En las matemáticas, un determinado reputa el cerrado bajo cierta operación si la operación en los miembros del sistema produce a miembro del sistema. Por ejemplo, los números verdaderos son cerrados bajo substracción, pero los números naturales no son: 3 y 7 son ambos números naturales, pero el resultado del &minus 3; 7 no es.
Semejantemente, un sistema reputa el cerrado bajo colección del de las operaciones si es cerrado debajo de cada uno de las operaciones individualmente.
Un sistema que es cerrado bajo una operación o colección de operaciones se dice para satisfacer una característica de encierro del . Una característica de encierro se introduce a menudo como axioma, que entonces generalmente se llama el axioma del del encierro . Observar que las definiciones fijar-teóricas modernas definen generalmente operaciones como mapas entre los sistemas, así que el adición del encierro a una estructura como axioma es superfluo, aunque todavía tiene sentido de preguntar si los subconjuntos son cerrados. Por ejemplo, los números verdaderos son cerrados bajo substracción, donde (según lo mencionado anteriormente) no está el subconjunto de números naturales.
Cuando un S del sistema no es inferior cerrado algunas operaciones, uno puede encontrar generalmente el que contiene determinado más pequeño S que es cerrado. Este sistema cerrado más pequeño se llama el encierro del S (con respecto a estas operaciones). Por ejemplo, el encierro bajo substracción del sistema de números naturales, visto como subconjunto de los números verdaderos, es el sistema de los números enteros . Un ejemplo importante es el del encierro topológico . La noción del encierro es generalizada por la conexión de Galois, y más futuro por las mónadas
Observar que el S del sistema debe ser un subconjunto de un sistema cerrado para que el operador del encierro sea definido. En el ejemplo precedente es importante que los reals son cerrados bajo substracción; en el dominio de números naturales la substracción no se define siempre.
Las dos aplicaciones del " de la palabra; closure" no debe ser confuso. El uso anterior refiere a la característica de ser cerrado, y este 3ultimo refiere al sistema cerrado más pequeño que contiene uno que no sea cerrado. En fin, el encierro de un sistema satisface una característica de encierro.
Sistemas cerrados
Un sistema es cerrado bajo operación si esa operación vuelve a miembro del sistema cuando está evaluada en los miembros del sistema. El requisito que la operación se valore en un sistema se indica a veces explícitamente, en este caso se conoce como el axioma del del encierro . Por ejemplo, uno puede definir un grupo como sistema con un producto binario que obedece varios axiomas, incluyendo un axioma que el producto de cualquier dos elementos del grupo es otra vez un elemento. Sin embargo la definición moderna de una operación hace este axioma superfluo; un operador N-ary en el S es apenas un subconjunto del n +1 del del S . Por su misma definición, un operador en un sistema no puede tener valores fuera del sistema.Sin embargo, la característica de encierro de un operador en un sistema todavía tiene cierta utilidad. El encierro en un sistema no implica necesario el encierro en todos los subconjuntos. Así un subgrupo de un grupo es un subconjunto en el cual el producto binario y la operación singular de la inversión satisfacen el axioma del encierro.
Una operación de una diversa clase es la de encontrar los puntos de límite de un subconjunto de un espacio topológico (si el espacio es el primero-contable, es suficiente restringir la consideración a los límites de las secuencias pero en general uno debe considerar por lo menos límites de las redes ). Un sistema que es cerrado bajo esta operación generalmente apenas se refiere como sistema cerrado en el contexto de la topología . Sin cualquier calificación más otra, la frase significa generalmente cerrado en este sentido. Los intervalos cerrados tienen gusto = {el x : 1 ≤ 2 del x del ≤} se cierra en este sentido.
Un sistema parcialmente pedido es el cerrado hacia abajo (y también llamó un un sistema más bajo ) si para cada elemento del sistema todos los elementos más pequeños están también en él; esto solicita por ejemplo para los intervalos verdaderos (- el ∞, el p ) y (- el ∞, el p ], y un p representado como intervalo 0, '' p '' del número ordinal ); cada sistema cerrado hacia abajo de números ordinales es sí mismo un número ordinal.
El sistema cerrado ascendente de y de la parte superior se define semejantemente.
Operador del encierro de
considera también:
l operador del encierro Dado una operación en un X, uno del sistema puede definir el C ( S ) del encierro de un S del subconjunto en el X para ser el subconjunto más pequeño cerrado bajo esa operación que contenga el S como subconjunto. Por ejemplo, el encierro de un subconjunto de un grupo es el subgrupo que generado por ése fijó.
El encierro de sistemas con respecto a una cierta operación define a operador del encierro del en los subconjuntos del X . Los sistemas cerrados pueden ser resueltos del operador del encierro; un sistema es cerrado si es igual a su propio encierro. Las características estructurales típicas de todas las operaciones del encierro son:
el encierro es que aumenta o el extenso: el encierro de un objeto contiene el objeto.
El encierro es el idempotente del : el encierro del encierro iguala el encierro.
El encierro es el monótono, es decir, si el X se contiene en el Y, después también el C ( X ) se contiene en el C ( Y ).
Un objeto que es su propio encierro se llama cerrado . Por idempotency, un objeto es cerrado si y solamente si es el encierro de un cierto objeto.
Estas tres características definen a operador del encierro del extracto del . Típicamente, un encierro abstracto actúa en la clase de todos los subconjuntos de un sistema.
Ejemplos
en la topología y las ramas relacionadas, la operación relevante está tomando límites. El encierro topológico de un determinado es el operador correspondiente del encierro. Los axiomas del encierro de Kuratowski caracterizan a este operador.
En la álgebra linear, el que el palmo linear de un X del sistema de vectores es el encierro de eso fijó; es el subconjunto más pequeño del espacio de vector que incluye el X es cerrado bajo operación de la combinación linear . Este subconjunto es un subespacio .
De la teoría del Matroid, el encierro del X es el sobreconjunto más grande del X que tiene la misma fila que el X .
En la teoría determinada, el encierro transitivo de una relación binaria .
En la álgebra, el encierro algebraico de un campo .
En la álgebra comutativa, las operaciones del encierro para los ideales, como el encierro integral y encierro apretado .
De la geometría, el casco convexo de un S del sistema de puntos es el sistema convexo más pequeño cuyo el S es un subconjunto .
En la teoría de los lenguajes formales el encierro de Kleene de una lengua se puede describir como el sistema de las secuencias que pueden ser hechas concatenando cero o más secuencia de esa lengua.
De la teoría de grupo, el encierro normal de un sistema de elementos del grupo es el subgrupo normal más pequeño que contiene el sistema.
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