En las matemáticas, el Entscheidungsproblem ( alemán del para “el problema de decisión ") es un desafío planteado por el David Hilbert en 1928.

El Entscheidungsproblem pide un programa de computadora que tome como entrada una descripción de un lenguaje formal y una declaración matemática en la lengua y vuelva como salida cualquier " True" o " False" según si la declaración es verdad o falsa. El programa no necesita justificar su respuesta, ni proporciona una prueba, siempre y cuando está siempre correcto. Tal programa de computadora podría decidir, por ejemplo, si las declaraciones tales como la hipótesis de la serie continua o la hipótesis de Riemann son verdades, aunque no se sabe ninguna prueba o refutación de estas declaraciones. El Entscheidungsproblem se ha identificado a menudo particularmente con el problema de decisión para la lógica de primer orden (es decir, el problema algorítmico de determinar si una declaración de primer orden es universal válida).

En 1936, la iglesia de Alonzo y el Alan Turing publicaron los papeles independientes que demostraban que es imposible decidir algorítmico a si las declaraciones en el aritmético son verdades o falsas, y una solución general al Entscheidungsproblem es así imposible. Este resultado ahora se conoce como el teorema de la iglesia o el teorema de la Iglesia-Turing (no ser confundido con la tesis de la Iglesia-Turing).

Historia del problema

El origen del Entscheidungsproblem vuelve al Gottfried Leibniz, que en el siglo XVII, después construyendo una máquina calculadora mecánico acertado, soñada con la construcción de una máquina que podría manipular símbolos para determinar los valores de verdad de las declaraciones matemáticas (Davis 2000: págs. Él realizó que el primer paso tendría que ser un lenguaje formal limpio, y mucho de su trabajo subsecuente fue dirigido hacia esa meta. En el 1928, el David Hilbert y el Wilhelm Ackermann plantearon la pregunta en la forma contorneada arriba.

En la continuación de su " program" con cuáles él desafió a comunidad de las matemáticas en 1900, en una Conferencia Internacional 1928 David Hilbert hizo tres preguntas, el tercero cuyo se conocía como " Entscheidungsproblem" de Hilbert; (Hodges P. Tan tarde como 1930 él creyó que no habría cosa tal como un problema insoluble (Hodges P. 92, cotizando de Hilbert).

Respuesta negativa

Antes de que la pregunta podría ser contestada, la noción del " algorithm" tuvo que ser definido formalmente. Esto fue hecha por la iglesia de Alonzo en 1936 con el concepto de " calculability" eficaz; de acuerdo con su cálculo del λ y por Alan Turing en el mismo año con su concepto de Turing trabaja a máquina que fue reconocido más adelante que éstos son modelos equivalentes del cómputo .

La respuesta negativa al Entscheidungsproblem entonces fue dada por Alonzo Church en 1936 e independiente pronto después de eso por Alan Turing, también en 1936. La iglesia probó que no hay función computable cuál decide para dos expresiones dadas del cálculo del λ a si él es equivalente o no. Él confió pesadamente en trabajo anterior por el Stephen Kleene . Turing redujo el problema que paraba para las máquinas de Turing al Entscheidungsproblem. El trabajo de ambos autores fue influenciado pesadamente por trabajo anterior de s de Gödel Kurt 'sobre su teorema del estado incompleto, especialmente por el método de asignación numera (una enumeración de Gödel) a las fórmulas lógicas para reducir lógica a la aritmética.

La discusión de Turing es la siguiente. Suponer que teníamos un algoritmo general de la decisión para las declaraciones en una lengua de primer orden . La pregunta si una máquina dada de Turing para o no se puede formular como declaración de primer orden, que entonces sería susceptible al algoritmo de la decisión. Pero Turing había probado anterior que ningún algoritmo general puede decidir a si una máquina dada de Turing para.

El Entscheidungsproblem se relaciona con problema de Hilbert el décimo, que pide un algoritmo decidir a si las ecuaciones Diophantine tienen una solución. La no existencia de tal algoritmo, establecida por el Yuri Matiyasevich en el 1970, también implica una respuesta negativa al Entscheidungsproblem.

Algunas teorías de primer orden son algorítmico decidibles; los ejemplos de esto incluyen el Presburger aritmético, campos cerrados verdaderos y los sistemas de tipo estático de los lenguajes de programación la teoría de primer orden general que los números naturales expresaron en los axiomas de Peano no se pueden decidir con tal algoritmo, sin embargo.

Ver también

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