En el cálculo del vector, el enrollamiento es un operador de vector que demuestra " de s del campo vector un '; índice de " de la rotación ;, ésa es la dirección del eje de la rotación y de la magnitud de la rotación. Puede también ser descrita como la densidad de la circulación del . En muchos países europeos llaman el operador la putrefacción (corto para el rotor) en vez del enrollamiento .

" Rotation" y " circulation" se utilizan aquí para las características de una función de vector de la posición, sin importar su cambio posible a tiempo.

Un campo de vector que tiene enrollamiento cero por todas partes se llama el irrotacional.

Definición

el enrollamiento de un $\backslash \; de\; un\; mathbf\; \{F\}$ del campo de vector se define como el límite del cociente de la superficie integral del producto cruzado del $\backslash \; del\; mathbf\; \{F\}$ con el $\backslash \; el\; mathbf\; normales\; \{n\}$ de la superficie cerrada $S$, sobre una superficie cerrada $S$, al volumen $V$ incluido por la superficie $S$, pues el volumen va a cero:

$\backslash \; operatorname\; \{enrollamiento\}\; (\backslash \; mathbf\; \{F\})\; =\; \backslash \; lim\_\; \{V\; \backslash \; rightarrow\; 0\}\; \backslash \; frac\; \{1\}\; \{V\}\; \backslash \; oint\_\; \{S\}\; \backslash \; mathbf\; \{n\}\; \backslash \; época\; \backslash \; mathbf\; \{\}\; \backslash ,\; de\; F\; dS$

Más exacto, en cada punto $p$ en espacio tridimensional, el $\backslash \; el\; operatorname\; \{enrollamiento\}\; (\backslash \; mathbf\; \{F\})\; (p)$ es dado por el límite antedicho, donde las superficies cerradas $S$ todo incluyen $p$ y el diámetro, no apenas el volumen, de la región incluida por $S$ tiende a cero.

Esta definición no es muy útil, y la definición equivalente alternativa de siguiente da mejores medidas para calcular componentes del $\backslash \; del\; operatorname\; \{enrollamiento\}\; (\backslash \; mathbf\; \{F\})$.

El componente del $\backslash \; del\; operatorname\; \{enrollamiento\}\; (\backslash \; mathbf\; \{F\})$ en la dirección del $\backslash \; del\; mathbf\; \{\backslash \; sombrero\; u\}$ del vector de unidad es el límite de una línea integral por el área de unidad del $\backslash \; del\; mathbf\; \{F\}$ sobre un cerrado C de la curva que incluya el superficial S, que está en un normal plano al $\backslash \; al\; mathbf\; \{\backslash \; sombrero\; u\}$:

$\backslash \; mathbf\; \{\backslash \; sombrero\; u\}\; \backslash \; cdot\; \backslash \; operatorname\; \{enrollamiento\}\; (\backslash \; mathbf\; \{F\})\; =\; \backslash \; lim\_\; \{S\; \backslash \; rightarrow\; 0\}\; \backslash \; frac\; \{1\}\; \{S\}\; \backslash \; oint\_\; \{C\}\; \backslash \; mathbf\; \{\}\; \backslash \; cdot\; d\; \backslash \; mathbf\; \{l\}$ de F

Ahora para calcular componentes del $\backslash \; del\; operatorname\; \{enrollamiento\}\; (\backslash \; mathbf\; \{F\})$ por ejemplo en los coordenadas cartesianos, substituir el $\backslash \; el\; mathbf\; \{\backslash \; sombrero\; u\}$ por el i de los vectores de unidad, el j y el k .

El rotor alternativo del de la terminología y notación alternativa el $\backslash \; el\; operatorname\; \{putrefacción\}\; (\backslash \; mathbf\; \{F\})$ son de uso frecuente para el enrollamiento del y $\backslash \; operatorname\; \{enrollamiento\}\; (\backslash \; mathbf\; \{F\})$.

Uso

En matemáticas el enrollamiento se observa cerca: = \ vec {\ nabla} \ épocas \ vec {F} del $\backslash \; del\; operatorname\; del\; \{enrollamiento\}\; (\backslash \; mathbf\; \{F\})$

donde está el campo F de vector a el cual el enrollamiento está siendo aplicado. Aunque la versión a la derecha sea simplemente un abuso de la notación, es todavía útil como mnemónica si tomamos el $\backslash \; nabla$ como un operador diferenciado Del del vector o nabla . Tal notación que implica a los operadores es común en la física y la álgebra .

Ampliado en los coordenadas cartesianos, el $\backslash \; el\; vec\; \{\backslash \; nabla\}\; \backslash los\; tiempos\backslash \; vec\; \{F\}$ es, porque el F integrado por el _{'' z ''} '' del _{'' y ''} , '' F '' de '' F: el $del$

l \ comienza {bmatrix} {\ frac {\ F_z parcial} {\ y parcial}} - {\ frac {\ F_y parcial} {\ z parcial}} \ \ \ \ {\ frac {\ F_x parcial} {\ z parcial}} - {\ frac {\ F_z parcial} {\ x parcial}} \ \ \ \ {\ frac {\ F_y parcial} {\ x parcial}} - {\ frac {\ F_x parcial} {\ y parcial}} \ extremo {bmatrix}

Aunque esté expresado en términos de coordenadas, el resultado sea invariante bajo rotaciones apropiadas de las hachas coordinadas. Sin embargo, lo contrario del resultado bajo reflexión.

Una manera simple de recordar la forma ampliada del enrollamiento es pensar en ella como: el $del$

l \ comienza {bmatrix} {\ frac {\ parcial} {\ x parcial}} \ \ \ \ {\ frac {\ parcial} {\ y parcial}} \ \ \ \ {\ frac {\ parcial} {\ z parcial}} \ extremo {bmatrix} \ épocas F

es decir, cruzado F de, o como el determinante de la matriz siguiente: el $del$

l \ comienzan {bmatrix} \ y \ mathbf {j} del mathbf {i} y \ \ \ \ \ del mathbf {k} {\ frac {\ parcial} {\ x parcial}} y {\ frac {\ parcial} {\ y parcial}} y {\ frac {\ parcial} {\ z parcial}} \ \ \ \ F_x y F_y y F_z \ extremo {bmatrix}

donde están los vectores de unidad para el x -, el y -, y el el i, el j, y el k z - hachas, respectivamente.

En la notación de Einstein, con el símbolo de Levi-Civita se escribe como:

$(\backslash \; vec\; \{\backslash \; nabla\}\; \backslash \; épocas\; \backslash \; vec\; \{F\})\; \_k\; =\; \backslash \; epsilon\_\; \{\}\; \backslash \; partial\_\; \backslash \; ana\; F\_m$ de k \ de la ana m

o como:

$(\backslash \; vec\; \{\backslash \; nabla\}\; \backslash \; épocas\; \backslash \; vec\; \{F\})\; =\; \backslash \; boldsymbol\; \{\backslash \; sombrero\; \{e\}\}\; \_k\; \backslash \; epsilon\_\; \{\}\; \backslash \; partial\_\; \backslash \; ana\; F\_m$ de k \ de la ana m

para los vectores de unidad: $\backslash \; boldsymbol\; \{\backslash \; sombrero\; \{e\}\}\; \_k$, k=1,2,3 que corresponde el $\backslash \; a,\; \backslash \; boldsymbol\; \{\backslash \; sombrero\; \{y\}\}$ del boldsymbol {\ sombrero {x}}, y al $\backslash \; al\; boldsymbol\; \{\backslash \; sombrero\; \{z\}\}$ respectivamente.

Usar el derivado exterior, se escribe simplemente como: $dF\; del$

l \,

Observar eso que toma el derivado exterior de un campo de vector no da lugar a otro campo de vector, pero a una forma 2 o al campo de Bivector, escrito correctamente como $P\; \backslash ,\; (dy\; del\; dx\; \backslash \; de\; la\; cuña)\; +\; Q\; \backslash ,\; (dy\; \backslash \; la\; cuña\; DZ)\; +\; R\; \backslash ,\; (dx\; de\; DZ\; \backslash \; de\; la\; cuña)$. Sin embargo, puesto que los bivectors generalmente se consideran menos intuitivos que vectores ordinarios, el R ³ - dual: el $*dF\; \backslash ,$ es de uso general en lugar de otro (donde el $*\; \backslash ,$ denota a operador de la estrella de Hodge). Esto es una operación quiral, produciendo un Pseudovector que adquiera valores opuestos en los sistemas coordinados zurdo y derecho

Interpretación del enrollamiento

El enrollamiento del campo de vector nos dice que sobre la rotación el campo tiene en cualquier momento. La magnitud del enrollamiento nos dice es cuánto rotación allí. La dirección nos dice, por la regla derecha (cuatro dedos de la mano derecha se encrespan en la dirección del movimiento y los puntos del pulgar en la dirección de la rotación) sobre qué eje está girando el campo.

Un dispositivo de uso general para pensar de enrollamiento es la rueda de paleta. Si colocáramos una rueda de paleta muy pequeña en un punto en el campo de vector en la pregunta y tratáramos los vectores exhaustos y sus longitudes como corrientes en un río con magnitud y la dirección, cualquier manera la rueda de paleta tendería a dar vuelta está la dirección del enrollamiento en ese punto. Por ejemplo, si dos corrientes están intentando girar la rueda en direcciones opuestas, la más fuerte (el vector más largo) ganará.

Ejemplos

Un campo de vector simple

Tomar el campo de vector $del$

l \ vec {F} (x, y)=y \ boldsymbol {\ sombrero {x}} - x \ boldsymbol {\ sombrero {y}} .

Su diagrama parece esto:

Simplemente por la inspección visual, podemos ver que el campo está girando. Si pegamos una rueda de paleta dondequiera, vemos inmediatamente su tendencia a girar a la derecha. Usar la regla derecha, esperamos que el enrollamiento esté en la página. Si debemos guardar un sistema coordinado derecho, en la página estar en la dirección negativa de z.

Si hacemos la matemáticas y encontrar el enrollamiento: $\backslash \; vec\; \{\backslash \; nabla\}\; \backslash \; tiempos\; \backslash \; vec\; \{F\}\; =0\; \backslash \; boldsymbol\; \{\backslash \; sombrero\; \{x\}\}\; +0\; \backslash \; boldsymbol\; del$

l {\ sombrero {y}} + x}} (- x) - {\ frac {\ parcial} {\ y parcial}} y \ boldsymbol {\ sombrero {z}} =-2 \ boldsymbol {\ sombrero {z}}

Cuál está de hecho en la dirección negativa de z, según lo esperado. En este caso, el enrollamiento es realmente un constante, con independencia de posición. El " amount" de rotación en el campo de vector antedicho está igual en cualquier momento (x, y). Trazar el enrollamiento de F no es muy interesante:

Un ejemplo más implicado

Suponer que ahora consideramos un campo de vector levemente más complicado: $F\; del$

l (x, y)=-x^2 \ boldsymbol {\ sombrero {y}} .

Su diagrama:

Puede ser que no veamos ninguna rotación inicialmente, pero si miramos de cerca la derecha, vemos un campo más grande en, por ejemplo, x=4 que en x=3. intuitivo, si colocamos una pequeña rueda de paleta allí, el " más grande; current" en su derecho haría la rueda de paletas girar a la derecha, que corresponde a un enrollamiento en la dirección negativa de z. Por el contrario, si miramos un punto a la izquierda y colocamos una pequeña rueda de paleta allí, el " más grande; current" en su lado izquierdo haría la rueda de paletas girar a la izquierda, que corresponde a un enrollamiento en la dirección positiva de z. Comprobemos hacia fuera nuestra conjetura haciendo la matemáticas: $\backslash \; nabla\; \backslash \; tiempos\; F\; =0\; \backslash \; boldsymbol\; \{\backslash \; sombrero\; \{x\}\}\; +0\; \backslash \; boldsymbol\; del$

l {\ sombrero {y}} + {\ frac {\ parcial} {\ x parcial}} (- x^2) \ boldsymbol {\ sombrero {z}} =-2x \ boldsymbol {\ sombrero {z}}

El enrollamiento está de hecho en la dirección positiva de z para x negativo y en la dirección negativa de z para x positivo, según lo esperado. Puesto que este enrollamiento no es igual en cada punto, su diagrama es un poco más interesante:

Observamos que el diagrama de este enrollamiento no tiene ninguna dependencia de y o de z (pues no debe) y está en la dirección negativa de z para x positivo y en la dirección positiva de z para el X.

Ejemplos descriptivos

En un tornado los vientos están girando sobre el ojo, y un campo de vector que demuestra velocidades del viento tendría un enrollamiento diferente a cero en el ojo, y posiblemente a otra parte (véase la vorticidad ).
En un campo de vector que describa las velocidades lineares de cada parte individual de un disco de rotación, el enrollamiento tendrá un valor constante en todas las partes del disco.
Si las velocidades de coches en una autopista sin peaje fueran descritas con un campo de vector, y los carriles tuvieran diversos límites de velocidad, el enrollamiento en las fronteras entre los carriles sería diferente a cero.
La ley de Faraday de la inducción, una de las ecuaciones del maxwell, se puede expresar muy simplemente usar enrollamiento. Indica que el enrollamiento de un campo eléctrico es igual al contrario del índice de tiempo de cambio del campo magnético.

Ver también

Del
Gradiente
Divergencia
Nabla en los coordenadas cilíndricos y esféricos

.

Zenithic

Siena Blaze

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