En las matemáticas, especialmente en la geometría y la teoría de grupo, un enrejado en el n del ^{del R es un subgrupo discreto n} del ^{del R que el atraviese el verdadero n} del ^{del R del espacio de vector . Cada enrejado en el n} del ^{del R se puede generar de una base para el espacio de vector formando todas las combinaciones lineares con coeficientes integrales . Un enrejado se puede ver como embaldosado regular de un espacio por una célula primitiva .}

Los enrejados tienen muchos usos significativos en matemáticas puras, particularmente en la conexión a la teoría de número de las álgebra de mentira y a la teoría de grupo. También se presentan en matemáticas aplicadas con respecto a la teoría de codificación, y se utilizan de varias maneras en las ciencias físicas. Por ejemplo, en la ciencia material y la física de estado sólido, un enrejado es un sinónimo para una estructura cristalina, un arsenal de 3 dimensiones de puntos regularmente espaciados que coinciden con el átomo o las posiciones de la molécula en un cristal . Más generalmente, los modelos del enrejado son estudiados en la física, a menudo por las técnicas de la física de cómputo .

Consideraciones y ejemplos de la simetría

Un enrejado es el grupo de la simetría de la simetría de translación discreto en direcciones del n . Un patrón con este enrejado de la simetría de translación no puede tener más, sino puede tener menos simetría que el enrejado sí mismo.

Un enrejado en el sentido de 3 - el arsenal dimensional de puntos regularmente espaciados que coinciden con e. el átomo o posiciones de la molécula en un cristal, o más generalmente, la órbita de una acción de grupo bajo simetría de translación, es un traducir del enrejado de la traducción: un Coset, que no necesitan contener el origen, y por lo tanto no necesita ser un enrejado en el sentido anterior. Un ejemplo simple de un enrejado en el n del ^{del R es el n} del ^{del Z del subgrupo. Un ejemplo más complicado es el enrejado de la sanguijuela, que es un enrejado en el R 24. El enrejado del período en el R 2 es central al estudio de las funciones elípticas, desarrollado en matemáticas del siglo XIX ; generaliza a dimensiones más altas en la teoría de las funciones abelianas}

División del espacio según un enrejado

Un &Lambda típico del enrejado; en ^{del R el n} tiene así el $del\; de\; la\; forma\; \backslash \; La\; lambda\; =\; \backslash \; se\; fue\; \backslash \; \{\backslash \; v\_i\; del\; a\_i\; del\; ^n\; del\; sum\_\; \{i=1\}\; \backslash ;\; |\; \backslash ;\; a\_i\; \backslash \; en\; \backslash \; Bbb\; \{Z\}\; \backslash \; derechos\; \backslash \}$ donde { v ₁,…, n del _{del v } está una base para el n del ^{del R . Diversas bases pueden generar el mismo enrejado, pero el valor absoluto determinante del i}} del _{del v de los vectores es determinado únicamente por Λ, y es denotado por d (Λ). Si uno piensa en un enrejado como división del conjunto del n del ^{del R en los poliedros iguales (copias de un n - paralelepípedo dimensional, conocidas como la región fundamental del enrejado), entonces d (el Λ) es igual al n - volumen dimensional de este poliedro. Esta es la razón por la cual d (Λ) a veces se llama el covolume enrejado.}}

Puntos del enrejado en sistemas convexos

El teorema de Minkowski relaciona el número d (el Λ) y el volumen de un simétrico S del sistema convexo al número de puntos del enrejado contenidos en el S . El número de puntos del enrejado contuvo en un Polytope todo cuyas de cimas están los elementos del enrejado son descritos por el Ehrhart polinómico de los polytope. Las fórmulas para algunos de los coeficientes de este polinomio implican d (el Λ) también.

Computación con enrejados

La reducción de la base del enrejado del es el problema de encontrar una base corta del enrejado. El algoritmo de reducción del enrejado de Lenstra-Lenstra-Lovász (LLL) encuentra una base corta del enrejado en el tiempo polinómico ; ha encontrado usos numerosos, particularmente en la criptografía de la Público-llave.

Enrejados en dos dimensiones: discusión detallada

Hay cinco 2.os tipos del enrejado según lo dado por el teorema cristalográfico de la restricción. Debajo del grupo del papel pintado del enrejado se da entre paréntesis; observar que un patrón con este enrejado de la simetría de translación no puede tener más, pero puede tener menos simetría que el enrejado sí mismo. Si el grupo de la simetría de un patrón contiene un n - rotación del doblez entonces el enrejado tiene n - dobla la simetría para el n y 2 n incluso del - doblar para el impar n .
un enrejado rombal del, también llamado enrejado rectangular centrado o isósceles enrejado triangular de (cmm), con filas uniformemente espaciadas de puntos uniformemente espaciados, con las filas una mitad alternatingly cambiada de puesto que espacia (filas simétricamente escalonadas); los casos especiales son: un enrejado hexagonal del o enrejado triangular equilateral (p6m) del
un enrejado cuadrado (véase abajo, y dar vuelta a 45°) * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *
un enrejado rectangular del, también llamado el enrejado rectangular primitivo (pmm), con como caso especial un enrejado cuadrado (p4m) del : * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *
más generalmente, un enrejado de Parallelogrammic del, también llamado el enrejado oblicuo (p2) (con filas asimétrico escalonadas): * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *

Para la clasificación de un enrejado dado, comenzar con un punto y tomar un segundo punto más cercano. Para el tercer punto, no en la misma línea, considerar sus distancias a ambos puntos. Entre los puntos para los cuales el más pequeño de estos dos se distancia está lo menos, elige un punto para el cual el más grande de los dos sea lo menos. (No lógicamente el equivalente pero en el caso de los enrejados que dan el mismo resultado es apenas " Elegir un punto para el cual el más grande de los dos sea least".)

Los cinco casos corresponden al triángulo isósceles, correctos equilateral, derecho, isósceles, y escalenos. En un enrejado rombal, la distancia más corta puede ser una diagonal o un lado del Rhombus, es decir, la línea segmento que conecta los primeros dos los puntos mayo o mayo para no ser uno de los lados iguales del triángulo isósceles. Esto depende del ángulo más pequeño del Rhombus que es menos que 60° o entre 60° y el 90°.

El caso general se conoce como enrejado del período. Si el p de los vectores y el q generan el enrejado, en vez del p y del q podemos también tomar el p y el p - q, etc.o, podemos tomar a un p de + el q del b y el p del c + el q del d para el de los números enteros un, el b, el c y el d tales que el anuncio-a. Esto se asegura de que el p y el q ellos mismos sean combinaciones lineares del número entero de los otros dos vectores. Cada p, q de los pares define un paralelogramo, todo con la misma área, la magnitud del producto cruzado . Un paralelogramo define completamente el objeto entero. Sin simetría adicional, este paralelogramo es un paralelogramo fundamental .

El p de los vectores y el q se pueden representar por números complejos. Hasta tamaño y la orientación, un par se puede representar por su cociente. Expresado geométrico: si dos puntos del enrejado son 0 y 1, consideramos la posición de un tercer punto del enrejado. La equivalencia en el sentido de generar el mismo enrejado es representada por el grupo modular : $T:\; z\; \backslash \; el\; mapsto\; z+1$ representa elegir un diverso tercer punto en la misma rejilla, $S:\; z\; \backslash \; el\; mapsto\; -1/z$ representa elegir un diverso lado del triángulo como cara de la referencia 0-1, que en general implica el cambio del escalamiento del enrejado, y la rotación de él. Cada " triangle" curvado; en la imagen contiene para cada 2.o número complejo de la forma una del enrejado, el área gris es una representación canónica, correspondiendo a la clasificación arriba, con 0 y 1 dos enrejan los puntos que están los más cercanos el uno al otro; la duplicación es evitada incluyendo solamente la mitad del límite. Los enrejados rombales son representados por los puntos en su límite, con el enrejado hexagonal como cima, y el i para el enrejado cuadrado. Los enrejados rectangulares están en el eje imaginario, y el área restante representa los enrejados parallelogrammetic, con la imagen de espejo de un paralelogramo representado por la imagen de espejo en el eje imaginario.

Enrejados en tres dimensiones

Los 14 que el enrejado mecanografía adentro 3D se llaman de los enrejados de Bravais del . Son caracterizados por su grupo de espacio . los patrones 3D con simetría de translación de un tipo particular no pueden tener más, sino pueden tener menos simetría que el enrejado sí mismo.

Enrejados en espacio complejo

Un enrejado en el n del ^{del C es un subgrupo discreto de n} del ^{del C que atraviese 2 el n - verdadero dimensional n} del ^{del C del espacio de vector. Por ejemplo, la forma gausiana de los números enteros un enrejado en el C .}

Cada enrejado en el n del ^{del R es un grupo abeliano libre n de la fila ; cada enrejado en el n} del ^{del C es un grupo abeliano libre del n de la fila 2.}

En grupos de mentira

Más generalmente, un &Gamma del enrejado ; en un G del grupo de mentira es un subgrupo discreto, tal que el G /&Gamma del cociente ; está de medida finita, porque la medida en ella heredó de la medida de Haar en el G (izquierdo-invariante, o la definición derecho-invariante- es la independiente de esa opción). Ése será ciertamente el caso cuando el G /Γ es el compacto, pero esa suficiente condición no es necesaria, como es demostrado por el caso del grupo modular en el '' SL '' ₂ (''') del ''' R, que es un enrejado pero donde no está compacto el cociente (tiene cambios de signo del ). Hay resultados generales que indican la existencia de enrejados en grupos de mentira.

Un enrejado reputa el uniforme o el cocompact si el G /Γ es compacto; si no el enrejado se llama el no uniforme.

Enrejados sobre vector-espacios generales

Mientras que consideramos normalmente enrejados del $\backslash \; del\; mathbb\; \{Z\}$ en el $\backslash \; el\; mathbb\; \{R\}\; ^n$ este concepto se puede generalizar a cualquier espacio de vector dimensional finito sobre cualquier campo . Esto puede ser hecha como sigue:

Dejar $K$ ser un campo, dejar $V$ ser un espacio de vector de $n$-dimensional $K$-, dejar = \ {\ mathbf {v} _1, \ ldots, \ _n del $B\; del\; mathbf\; \{v\}\; \backslash \}$ sea una base de $K$- para $V$ y dejar $R$ sea un anillo contenido dentro de $K$. Entonces el $del\; enrejado\; de$ R$\backslash \; \{L\}\; el$ mathcal en $V$ generado por $B$ se da cerca:

$\backslash \; mathcal\; \{L\}\; =\; \backslash \; se\; fue\; \backslash \; \{\backslash \; a\_i\; del\; ^\; del\; sum\_\; \{i=1\}\; \{n\}\; \backslash \; \_i\; \backslash patiodel\; mathbf\; \{v\}\; |\; \backslash \; a\_i\; del\; patio\; \backslash \; en\; R,\; \backslash \; \_i\; del\; mathbf\; \{v\}\; \backslash \; en\; B\; \backslash \; derecho\; \backslash \}.$

Diversas bases $B$ en general generarán diversos enrejados. Sin embargo, si la matriz de transición $T$ entre las bases está en el $GL\_n\; (R)$ - el grupo linear general de R (en términos simples esto significa que todas las entradas de $T$ están en $R$ y todas las entradas del $T^\; \{-\; 1\}$ ser en $R$ - que sea equivalente a decir que el que determinante de $T$ está en el $R^\; \{*\}$ - el grupo de unidad de elementos en $R$ con lo contrario multiplicativos) entonces los enrejados generados por estas bases será isomorfo puesto que $T$ induce un isomorfismo entre los dos enrejados.

Los casos importantes ocurren en gran número teoría con el K un campo de P-adic y el R los números enteros de P-adic

Ver también

Enrejado recíproco
Enrejado unimodular
Sistema cristalino
Teorema de la compacticidad de Mahler

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Zenithic

BESK

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