Un embaldosado de Penrose del es un embaldosado aperiódico generado por un sistema aperiódico de Prototiles nombrado después Rogelio Penrose, que investigó estos sistemas en los años 70. Todos los embaldosados obtenidos con los azulejos de Penrose que son no periódicos, los embaldosados de Penrose están comúnmente, pero no correctamente, descrito como embaldosados aperiódicos. Entre los muchos embaldosados posibles hay infinitamente dos que poseen la simetría de espejo y la simetría rotatoria quíntuplo, como en el diagrama en la derecha y el embaldosado de Penrose del término les refiere generalmente.

Un embaldosado de Penrose tiene muchas características notables, especialmente:
es aperiódico que significa que carece cualquier simetría de translación . Más informal, una copia cambiada de puesto nunca emparejará la original exactamente.
cualquier región finita en un embaldosado aparece infinitamente muchas veces en ese embaldosado y, de hecho, en cualquier otro embaldosado. Esta característica sería esperada si los embaldosados tenían simetría de translación así que es un hecho asombrosamente dado su carencia de la simetría de translación.
es un Quasicrystal : ejecutado pues una estructura física un embaldosado de Penrose producirá la difracción de Bragg; el diffractogram revela la simetría quíntupla subyacente y la orden de la gama larga. Esta orden refleja el hecho de que los embaldosados están organizados, no con simetría de translación, pero con un proceso llamó algo a veces el " deflation" o " inflation."

El Roberto Ammann descubrió independiente el embaldosado en aproximadamente el mismo tiempo que Penrose. Los varios métodos para construir los embaldosados se han propuesto: las reglas que emparejan, substituciones, cortan y los esquemas y recubrimiento del proyecto.

Antecedentes históricos

Los sistemas de azulejos propuestos por Penrose están entre los ejemplos más simples de un hecho matemático antiintuitivo - la existencia de sistemas aperiódicos. En 1961, el Hao Wang observó conexiones entre los problemas en problemas de la geometría específicamente sobre cierta clase del embaldosado y del problema de decisión . Como aparte, él observó que si el problema supuesto del dominó fuera el undecidable, después tendría que existir un sistema aperiódico de los azulejos . Mientras que la existencia de tal sistema parecía inverosímil, Wang no conjeturó ningún tal sistema podría existir, y que el problema del dominó es decidible para los azulejos en el plano.

En su tesis 1964, el Roberto Berger refutó la conjetura de Wang, probando que el problema del dominó es de hecho undecidable, y produciendo un sistema aperiódico de 104 azulejos distintos. (En su monografía publicada, Berger da solamente un sistema más grande de 20426 azulejos.)

Este número fue reducido más a fondo por el Donald Knuth, el Juan Läuchli y entonces el Raphael Robinson, que dieron un sistema aperiódico de apenas seis azulejos (y simplificó la prueba de Berger) en un papel elegante 1971. En 1972, el Rogelio Penrose dio el primer de varias variaciones de los azulejos que forzaban una estructura pentagonal jerárquica, un sistema de seis azulejos. Durante los varios años próximos, otras variaciones fueron encontradas, con la participación de Raphael Robinson, Roberto Ammann y Juan H.

En 1981 el De Bruijn explicó un método para construir los embaldosados de Penrose a partir de cinco familias de líneas paralelas así como un " cortar y proyectar el método, " en qué embaldosados de Penrose se obtienen como proyecciones de dos dimensiones de un cinco-dimensional estructura cúbica. En este acercamiento el embaldosado de Penrose se considera como a sistema de los puntos, sus cimas, mientras que sus azulejos son apenas los geométricos formas definidas conectando los bordes.

El embaldosado original de Penrose (P1)

El embaldosado de Penrose de la original fue propuesto en 1974 en un papel titulado el papel del de la estética en la investigación pura y aplicada . No más que un quinto de los repartos de papel con él pero Penrose admite que el embaldosado era su punto verdadero. Penrose posterior reconoció la inspiración del trabajo Johannes Kepler . En su Harmonices Mundi del libro Kepler exploró los embaldosados construidos alrededor de pentágonos y fue demostrado que su construcción puede ser extendida en un embaldosado de Penrose. Rastros anteriores de esta idea tienen remontado al trabajo de de Dürer.

El intentar embaldosar el plano con pentágonos regulares debe dejar necesario boquetes. Penrose encontró un embaldosado particular el cual los boquetes se pueden completar de tres otro formas: una estrella, un barco y un diamante, como se muestra a la izquierda. Además, a los azulejos, Penrose indicó las reglas, generalmente llamadas reglas que emparejan del, que especifican cómo los azulejos se deben atar a uno otro; estas reglas son necesarias asegurarse de que los embaldosados son aperiódicos. Tan hay tres sistemas distintos de las reglas que emparejan para los azulejos pentagonales, él es común considerar el sistema como teniendo tres diversos azulejos pentagonales, demostrados en diversos colores en la ilustración. Esto lleva a un sistema de seis azulejos: un Rhombus o un “diamante fino”, cinco señaló la estrella, un “barco” (áspero 3/5 de una estrella) y tres pentágonos.

Penrose encontró más adelante que dos fija más de azulejos aperioidic, los azulejos que consisten en uno conocidos como una “cometa” y “dardo” (P2) y un segundo sistema que consiste en dos Rhombus (P3). La traducción entre un embaldosado P1 y su embaldosado correspondiente P3 se ilustra a la derecha.

Embaldosado del Rhombus (P3)

Los Rhombus de Penrose son pares de Rhombus con los lados iguales pero diversas formas.

el fino t del Rhombus tiene cuatro esquinas con ángulos de 36, 144, 36, y 144 grados. El Rhombus del t se puede bisecar a lo largo de su diagonal corta para formar un par de triángulos agudos de Robinson.
El grueso T del Rhombus tiene ángulos de 72, 108, 72, y 108 grados. El Rhombus del T se puede bisecar a lo largo de su diagonal larga para formar un par de triángulos obtusos de Robinson.

Hay 54 combinaciones cíclico pedidas de tales ángulos que agreguen para arriba a 360 grados en una cima, pero las reglas del embaldosado permiten que solamente 7 de estas combinaciones aparezcan. Los azulejos Rhombus-shaped ordinarios se pueden utilizar para embaldosar el plano periódico, así que las restricciones deben ser hechas en cómo los azulejos pueden ser montados. La regla más simple, prohibiendo dos azulejos que se juntarán para formar un solo paralelogramo, es escasa para asegurar aperiodicity. En lugar, las reglas se hacen que distinguen los lados de los azulejos y requieren que solamente los lados particulares se pueden poner junto con uno a. Un ejemplo de reglas que emparejan apropiadas se demuestra en la parte superior del diagrama a la izquierda. Los azulejos deben ser montados de modo que las curvas a través de sus bordes emparejen en color y coloquen. Una condición equivalente es que los azulejos deben ser montados de modo que los topetones en sus bordes quepan juntos. Las mismas reglas se pueden especificar con otras formulaciones.

Hay arbitrariamente remiendos finitos grandes con simetría décupla y a lo más un punto central de la simetría décupla global donde diez reflejan las líneas cruz. Pues el embaldosado es aperiódico, no hay symmetry&mdash de translación; el patrón no se puede cambiar de puesto para emparejarse sobre el plano entero. Sin embargo, cualquier región limitada, no importa cómo es grande, será repetida un número infinito de épocas dentro del embaldosado. Por lo tanto un remiendo finito no puede distinguir entre uncountably los muchos embaldosados de Penrose, ni incluso determina qué posición dentro del embaldosado se está demostrando. La única manera de distinguir los dos embaldosados simétricos de Penrose de los otros es que su simetría continúa al infinito.

Los Rhombus se pueden cortar adentro a medias para formar un par de triángulos, llamado los triángulos de Robinson, que se pueden utilizar para producir los embaldosados de Penrose como embaldosado de la substitución. Los triángulos de Robinson son los triángulos isósceles 36º-36º-108º y 72º-72º-36º. Cada uno de estos triángulos tiene bordes en el cociente de (1+√ 5): 2, el cociente de oro . Las reglas que hacen cumplir aperiodicity en un embaldosado del triángulo de Robinson hacen los triángulos asimétrico, y cada triángulo aparecen conjuntamente con su imagen de espejo formar un Rhombus, una cometa, o un dardo.

Dibujo del embaldosado P3 de Penrose

El embaldosado de Penrose del Rhombus se puede dibujar usar el L-sistema siguiente :

Embaldosado de la cometa y del dardo (P2)

Los cuadriláteros llamados la “cometa” y “dardo” se pueden también utilizar para formar un embaldosado de Penrose.

la cometa es un cuadrilátero cuyas cuatro esquinas tienen ángulos de 72, 72, 72, y 144 grados. La cometa se puede bisecar a lo largo de su eje de la simetría para formar un par de triángulos agudos de Robinson.
El dardo es un cuadrilátero no convexo cuyos cuatro ángulos interiores son 36, 72, 36, y 216 grados. El dardo se puede bisecar a lo largo de su eje de la simetría para formar un par de triángulos obtusos de Robinson.

Los arcos verdes y rojos en los azulejos obligan la colocación de azulejos: Cuando dos azulejos comparten un borde en un embaldosado, los patrones deben emparejar en estos bordes. Por ejemplo, la cima cóncava de un dardo no se puede llenar de una sola cometa, sino se debe llenar de un par de cometas.

Deflación

Un método de substitución conocido como deflación describe debajo de los pasos eso producirá un embaldosado de Penrose de la cometa y del dardo. El comenzar con a el embaldosado finito llamó el axioma, ingresos de la deflación con una secuencia de los pasos llamaron las generaciones. El axioma puede ser tan simple como un solo azulejo. En una generación de deflación, cada azulejo se substituye por uno o más nuevos azulejos que cubren exactamente el área del azulejo original. El nuevo los azulejos son versiones scaled-down de los azulejos originales. La substitución las reglas garantizan que los nuevos azulejos están arreglados según reglas que emparejan. Las generaciones repetidas de deflación producen un embaldosado de la original forma del axioma con azulejos más pequeños y más pequeños. Dado suficientemente muchos las generaciones, el embaldosado contendrán una versión scaled-down del axioma eso no toca el límite del embaldosado. El axioma puede entonces estar rodeado por los azulejos del mismo tamaño que corresponden a los azulejos que aparecen en versión scaled-down. Este embaldosado extendido se puede utilizar como nuevo axioma, producir embaldosados extendidos más grandes y más grandes y cubre en última instancia plano entero.

Un ejemplo: Tres generaciones de cuatro axiomas

Éste es un ejemplo de generaciones sucesivas de deflación a partir de diversos axiomas. En el caso del “Sun” y de la “estrella”, el scaled-down la versión interior del axioma aparece en la generación 2. El “Sun” también aparece dentro de su generación 3.

Cubierta decagonal

En el Petra del matemático de 1996 alemanes Gummelt demostró que una cubierta equivalente al embaldosado de Penrose puede ser construida cubriendo el plano con un solo azulejo decagonal si dos clases de traslapo se permiten. Este acercamiento nuevo se llama “cubierta” para distinguirlo del “embaldosado sin traslapo”. El azulejo decagonal se adorna con los remiendos coloreados y la regla de la cubierta permite solamente el traslapo de estas decoraciones. Descomponiendo el azulejo decagonal en cometas y dardos transformar la cubierta aperiódica en un embaldosado de Penrose. Si un Rhombus gordo de “T” está inscrito en cada decagon, esa parte del embaldosado de Penrose que corresponde a estas formas se obtiene, mientras que los lugares para los azulejos finos se salen vacantes. El método de la cubierta se toma para ser un modelo realista para el crecimiento de Quasicrystals . Diversos racimos atómicos “comparten” los fragmentos de cuál la estructura aperiódica se construye. La analogía con los cristales construidos de una célula de unidad se restaura cuando los decagons traslapados se consideran como células de la cuasi-unidad.

Fibonacci y características de oro del cociente

El embaldosado de Penrose, la secuencia y el cociente de oro de Fibonacci son intrincado relacionado y quizás deben ser considerados como diferente aspectos del mismo fenómeno.
el cociente del $grueso\; T$ a los Rhombus finos del $t$ en el azulejo infinito es el $de\; oro\; del\; cociente\; T$/$t$ = φ = 1.
los gusanos de Conway, secuencias de Rhombus vecinos con los lados paralelos, son aspectos pedidos Fibonacci de $T$ y el $t$ y las barras de Ammann también forma así rejillas pedidas Fibonacci
alrededor de cada estrella de $5T-$ un espiral dividido en segmentos de Fibonacci es formado por los lados de Rhombus las distancias del *the entre los adornos finitos repetidos en el embaldosado crecen como números de Fibonacci cuando el tamaño del adorno aumenta
la distribución de las frecuencias de la oscilación en un embaldosado de Penrose demuestra las vendas y los boquetes cuyas anchuras están en las proporciones expresadas por el φ.
el $T\; \backslash \; del\; esquema\; de\; la\; substitución\; a\; 2T+t;\; t\; \backslash \; a\; T+t$ introduce el φ como factor de escala; su matriz es el cuadrado de la matriz de la substitución de Fibonacci; ejecutado como secuencia del símbolo (e. 1→ 101, 0→ 10) esta substitución produce una serie de palabras con las longitudes que son los números de Fibonacci con índice impar, F (2n+1) para n=1,2,3., el límite que es la secuencia infinita del binario de Fibonacci
los valores propios de la matriz de la substitución son φ+1 (=φ ²) y el φ 2 (=1/φ ²)

Embaldosados relacionados en arte

Los azulejos similares se han utilizado en arte, aunque no se hayan aplicado generalmente con las reglas que emparejaban que hacen cumplir aperiodicity.

Una semejanza con el algunos patrones decorativos que utilizó en el Oriente Medio se ha observado y en febrero de 2007 un papel por el Steinhardt y el Lu se ha ofrecido con frecuencia evidencia que un embaldosado de Penrose es la base de algunos ejemplos del arte islámico medieval. Rogelio Penrose reconoce la inspiración del trabajo Johannes Kepler . En 1970 los Rhombus de Penrose del fueron investigados independiente en ilustraciones por el artista de la ciudad de la gota, Clark Richert.

El cuadro en la derecha demuestra un embaldosado variable del Rhombus, construido con los Rhombus similares a ésos usados en el embaldosado de Penrose, pero con diversas reglas que emparejan. La simetría subyacente es también quíntupla pero este embaldosado no es un quasicrystal. Puede ser obtenido “adornando” los Rhombus del embaldosado original con los más pequeños o directo por el   del T de las substituciones; →   3   del T ; +  t,   del t ; →     del T ; +  2 t, pero no por método del cortar-y-proyecto de Bruijn.

Curiosidades

Pentaplex Ltd., compañía en el Yorkshire, Inglaterra controlada por Penrose, posee las derechas de la autorización a los embaldosados de Penrose. Penrose y Pentaplex archivaron un pleito contra el Kimberly-Clark para la abertura de los derechos reservados. Kimberly-Clark alegado había realzado los embaldosados de Penrose en el papel higiénico acolchado de Kleenex en el Reino Unido. Los productos de higiene de SCA vinieron controlar los productos de Kleenex y alcanzaron más adelante un acuerdo con Penrose y Pentaplex en la edición del embaldosado de Penrose. SCA no está implicado en el conflicto de los derechos reservados.

El Martin Kemp del historiador de arte ha comentado una decoración contemporánea que utilizó los azulejos de Penrose y observada que el Albert Durer ha bosquejado adornos similares de un embaldosado del Rhombus

Referencias y notas

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Zenithic

Horacio

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