En un proceso químico, el equilibrio químico es el estado en el cual las actividades químicas o las concentraciones de los reactivo y de los productos no tienen ningún cambio neto en un cierto plazo. Generalmente, éste sería el estado ese los resultados cuando el proceso químico delantero procede a la misma tarifa que su reacción reversa . Los índices de la reacción de las reacciones delanteras y reversas no son generalmente cero pero, siendo igual, no hay cambios de la red en concentraciones unas de los el reactivo o del producto. Este proceso se conoce como equilibrio dinámico

Introducción

En una reacción química, cuando los reactivo se mezclan juntos en un recipiente de la reacción (y se calientan si es necesario), el conjunto de reactivo no consigue convertido en los productos. Después de que venga una cierta hora (que puede ser más corta que millionths de un segundos o más de largo que la edad del universo), allí un punto cuando una cantidad fija de reactivo existirá en armonía con una cantidad fija de productos, las cantidades de ni unos ni otros que cambian más. Esto se llama equilibrio químico.

El concepto de equilibrio químico fue desarrollado después de que el Berthollet (1803) encontrara que algunas reacciones químicas son el reversible. Para cualquie reacción por ejemplo $\backslash \; alfa\; del$

l A + \ B beta \ rightleftharpoons \ + \ tau T de la sigma S

para estar en el equilibrio los índices de las reacciones (reversas) delanteras y posteriores tienen que ser iguales. En esta ecuación química con las flechas del arpón que señalan ambas maneras de indicar equilibrio, A y B son especie química el reactivo, S y T son especie del producto, y el α, el β, el σ, y el τ son los coeficientes estequiométricos de los reactivo y de los productos respectivos. La posición de equilibrio de una reacción se dice para mentir lejos a la derecha si, en el equilibrio, casi todos los reactivo se utilizan para arriba y lejos a la izquierda si apenas cualquier producto se forma de los reactivo.

El Guldberg y el Waage (1865), empleando las ideas de Berthollet, propusieron la ley de la acción total : ¡$del\; \backslash \; mbox\; \{tarifa\; delantera\; de\; la\; reacción\}\; =\; ^\; de\; k\_+\; \{A\}\; \backslash \; ^\; \{B\}\; \backslash \; beta\; alfa\; \backslash ,\; \backslash !\; ¡$ del$$
de \ mbox {tarifa posterior de la reacción} = ^ del k_ {-} {S} \ ^ \ tau de la sigma {T} \, \!

donde están A, B, S y T las masas y k₊ y k₋ del active son los constantes de la tarifa puesto que las tarifas delanteras y posteriores son iguales: ^ del $k\_+\; \{A\}\; del$

l \ ^ {B} \ beta alfa = ^ del k_ {-} {S} \ ^ \ tau de la sigma {T} \,

y el cociente de los constantes de la tarifa es también un constante, ahora conocido como constante de equilibrio . = \ frac {\ {S \} ^ \ sigma \ {T \} ^ \ tau} {\ {A \} ^ \ alfa \ {B \} ^ \ beta} del $K=\; \backslash \; del\; frac\; del\; \{k\_+\}\; \{k\_-\}$

Por la convención los productos forman el numerador . Desafortunadamente, la ley de la acción total es válida solamente para las reacciones de un solo paso concertadas que proceden a través de un solo estado de transición y es el en general /B> inválido porque las ecuaciones de la tarifa en general no siguen la estequiometría de la reacción como Guldberg y Waage habían propuesto (véase, por ejemplo, la substitución alifática nucleofílica por SN1 o la reacción del hidrógeno y del bromo para formar el bromuro de hidrógeno ). La igualdad de la reacción delantera y posterior clasifica, sin embargo, está una condición necesaria para el equilibrio químico, aunque no es el suficiente para explicar porqué ocurre el equilibrio.

A pesar de la falta de esta derivación, el constante de equilibrio para una reacción es de hecho un constante, independiente de las actividades de la varia especie implicada, aunque depende de temperatura según lo observado por ecuación de t Hoff del Van '. El adición de un catalizador afectará a la reacción delantera y a la reacción reversa de la misma manera y no tendrá un efecto en el constante de equilibrio. El catalizador acelerará ambas reacciones de tal modo que aumentan la velocidad a la cual se alcanza el equilibrio.

Aunque las concentraciones macroscópicas del equilibrio sean constantes a tiempo las reacciones ocurren en el nivel molecular. Por ejemplo, en el caso del ácido Ethanoic disuelto en agua y que forma el Ethanoate y los iones de Hydronium, CH₃CO₂H + H₂O ⇌ CH₃CO₂⁻ + H₃O⁺ un protón puede saltar a partir de una molécula de ácido ethanoic encendido a una molécula de agua y después encendido a un ion del ethanoate formar otra molécula del ácido ethanoic y de dejar el número de moléculas ácidas ethanoic sin cambios. Éste es un ejemplo del equilibrio dinámico . Equilibriums, como el resto de termodinámica, es los fenómenos estadísticos, promedios de comportamiento microscópico.

El principio (1884) de Le Chatelier es un principio útil que da una idea cualitativa de una respuesta de sistema del equilibrio a los cambios en condiciones de la reacción. El si un equilibrio dinámico es disturbado cambiando las condiciones, la posición del equilibrio se mueve para contrariar el cambio . Por ejemplo, el adición de más S del exterior causará un exceso de productos y el sistema intentará contrariar esto aumentando la reacción reversa y empujando el punto de equilibrio al revés (aunque el constante de equilibrio permanecerá iguales).

Si el ácido mineral se agrega a la mezcla ácida ethanoic, aumentando la concentración de ion del hydronium, la cantidad de disociación debe disminuir mientras que la reacción se conduce a la izquierda de acuerdo con este principio. Esto se puede también deducir de la expresión constante de equilibrio para la reacción: $K=\; del\; \backslash \; frac\; \{\backslash \; \{CH\_3CO\_2^-\; \backslash \}\; \backslash \; \{H\_3O^+\; \backslash \}\}\; \{\backslash \; \{CH\_3CO\_2H\; \backslash \}\; \backslash \; \{H\_2O\; \backslash \}\}$ si los aumentos {H₃O⁺} {CH₃CO₂H} deben aumentar y {CH₃CO₂⁻} debe disminuir.

Una versión cuantitativa es dada por el cociente de la reacción. Gibbs sugerido en 1873 que el equilibrio sea logrado cuando la energía de Gibbs del sistema está en su valor mínimo (si se asume que la reacción se realiza bajo presión constante). Cuáles estos los medios son, el derivado de la energía de Gibbs con respecto al coordenada (una medida de la reacción del grado de la reacción que ha ocurrido, extendiéndose a partir de la cero para todos los reactivo a un máximo para todos los productos) desaparece, señalando un punto inmóvil . Este derivado se pide generalmente, ciertas razones técnicas, el cambio de la energía de Gibbs. Este criterio es necesario y suficiente. Si una mezcla no está en el equilibrio la liberación de exceso de la energía de Gibbs (o de la energía de Helmholtz en las reacciones constantes del volumen) es la “fuerza impulsora” para la composición de la mezcla a cambiar hasta que se alcance el equilibrio. El constante de equilibrio se puede relacionar con el cambio estándar de la energía de Gibbs para la reacción por la ecuación

$\backslash \; Delta\; G^\; \backslash \; ominus\; =\; -\; RT\; \backslash \; ln\; K\_\; \{eq\}$

donde está el constante R de gas universal y T la temperatura .

Cuando los reactivo son disueltos en un medio de la fuerza iónica del alto el cociente de los coeficientes de actividad se puede tomar para ser constante. En ese caso el cociente, K_c, $K\_c=\; del\; \backslash \; frac\; \{^\; \backslash \; ^\; \backslash \; tau\}\; \{^\; \backslash \; ^\; \backslash \; beta\; alfa\}\; de\; la\; concentración\; del\; de\; la\; sigma$ donde está la concentración de A, de etc., es independiente de la concentración analítica de los reactivo. Por esta razón, los constantes de equilibrio para las soluciones son generalmente determinados en medios de la alta fuerza iónica. K_c varía con fuerza iónica, temperatura y presión (o volumen). Asimismo K_p para los gases depende de la presión parcial . Estos constantes son más fáciles de medir y encontrado en cursos de la química de la High School secundaria.

Termodinámica

La relación entre la energía de Gibbs y el constante de equilibrio puede ser encontrada considerando potenciales químicos. La condición termodinámica para el equilibrio químico es
En la presión constante ΔG=0 (ΔG es la energía libre de Gibbs del cambio para la reacción)
En el volumen constante ΔA=0 (ΔA es el cambio en la energía libre de Helmholtz para la reacción) En este artículo solamente se considera el caso constante de la presión. El caso constante del volumen es importante en la geoquímica y la química atmosférica donde están significativas las variaciones de presión. Observar que si los reactivo y los productos estuvieran en el estado estándar (totalmente puro) entonces no habría reversibilidad y ningún equilibrio. La mezcla de los productos y de los reactivo contribuye una entropía grande (conocida como entropía de mezclar ) a los estados que contienen la mezcla igual de productos y de reactivo. La combinación del cambio de la energía de Gibbs del estándar y de la energía de Gibbs de la mezcla determina el estado de equilibrio.

En general un sistema de equilibrio es definido escribiendo una ecuación del equilibrio para la reacción $\backslash \; alfa\; del$

l A + \ B beta \ rightleftharpoons \ + \ tau T de la sigma S

Para cumplir la condición termodinámica para el equilibrio la energía de Gibbs debe ser inmóvil, significando que el derivado de G con respecto al coordenada (ΔG) de la reacción debe ser cero. Puede ser demostrado que ΔG es de hecho igual a la diferencia entre los potenciales químicos de los productos y los de los reactivo. Por lo tanto, la suma de las energías de Gibbs de los reactivo debe ser el igual a la suma de las energías de Gibbs de los productos. $\backslash \; alfa\; \backslash \; mu\_A\; del\; +\; \backslash \; =\; beta\; \backslash \; del\; mu\_B\; \backslash \; +\; \backslash \; tau\; \backslash \; mu\_T\; de\; la\; sigma\; \backslash \; del\; mu\_S\; \backslash ,$

donde está en este caso una energía el μ molar parcial de Gibbs, un potencial químico . El potencial químico de un reactivo A es una función del actividad, {A} de ese reactivo.

$\backslash \; mu\_A\; =\; \backslash \; mu\_\; \{A\}\; ^\; \{\backslash \; ominus\}\; +\; RT\; \backslash \; ln\; \backslash \; \{A\; \backslash \}\; \backslash ,$

Substituyendo expresiones tener gusto de esto en la ecuación de energía de Gibbs : $\backslash \; delta\; del$

l G = Vdp-SdT+ \ ^k del sum_ {i=1} \ dN_i del mu_i + \ da_i de X_i del ^n del sum_ {i=1} + \ cdots \,

cuál en la presión y la temperatura constantes se convierte: $\backslash \; delta\; del$

l G = \ ^k del sum_ {i=1} \ mu_i N_i

resultados en:

$\backslash \; delta\; G\; =\; \backslash \; sigma\; \backslash \; mu\_\; \{S\}\; +\; \backslash \; tau\; \backslash \; mu\_\; \{S\}\; -\; \backslash \; alfa\; \backslash \; mu\_\; \{S\}\; -\; \backslash \; beta\; \backslash \; mu\_\; \{\}\; \backslash ,\; de\; S$

Substituyendo los potenciales químicos: $del$

l \ delta G = (\ sigma \ + \ tau del ^ del mu_ {S} {\ ominus} \ ^ del mu_ {S} {\ ominus}) - (\ alfa \ ^ del mu_ {S} {\ ominus} - \ ^ beta \ del mu_ {S} {\ ominus}) + (\ sigma RT \ ln \ {S \} + \ tau RT \ ln \ {T \}) - (\ alfa RT \ ln \ {A \} + \ RT \ ln beta \ {B \})

la relación se convierte: $\backslash \; delta\; del$

l G = \ ^k del sum_ {i=1} \ v_i del mu_i^ \ del ominus + RT \ ln \ frac {\ {S \} ^ \ sigma \ {T \} ^ \ tau} {\ {A \} ^ \ alfa \ {B \} ^ \ beta}

En el $\backslash \; el\; delta\; del\; equilibrio\; G\; =\; 0\; \backslash ,$ y por lo tanto $del$

l \ ^k del sum_ {i=1} \ v_i del mu_i^ \ del ominus + RT \ ln \ frac {\ {S \} ^ \ sigma \ {T \} ^ \ tau} {\ {A \} ^ \ alfa \ {B \} ^ \ beta} = 0

el llevar a: $del$

l \ delta G_m^ {\ ominus} = - RT \ ln K

ΔG_m^O es el cambio molar estándar de la energía de Gibbs para la reacción y el K es el constante de equilibrio . Observar que las actividades y los constantes de equilibrio son números sin dimensiones.

Tratamiento de la actividad

La expresión para el constante de equilibrio se puede reescribir como el producto de un cociente de la concentración, del K _c y de un cociente del coeficiente de actividad . $K=\; del\; \Gamma \; \backslash \; frac\; \backslash \; épocas\; \backslash \; frac\; =\; K\_c\; \backslash \; Gamma$ es la concentración del reactivo A etc. Es posible en principio obtener los valores de los coeficientes de actividad, γ. Para las ecuaciones de las soluciones tales como la ecuación de Debye-Hückel o extensiones tales como ecuación de Davies o ecuaciones de Pitzer puede ser el software de used. Sin embargo esto no es siempre posible. Es práctica común asumir que Γ es un constante y utilizar el cociente de la concentración en lugar del constante de equilibrio termodinámico. Es también práctica general utilizar el constante de equilibrio del término en vez del cociente más pedante exacto de la concentración. Esta práctica será seguida aquí.

Para las reacciones en la presión parcial de la fase de gas se utiliza en lugar del coeficiente de la fugacidad de la concentración y en lugar de coeficiente de actividad. En el mundo real, por ejemplo al hacer el amoníaco industrial, los coeficientes de la fugacidad deben ser considerados. La fugacidad, f, es el producto de la presión parcial y del coeficiente de la fugacidad. El potencial químico de una especie en la fase de gas es dado por el $\backslash \; MU\; del\; =\; \backslash \; mu^\; \{\backslash \; theta\}\; +\; RT\; \backslash \; ln\; \backslash \; se\; fue\; (\backslash \; frac\; \{f\}\; \{barra\}\; \backslash \; derecho)\; +\; RT\; \backslash \; el\; ln\; \backslash \; gamma$ la expresión general que define un constante de equilibrio es tan válida por fases de la solución y de gas.

Justificación para el uso de los cocientes de la concentración

En la solución acuosa, los constantes de equilibrio son generalmente resueltos en presencia de un " inert" electrólito tal como nitrato de sodio NaNO₃ o perclorato KClO₄ del potasio. iónico fuerza, I, de solución conteniendo disuelto sal, X⁺Y^-, es dado por

$I\; =\; \backslash \; frac\; \{1\}\; \{2\}\; \backslash \; a\; la\; izquierda\; (c\_X\; z\_X^2\; +\; c\_Y\; z\_Y^2\; +\; \backslash \; c\_i\; z\_i^2\; del\; ^n\; del\; sum\_\; \{i=1\}\; \backslash \; derecho)$ donde el c representa la concentración, el z representa carga iónica y la suma se asume el control toda la especie en equilibrio. Cuando la concentración de sal disuelta es mucho más alta que las concentraciones analíticas de los reactivo, la fuerza iónica es con eficacia constante. Puesto que los coeficientes de actividad dependen de fuerza iónica los coeficientes de actividad de la especie son con eficacia independiente de la concentración. Así, se justifica la asunción que el Γ es constante. El cociente de la concentración es un múltiplo simple del constante de equilibrio. = \ frac {K} {\ gamma} de K_c del $del\; Sin\; embargo,\; el\; K$_c variará con fuerza iónica. Si se mide en una serie de diversas fuerzas iónicas el valor se puede extrapolar a la fuerza iónica cero.

La aplicación de la fórmula general para un constante de equilibrio a la caja específica del ácido ethanoic uno obtiene el $CH\_3CO\_2H\; +\; H\_2O\; \backslash \; los\; rightleftharpoons\; CH\_3CO\_2^-\; +\; H\_3O^+$ $K\_c=\; del$

l \ frac {[{H_3O} ^+]} {[{H_2O}]} Puede ser asumido que la concentración de agua es constante. Esta asunción será válida para todos sino soluciones muy concentradas. La expresión constante de equilibrio por lo tanto se escribe generalmente como el $K=\; \backslash \; frac\; \{[\{H\_3O\}\; ^+]\}\; \{\}$ del

donde ahora

$K=K\_c*\; \backslash ,$

un factor constante se incorpora en el constante de equilibrio.

Un caso particular es la Uno mismo-ionización del agua sí mismo

l $H\_2O\; +\; H\_2O\; \backslash \; rightleftharpoons\; H\_3O^+\; +\; OH^-$

El constante de la uno mismo-ionización del agua se define como

$K\_w\; =\; []\; \backslash ,\; de\; OH^-$

Es perfectamente legítimo escribir para la concentración del ion de Hydronium puesto que el estado de la disolución del protón es constante (en soluciones diluidas) y así que no afecta a las concentraciones del equilibrio. K_w varía con la variación en fuerza iónica y/o temperatura.

Las concentraciones de H⁺ y de OH^- no son cantidades independientes. Es substituido lo más comúnmente posible por el K _w^-1 en las expresiones constantes de equilibrio que de otra manera el hidróxido .

Los sólidos también no aparecen en la ecuación del equilibrio. Un ejemplo es la reacción de Boudouard

Efecto del cambio de temperatura en un constante de equilibrio

El efecto de cambiar temperatura en un constante de equilibrio es dado por = \ frac {RT^2} del $\backslash \; del\; frac\; del\; de\; la\; ecuación\; de\; t\; Hoff\; del\; Van\; \text{'}\{d\; \backslash \; ln\; K\}\; \{despegue\}\; Así,\; para\; las\; reacciones\; exotérmicas,\; (\Delta H\; es\; negativo)\; el\; K\; disminuye\; con\; temperatura,\; pero\; para\; las\; reacciones\; endotérmicas\; (\Delta H\; es\; positivo)\; el\; K\; aumenta\; con\; temperatura.\; Una\; formulación\; alternativa\; es\; -\; \backslash \; frac\; \{R\}$ del $\backslash \; del\; frac\; del\; \{d\; \backslash \; ln\; K\}\; \{d\; (1/T)\}\; =\; Al\; principio\; avistar\; esto\; aparece\; ofrecer\; medios\; de\; obtener\; laentalpiamolar\; estándar\; de\; la\; reacción\; estudiando\; la\; variación\; del\; K\; con\; temperatura.\; En\; la\; práctica,\; sin\; embargo,\; el\; método\; es\; no\; fiable\; porque\; la\; propagación\; de\; error\; dacasi\; siempreerrores\; muy\; grandes\; en\; los\; valores\; calculados\; de\; esta\; manera.$

Tipos de equilibrio y de algunos usos de

En la fase de gas.

de los motores espaciales Del La síntesis industrial tal como amoníaco en el Haber-Bosch de proceso (representado a la derecha) ocurre con una sucesión de los pasos del equilibrio incluyendo los procesos de Adsorbtion . Química atmosférica .

Agua de mar y otras aguas naturales. Oceanografía química .

Distribución entre dos fases. Coeficiente de la LogD-Distribución importante para los productos farmacéuticos donde está una característica el lipophilicity significativa de una droga.

Extracción de dos líquidos, de intercambio iónico, cromatografía .

Producto de solubilidad .

Absorción y lanzamiento del oxígeno por la hemoglobina en

de la sangre Ácido/equilibrios bajos. Constante de disociación ácida, hidrólisis, indicadores,

de las soluciones tampón del homeostasis de la Ácido-base complejación del Metal-ligand. que secuestra los agentes, terapia, reactivo,

de la quelación del contraste MRI del equilibrio de Schlenk Formación de la aducción. química, química supramolecular, reconocimiento molecular,

de la Anfitrión-huésped del tetróxido de Dinitrogen En las reacciones oscilantes de cierto el acercamiento al equilibrio está no asintótico sino bajo la forma de

humedecido de la oscilación Satisfacer la ecuación del equilibrio total . Las ecuaciones del equilibrio total son simplemente declaraciones que la concentración total de cada reactivo debe ser constante por la ley de la conservación de la masa .

Solucionar las ecuaciones del masa-balance

En general los cálculos son algo complicados. Por ejemplo, en el caso de un ácido dibásico, H₂A disuelto en agua los dos reactivo se puede especificar como la base, A^2-, y el protón, H⁺ de la conjugación. Las ecuaciones siguientes del masa-balance podrían aplicarse igualmente bien a una base tal como diaminoethane 1.2, en este caso la base sí mismo se señala como el reactivo A: $T\_A\; del\; =\; +\; +\; \backslash ,$ T\_H\; del$$
de = + + 2 - \,

Con T_A la concentración total de la especie A. Observar que es acostumbrado omitir las cargas iónicas al escribir y con estas ecuaciones.

Cuando se saben los constantes de equilibrio y las concentraciones totales se especifican allí son dos ecuaciones en " dos desconocido; concentrations" libre; y. Esto sigue del hecho que = β₁ [H], = β₂ [H] ² y = K_w^-1 $del$

l T_A = [H] + + \ beta_1 \ beta_2 [H] ^2 \, $del$
de T_H = + \ beta_1 [H] + 2 \ beta_2 [H] ^2 - K_w^ {- 1} \,

tan las concentraciones del " complexes" se calculan de las concentraciones libres y de los constantes de equilibrio. Las expresiones generales aplicables a todos los sistemas con dos reactivo, A y B serían el
$T\_A=+\; del$
\
$T\_B=+\; \backslash \; sum\_i\; \{^\; del\; q\_i\; \backslash \; del\; beta\_i^\; \{p\_i\}\; \{q\_i\}\}$ del sum_i {^ del p_i \ del beta_i^ {p_i} {q_i}} Es fácil ver cómo esto se puede ampliar a tres o más reactivo.

Composición para los ácidos polibásicos en función del pH

La composición de las soluciones que contienen los reactivo A y H es fácil de calcular en función p [H] . Cuando se sabe la concentración libre se calcula de la ecuación del masa-balance en el A. Aquí está un ejemplo de los resultados que pueden ser obtenidos.

Este diagrama, porque la hidrólisis del ácido de Lewis de aluminio Al³⁺_aq demuestra las concentraciones de la especie para una solución de los 5×10^-6M de una sal de aluminio en función del pH. Cada concentración se demuestra como porcentaje del aluminio total.

Equilibrios de la solución con la precipitación

El diagrama antedicho ilustra el punto que un precipitado puede ser formado que no es uno de la especie principal en el equilibrio de la solución. En el pH apenas debajo de 5.5 las especies principales presentes en una solución de los 5μM de Al³⁺ son el Al de los hidróxidos de aluminio (OH) ²⁺, el Al (OH) ₂⁺ y Al₁₃ (OH) ₃₂⁷⁺, pero en el aumento de los precipitados del Al del pH (OH) ₃ de la solución. Esto ocurre porque el Al (OH) ₃ tiene una energía de enrejado muy grande . Como se levanta el pH cada vez más el Al (OH) ₃ sale de la solución. Éste es un ejemplo del principio de Le Chatelier en la acción: el aumento de la concentración del ion de hidróxido hace más hidróxido de aluminio precipitarse, que quita el hidróxido de la solución. Cuando la concentración del hidróxido llega a ser suficientemente alta el aluminato soluble, se forma el Al (OH) ₄^-.

Otro caso común donde ocurre la precipitación es cuando un catión del metal obra recíprocamente con un ligand aniónico para formar un complejo eléctricamente neutral. Si el complejo es Hydrophopbic se precipitará fuera del agua. Esto ocurre con el ion Ni²⁺ del níquel y el Dimethylglyoxime, (dmgH₂): en este caso la energía de enrejado del sólido no es particularmente grande, sino que excede grandemente la energía de la disolución del Ni de la molécula (dmgH) ₂.

Minimización de la energía de Gibbs

En el equilibrio, el G está en un mínimo: $dG=\; del$

l \ ^m \ mu_j del sum_ {j=1} \, dN_j = 0

Para un sistema cerrado, ningunas partículas pueden entrar o irse, aunque puedan combinar de varias maneras. El número total de átomos de cada elemento seguirá siendo constante. Esto significa que la minimización antedicha se debe sujetar a los apremios: $del$

l \ a_ del ^m del sum_ {j=1} {ij} N_j=b_i^0

donde está el número el $a\_\; \{ij\}$ de átomos del i del elemento en el j de la molécula y el b _i⁰ es el número total de átomos del i del elemento, que es un constante, puesto que el sistema es cerrado. Si hay un total de tipos del k de átomos en el sistema, después habrá el k tales ecuaciones.

Esto es un problema estándar en la optimización, conocida como minimización obligada . El método más común de solucionarlo está utilizando el método de los multiplicadores de Lagrange, también conocido como multiplicadores indeterminados (aunque otros métodos se pueden utilizar).

Definir: $del$

l \ mathcal {G} = G + \ ^k del sum_ {i=1} \ lambda_i \ a_ dejado (\ del sum_ {j=1} del ^m {ij} N_j-b_i^0 \ derecho) =0

donde está los multiplicadores el $\backslash \; lambda\_i$ de Lagrange, uno para cada elemento. Esto permite que cada uno del $N\_j$ sea tratado independiente, y puede ser demostrado usar las herramientas del cálculo multivariante que la condición del equilibrio está dada cerca $del$

l \   del frac {\ parcial \ mathcal {G}} {\ N_j parcial} =0;     y       $\backslash \; frac\; \{\backslash \; parcial\; \backslash \; mathcal\; \{G\}\}\; \{\backslash \; parcial\; \backslash \; lambda\_i\}\; =0$

(Para la prueba ver los multiplicadores de Lagrange)

Éste es un sistema del (m+k) ecuaciones de en (m+k) los desconocido de (el $N\_j$ y el $\backslash \; lambda\_i$) y se pueden por lo tanto solucionar para las concentraciones $N\_j$ del equilibrio mientras los potenciales químicos se conozcan como funciones de las concentraciones en la temperatura y la presión dadas. (Véase las bases de datos termodinámicas para las sustancias puras ).

Este método de calcular concentraciones químicas del equilibrio es útil para los sistemas con una gran cantidad de diversas moléculas. El uso de las ecuaciones de la conservación del elemento atómico del k para el constreñimiento total es directo, y substituye el uso de las ecuaciones estequiométricas del coeficiente.

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