En la geometría euclidiana, el escalamiento uniforme es una transformación linear que agranda o disminuye objetos; el factor de posicionamiento está igual en todas las direcciones; también se llama un Homothety . El resultado del escalamiento uniforme es el similar (en el sentido geométrico) a la original.

Más general es el escalamiento con un factor de posicionamiento separado para cada dirección del eje; un caso especial es el escalamiento direccional (en una dirección). Las formas pueden cambiar; e. un rectángulo puede cambiar en un rectángulo de una diversa forma, pero también en un paralelogramo (los ángulos entre las líneas paralelas a las hachas se preservan, solamente no todos los ángulos).

Un escalamiento se puede representar por una matriz del escalamiento. Para escalar un objeto por un v del vector = (el v_x, v_y, v_z ), cada p del punto = (el p_x, p_y, p_z ) necesitaría ser multiplicado con esta matriz del escalamiento: $S\_v\; =\; del\; \backslash \; comenzar\; \{el\; bmatrix\}\; v\_x\; y\; 0\; y\; 0\; \backslash \; \backslash \; 0\; y\; v\_y\; y\; (-\; o)\; \backslash \; \backslash \; 0\; y\; 0\; y\; del\; v\_z\; \backslash \; \backslash \; \backslash \; extremo\; \{bmatrix\}$

Como se muestra abajo, la multiplicación dará el resultado previsto:

$S\_vp\; =\; \backslash \; comenzar\; \{el\; bmatrix\}\; v\_x\; y\; (-\; o)\; y\; 0\; \backslash \; \backslash \; 0\; y\; v\_y\; y\; 0\; \backslash \; \backslash \; (-\; o)\; y\; 0\; y\; del\; v\_z\; \backslash \; \backslash \; \backslash \; extremo\; \{bmatrix\}\; \backslash \; comenzar\; \{el\; bmatrix\}\; p\_x\; \backslash \; \backslash \; \backslash \; p\_y\; \backslash \; p\_z\; \backslash \; extremo\; \{bmatrix\}$

\ comenzar {el bmatrix} v_xp_x \ \ \ v_yp_y \ v_zp_z \ extremo {bmatrix}

Tal escalamiento cambia el diámetro de un objeto por un factor entre los factores de posicionamiento, el área por un factor entre el producto más pequeño y más grande de dos factores de posicionamiento, y el volumen por el producto de los tres.

Un escalamiento en el sentido más general es cualquier afina la transformación con una matriz Diagonalizable . Incluye el caso que las tres direcciones del escalamiento no son perpendiculares. Incluye también el caso que uno o más factores de posicionamiento son iguales a cero (la proyección ), y el caso de uno o más factores de posicionamiento negativos. Este 3ultimo corresponde a una combinación de escalamiento apropiada y a una clase de reflexión: a lo largo de líneas en una dirección particular tomamos la reflexión en el punto de la intersección con un plano que no necesitan ser perpendiculares; por lo tanto es más general que la reflexión ordinaria en el plano.

A menudo, es más útil utilizar los coordenadas homogéneos, puesto que la traducción no se puede lograr con una matriz 3 by-3. Para escalar un objeto por un v del vector = ( v_x, v_y, v_z ), cada homogéneo p del vector = (el p_x, p_y, p_z, 1) necesitaría ser multiplicado con esta matriz del escalamiento: $S\_v\; =\; del\; \backslash \; comenzar\; \{el\; bmatrix\}\; v\_x\; y\; 0\; y\; 0\; y\; 0\; \backslash \; \backslash \; 0\; y\; \backslash \; v\_y\; y\; 0\; y\; 0\; \backslash \; 0\; y\; 0\; y\; v\_z\; y\; 0\; \backslash \; \backslash \; 0\; y\; 0\; y\; 0\; y\; 1\; \backslash \; extremo\; \{bmatrix\}$

Como se muestra abajo, la multiplicación dará el resultado previsto:

$S\_vp\; =\; \backslash \; comenzar\; \{el\; bmatrix\}\; v\_x\; y\; 0\; y\; 0\; y\; 0\; \backslash \; \backslash \; 0\; y\; \backslash \; v\_y\; y\; 0\; y\; 0\; \backslash \; 0\; y\; 0\; y\; v\_z\; y\; 0\; \backslash \; \backslash \; 0\; y\; 0\; y\; 0\; y\; 1\; \backslash \; extremo\; \{bmatrix\}\; \backslash \; comenzar\; \{el\; bmatrix\}\; p\_x\; \backslash \; \backslash \; p\_y\; \backslash \; \backslash \; \backslash \; \backslash \; 1\; del\; p\_z\; \backslash \; extremo\; \{bmatrix\}$

\ comenzar {el bmatrix} v_xp_x \ \ v_yp_y \ \ \ \ 1 del v_zp_z \ extremo {bmatrix}

El escalamiento es el uniforme Iff que los factores de escala son iguales. Si todos los factores de posicionamiento a menos que uno sea 1 nosotros tienen escalamiento direccional.

Puesto que el componente pasado de un coordenada homogéneo se puede ver como el denominador de los otros tres componentes, un escalamiento por un s del factor común puede ser logrado usando esta matriz del escalamiento: $S\_v\; =\; del\; \backslash \; comenzar\; \{el\; bmatrix\}\; 1\; y\; 0\; y\; 0\; y\; 0\; \backslash \; \backslash \; 0\; y\; 1\; y\; 0\; y\; 0\; \backslash \; \backslash \; 0\; y\; 0\; y\; 1\; y\; 0\; \backslash \; \backslash \; 0\; y\; 0\; y\; 0\; y\; \backslash \; frac\; \{1\}\; \{s\}\; \backslash \; extremo\; \{bmatrix\}$

Para cada homogéneo p del vector = (el p_x, p_y, p_z, 1) tendríamos $del\; S\_vp\; =\; \backslash \; comenzar\; \{el\; bmatrix\}\; 1\; y\; 0\; y\; 0\; y\; 0\; \backslash \; \backslash \; 0\; y\; 1\; y\; 0\; y\; 0\; \backslash \; \backslash \; 0\; y\; 0\; y\; 1\; y\; 0\; \backslash \; \backslash \; 0\; y\; 0\; y\; 0\; y\; \backslash \; frac\; \{1\}\; \{s\}\; \backslash \; extremo\; \{bmatrix\}\; \backslash \; comenzar\; \{el\; bmatrix\}\; p\_x\; \backslash \; \backslash \; p\_y\; \backslash \; \backslash \; \backslash \; \backslash \; 1\; del\; p\_z\; \backslash \; extremo\; \{bmatrix\}$

\ comenzar {el bmatrix} p_x \ \ \ p_y \ p_z \ \ \ frac {1} {s} \ extremo {bmatrix} cuál sería homogeneizado al $del\; \backslash \; comenzar\; \{el\; bmatrix\}\; sp\_x\; \backslash \; \backslash \; sp\_y\; \backslash \; \backslash \; \backslash \; \backslash \; 1\; del\; sp\_z\; \backslash \; extremo\; \{bmatrix\}$

Ver también

Escala (cociente)
Escala (mapa)
Escalas de los modelos de escala
Escala (desambiguación)

Matriz de la transformación

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Zenithic

John Harsanyi

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