varepsilon^2})} ¡\ derecho \! \,

Para el caso especial donde está mitad el eje de menor importancia del eje principal, conseguimos: ¡$C\; del$

l \ aproximadamente \ pi a (9 - \ raíz cuadrada {35}) /2 \! \, o ¡$C\; \backslash \; aproximadamente\; \backslash \; frac\; \{a\}\; \{2\}\; \backslash \; raíz\; cuadrado\; \{93\; +\; \backslash \; frac\; \{1\}\; \{2\; 3\}\}\; \backslash !\}\; \backslash \; raíz\; cuadrada\; \{\backslash ,$ (una mejor aproximación).

Más generalmente, la longitud de arco de una porción de la circunferencia, en función del ángulo subtendido, es dada por un integral elíptico incompleto. La función inversa, el ángulo subtendido en función de la longitud de arco, es dada por las funciones elípticas .

El estirar y proyección

Una elipse se puede estirar uniformemente a lo largo de cualquier eje, en o del plano de la elipse, y todavía será una elipse. La elipse estirada tendrá diversas características (excentricidad quizás cambiada y longitud semi-principal del eje, por ejemplo), pero todavía será una elipse (o una elipse degenerada: un círculo o una línea). Semejantemente, cualquier proyección oblicua sobre un plano da lugar a una sección cónica. Si la proyección es una curva cerrada en el plano, después la curva es una elipse o una elipse degenerada.

Característica de la reflexión

Asumir un espejo elíptico con una fuente de luz a la una de los focos. Entonces todos los rayos son reflejados a un &mdash monopunto; el segundo foco. Puesto que ninguna otra curva tiene tal característica, puede ser utilizada como definición alternativa de una elipse. En un círculo, toda la luz sería reflejada de nuevo al centro puesto que todas las tangentes son el ortogonal al radio.

Las ondas acústicas se reflejan de una manera similar, así que en un cuarto elíptico grande una persona que se coloca en un foco puede oír a una persona el colocarse en otro pozo del foco notable. Tal sitio se llama un compartimiento del susurro del . Los ejemplos son la colección estatuaria nacional de Pasillo en el capitolio de los E. (donde dicen John Quincy Adams para haber utilizado esta característica para escuchar detras de las puertas en materias políticas), en un objeto expuesto en sonido en el museo de la ciencia y de la industria en el Chicago, delante de la Universidad de Illinois en el auditorio del Urbana-Chamán Foellinger, y también en un compartimiento lateral del palacio de Charles V, en el Alhambra .

Elipses en la física

En el siglo XVII, el Johannes Kepler explicó que el mueve en órbita alrededor de a lo largo de el cual los planetas viajen alrededor del Sun sean elipses en su primera ley del movimiento planetario . Más adelante, el Isaac Newton explicó esto como corolario de su ley de la gravitación universal .

Más generalmente, en el problema gravitacional del Dos-cuerpo, si los dos cuerpos están limitados el uno al otro (es decir, la energía total es negativa), sus órbitas son elipses similares con el Barycenter común que es uno de los focos de cada elipse. El otro foco de cualquier elipse no tiene ninguna significación física sabida. Interesante, la órbita de cualquier cuerpo en el marco de referencia del otro es también una elipse, con el otro cuerpo en un foco.

La solución general para un oscilador armónico en dos o más dimensiones está también una elipse, pero este vez con el origen de la fuerza situada en el centro de la elipse.

En la óptica, un elipsoide del índice describe el índice de refracción de un material en función de la dirección a través de ese material. Esto se aplica solamente a los materiales que son óptico el anisotrópico. También ver la birrefringencia .

Elipses en gráficos de computadora

El dibujo de una elipse es un primitivo de gráficos común en bibliotecas estándar de la exhibición, tales como el QuickDraw API, el interfaz de dispositivo de gráficos de Windows (GDI) y la fundación (WPF) de Macintosh de la presentación de Windows. Tales bibliotecas son limitadas y pueden a menudo dibujar solamente una elipse con el eje principal o el eje de menor importancia horizontal. El Gato Bresenham en IBM es el más famoso por la invención de los 2.os primitivos del dibujo, incluyendo línea y el dibujo del círculo, usar solamente operaciones rápidas del número entero tales como adición y rama encendido lleva el pedacito. Una generalización eficiente para dibujar elipses fue inventada en 1984 por el Jerry Van Aken (IEEE CG&A, sept.

Lo que sigue es un código del Javascript del ejemplo usado para calcular los puntos de una elipse.

lang=" del /**
Esto funciona las vueltas un arsenal que contiene 36 puntos para dibujar
elipse.
* coordinada X {doble} del @param x
coordinada Y {doble} del @param y
eje del @param a Semimajor {doble}
eje del @param b Semiminor {doble}
ángulo {doble} del ángulo del @param de la elipse
/ calculateEllipse de la función (x, y, a, b, ángulo, pasos) { si (falta de información del == de los pasos) pasos = 36; el var señala =;

var beta = - ángulo/180 * Math.PI; sinbeta del var = Math.sin (beta); cosbeta del var = Math.cos (beta);

para (var i = 0; i < 360; i += 360/pasos) { alfa del var = i/180 * Math.PI; sinalpha del var = Math.sin (alfa); cosalpha del var = Math.cos (alfa);

var X = x + (a * cosalpha * cosbeta - b * sinalpha * sinbeta); var Y = y + (a * cosalpha * sinbeta + b * sinalpha * cosbeta);

points.push (nuevo OpenLayers.Point (X, Y)); }

puntos de vuelta; }

Ver también

style=" del
Elipsoide, un análogo dimensional más alto de una elipse
Esferoide, los elipsoides obtenidos girando una elipse sobre su eje importante o de menor importancia.
Superellipse, una generalización de una elipse que puede parecer más rectangular
Hipérbola
Parábola
oval
verdadero, excéntrico, y anomalías malas
Representación de matriz de las secciones cónicas
Leyes de Kepler del movimiento planetario
Elipse/pruebas