En la física un Lorentz escalar es un escalar que es invariante bajo transformación de Lorentz. Un escalar de Lorentz se genera de vectores y de tensores. Mientras que los vectores y los tensores son alterados por las transformaciones de Lorentz, los escalares son sin cambios.
En la relatividad especial la localización de una partícula en espacio-tiempo dimensional 4 es dada por su línea del mundo x^ del del l {\ MU} = (, \ mathbf {x} del ct)
l {\ MU} = (, \ mathbf {x} del ct)
donde está la posición = \ mathbf {v} t del \ del mathbf {x} en el espacio de 3 dimensiones de la partícula, el \ el mathbf {v} es la velocidad en espacio de 3 dimensiones y el c es la velocidad de la luz . El " length" del vector está un Lorentz escalar y se da cerca x_ {\ MU} x^ {\ MU} = \ eta_ {\ MU \ NU} x^ {\ MU} x^ {\ NU} = (ct) ^2 - \ mathbf {x} \ cdot \ mathbf {} \ \ de x \ \ tau^2 del stackrel {\ mathrm {def}} {=} donde está tiempos el \ tau de c el tiempo apropiado según lo medido por un reloj en el marco de resto de la partícula y del métrico se da cerca = \ eta_ del \ del eta^ del l {\ MU \ NU} {\ MU \ NU} = \ comienza {pmatrix} 1 y 0 y 0 y 0 \ \ 0 y -1 y 0 y 0 \ \ 0 y 0 y -1 y 0 \ \ 0 y 0 y 0 y -1 \ extremo {pmatrix} . Ésta es a tiempo-como métrico. El Minkowski métrico se utiliza a menudo en el cual las muestras de las se invierten. = \ eta_ del \ del eta^ del l {\ MU \ NU} {\ MU \ NU} = \ comienza {pmatrix} -1 y 0 y 0 y 0 \ \ 0 y 1 y 0 y 0 \ \ 0 y 0 y 1 y 0 \ \ 0 y 0 y 0 y 1 \ extremo {pmatrix} . Ésta es a espacio-como métrico. En métrico de Minkowski espacio-como el s del intervalo se define como x_ {\ MU} x^ {\ MU} = \ eta_ {\ MU \ NU} x^ {\ MU} x^ {\ NU} = \ mathbf {x} \ cdot \ mathbf {x} - (ct) ^2 \ \ stackrel {\ mathrm {def}} {=} \ s^2 . Utilizamos el Minkowski métrico en el resto de este artículo. La longitud de un vector de la velocidad La velocidad en espacio-tiempo se define como v^ {\ MU} \ \ stackrel {\ mathrm {def}} {=} \ {dx^} \ sobre {\ MU d \ el tau} = \ dejado (\ gamma, \ gamma {\ mathbf {} \ sobre de v c} \ derecho) = \ dejado (c {despegue \ sobre d \ el tau}, {despegue \ sobre d \ tau} {d \ mathbf {} \ sobre de x despegue} \ derecho) donde \ gamma \ \ stackrel {\ mathrm {def}} {=} \ {1 \ encima {\ raíz cuadrada {1 - mathbf {} \} \ sobre del cdot de v \ del mathbf {v} c^ }}} . La magnitud de las 4 velocidades es un Lorentz escalar y está menos uno, v^ del v_ del del l {\ MU} {\ MU} = -1 . Las 4 velocidades están por lo tanto, no sólo una representación de la velocidad en espacio-tiempo, son también un vector de unidad en la dirección de la posición de la partícula en espacio-tiempo. El producto interno de la aceleración y de la velocidad La aceleración 4 se da cerca a^ {\ MU} \ \ stackrel {\ mathrm {def}} {=} \ {dv^} \ sobre {\ MU d \ el tau} . La aceleración 4 es siempre perpendicular a las 4 velocidades 0 = {1 \ sobre 2} {d \ sobre} \ dejado de d \ del tau (v^ del v_ {\ MU} {\ MU} \ derecho) = {d v_} \ sobre {\ MU d \ el tau} v^ {\ MU} = v^ del a_ {\ MU} {\ MU} . Por lo tanto, podemos mirar la aceleración en espacio-tiempo como simplemente rotación de las 4 velocidades. El producto interno de la aceleración y de la velocidad es un Lorentz escalar y es cero. Esta rotación es simplemente una expresión del ahorro de energía: {d E \ sobre d \ el tau} = \ mathbf {} \ cdot {\ mathbf {} \ sobre de v c} de F donde está la energía el E de una partícula y \ el mathbf {F} es la fuerza 3 en la partícula. Energía, masa de resto, ímpetu 3, y 3 velocidades a partir del ímpetu el 4 Ver 2, P. A espacio-como métrico se utiliza. El ímpetu 4 de una partícula es el p^ del del l {\ MU} = = \ dejado (\ gamma m, \ gamma {m \ mathbf {} \ sobre de v c} \) = derecho \ dejado del v^ de m {\ MU} (\ gamma m, {\ mathbf {} \ sobre de p c} \ derecho) = \ se fue ({E \ sobre c^2}, {\ mathbf {} \ sobre de p c} \) derecho donde está la masa el m de resto de la partícula, el \ el mathbf {p} es el ímpetu en el espacio 3, y = \ gamma m c^2 del del l E es la energía de la partícula. Medida de la energía de una partícula Considerar una segunda partícula con el u de 4 velocidades y un de 3 velocidades \ un mathbf {u} _2 . En el marco de resto de la segunda partícula el producto interno del u con el p es proporcional a la energía de la primera partícula u^ del p_ del del l {\ MU} {\ MU} = - {E_1 \ sobre c^2} donde el 1 suscrito indica la primera partícula. Puesto que la relación es verdad en el marco de resto de la segunda partícula, es verdad en cualquier marco de referencia. El E_1 , la energía de la primera partícula en el marco de la segunda partícula, es un escalar de Lorentz. Por lo tanto = \ - \ gamma_2 \ mathbf {p} _1 \ cdot \ mathbf {u} _2 de gamma_1 del del l {E_1 \ sobre c^2} \ de gamma_2 m_1 en cualquie marco de referencia intertial, donde todavía está la energía el E_1 de la primera partícula en el marco de la segunda partícula. Medida de la masa de resto de la partícula En el marco de resto de la partícula el producto interno del ímpetu está p^ del p_ del {\ MU} {\ MU} = - m^2 . Por lo tanto el m^2 es un escalar de Lorentz. La relación sigue siendo independiente verdadera del bastidor en el cual se calcula el producto interno. Medida del ímpetu 3 de la partícula Observar eso \ ido (u^ del p_ {\ MU} {\ MU} \ derecho) ^2 + p_ {\ MU} p^ {\ MU} = {E_1^2 \ sobre c^4} - m^2 = \ ido (\ gamma_1^2 -1 \ derecho) m^2 = \ gamma_1^2 {{\ mathbf {v}} del mathbf {v} de _1 \ del cdot \ _1 \ sobre c^2} m^2 = \ mathbf {p} _1 \ cdot \ mathbf {p} _1 . El cuadrado de la magnitud del ímpetu 3 de la partícula según lo medido en el marco de la segunda partícula es un escalar de Lorentz. Medida de las 3 velocidades de la partícula Las 3 velocidades, en el marco de la segunda partícula, se pueden construir a partir de dos escalares de Lorentz v_1^2 = \ mathbf {v} _1 \ cdot \ mathbf {v} _1 = {{\ mathbf {p}} \ encima de _1 \ del cdot \ del mathbf {p} _1 c^6 {E_1^2}} . Escalares más complicados Los escalares se pueden también construir de los tensores y de los vectores, de la contracción de tensores, o de las combinaciones de contracciones de tensores y de vectores. Ver también transporte del Fermi-Caminante del de Albert Einstein l . ZenithicGliddenRandom links:Arma automática del pelotón | Pompeu Fabra | Tim Lander | Spontoon | Estomacal
El " length" del vector está un Lorentz escalar y se da cerca
x_ {\ MU} x^ {\ MU} = \ eta_ {\ MU \ NU} x^ {\ MU} x^ {\ NU} = (ct) ^2 - \ mathbf {x} \ cdot \ mathbf {} \ \ de x \ \ tau^2 del stackrel {\ mathrm {def}} {=}
donde está tiempos el \ tau de c el tiempo apropiado según lo medido por un reloj en el marco de resto de la partícula y del métrico se da cerca = \ eta_ del \ del eta^ del l {\ MU \ NU} {\ MU \ NU} = \ comienza {pmatrix} 1 y 0 y 0 y 0 \ \ 0 y -1 y 0 y 0 \ \ 0 y 0 y -1 y 0 \ \ 0 y 0 y 0 y -1 \ extremo {pmatrix} .
l {\ MU \ NU} {\ MU \ NU} = \ comienza {pmatrix} 1 y 0 y 0 y 0 \ \ 0 y -1 y 0 y 0 \ \ 0 y 0 y -1 y 0 \ \ 0 y 0 y 0 y -1 \ extremo {pmatrix}
Ésta es a tiempo-como métrico. El Minkowski métrico se utiliza a menudo en el cual las muestras de las se invierten. = \ eta_ del \ del eta^ del l {\ MU \ NU} {\ MU \ NU} = \ comienza {pmatrix} -1 y 0 y 0 y 0 \ \ 0 y 1 y 0 y 0 \ \ 0 y 0 y 1 y 0 \ \ 0 y 0 y 0 y 1 \ extremo {pmatrix} .
l {\ MU \ NU} {\ MU \ NU} = \ comienza {pmatrix} -1 y 0 y 0 y 0 \ \ 0 y 1 y 0 y 0 \ \ 0 y 0 y 1 y 0 \ \ 0 y 0 y 0 y 1 \ extremo {pmatrix}
Ésta es a espacio-como métrico. En métrico de Minkowski espacio-como el s del intervalo se define como
x_ {\ MU} x^ {\ MU} = \ eta_ {\ MU \ NU} x^ {\ MU} x^ {\ NU} = \ mathbf {x} \ cdot \ mathbf {x} - (ct) ^2 \ \ stackrel {\ mathrm {def}} {=} \ s^2 .
Utilizamos el Minkowski métrico en el resto de este artículo.
La velocidad en espacio-tiempo se define como
v^ {\ MU} \ \ stackrel {\ mathrm {def}} {=} \ {dx^} \ sobre {\ MU d \ el tau} = \ dejado (\ gamma, \ gamma {\ mathbf {} \ sobre de v c} \ derecho) = \ dejado (c {despegue \ sobre d \ el tau}, {despegue \ sobre d \ tau} {d \ mathbf {} \ sobre de x despegue} \ derecho)
donde
\ gamma \ \ stackrel {\ mathrm {def}} {=} \ {1 \ encima {\ raíz cuadrada {1 - mathbf {} \} \ sobre del cdot de v \ del mathbf {v} c^ }}} .
La magnitud de las 4 velocidades es un Lorentz escalar y está menos uno, v^ del v_ del del l {\ MU} {\ MU} = -1 .
l {\ MU} {\ MU} = -1
Las 4 velocidades están por lo tanto, no sólo una representación de la velocidad en espacio-tiempo, son también un vector de unidad en la dirección de la posición de la partícula en espacio-tiempo.
La aceleración 4 se da cerca
a^ {\ MU} \ \ stackrel {\ mathrm {def}} {=} \ {dv^} \ sobre {\ MU d \ el tau} .
La aceleración 4 es siempre perpendicular a las 4 velocidades
0 = {1 \ sobre 2} {d \ sobre} \ dejado de d \ del tau (v^ del v_ {\ MU} {\ MU} \ derecho) = {d v_} \ sobre {\ MU d \ el tau} v^ {\ MU} = v^ del a_ {\ MU} {\ MU} .
Por lo tanto, podemos mirar la aceleración en espacio-tiempo como simplemente rotación de las 4 velocidades. El producto interno de la aceleración y de la velocidad es un Lorentz escalar y es cero. Esta rotación es simplemente una expresión del ahorro de energía:
{d E \ sobre d \ el tau} = \ mathbf {} \ cdot {\ mathbf {} \ sobre de v c} de F
donde está la energía el E de una partícula y \ el mathbf {F} es la fuerza 3 en la partícula.
Ver 2, P. A espacio-como métrico se utiliza.
El ímpetu 4 de una partícula es el p^ del del l {\ MU} = = \ dejado (\ gamma m, \ gamma {m \ mathbf {} \ sobre de v c} \) = derecho \ dejado del v^ de m {\ MU} (\ gamma m, {\ mathbf {} \ sobre de p c} \ derecho) = \ se fue ({E \ sobre c^2}, {\ mathbf {} \ sobre de p c} \) derecho
l {\ MU} = = \ dejado (\ gamma m, \ gamma {m \ mathbf {} \ sobre de v c} \) = derecho \ dejado del v^ de m {\ MU} (\ gamma m, {\ mathbf {} \ sobre de p c} \ derecho) = \ se fue ({E \ sobre c^2}, {\ mathbf {} \ sobre de p c} \)
donde está la masa el m de resto de la partícula, el \ el mathbf {p} es el ímpetu en el espacio 3, y = \ gamma m c^2
l E
es la energía de la partícula.
Considerar una segunda partícula con el u de 4 velocidades y un de 3 velocidades \ un mathbf {u} _2 . En el marco de resto de la segunda partícula el producto interno del u con el p es proporcional a la energía de la primera partícula u^ del p_ del del l {\ MU} {\ MU} = - {E_1 \ sobre c^2}
l {\ MU} {\ MU} = - {E_1 \ sobre c^2}
donde el 1 suscrito indica la primera partícula.
Puesto que la relación es verdad en el marco de resto de la segunda partícula, es verdad en cualquier marco de referencia. El E_1 , la energía de la primera partícula en el marco de la segunda partícula, es un escalar de Lorentz. Por lo tanto = \ - \ gamma_2 \ mathbf {p} _1 \ cdot \ mathbf {u} _2
l {E_1 \ sobre c^2} \ de gamma_2 m_1
en cualquie marco de referencia intertial, donde todavía está la energía el E_1 de la primera partícula en el marco de la segunda partícula.
En el marco de resto de la partícula el producto interno del ímpetu está
p^ del p_ del {\ MU} {\ MU} = - m^2 .
Por lo tanto el m^2 es un escalar de Lorentz. La relación sigue siendo independiente verdadera del bastidor en el cual se calcula el producto interno.
Observar eso
\ ido (u^ del p_ {\ MU} {\ MU} \ derecho) ^2 + p_ {\ MU} p^ {\ MU} = {E_1^2 \ sobre c^4} - m^2 = \ ido (\ gamma_1^2 -1 \ derecho) m^2 = \ gamma_1^2 {{\ mathbf {v}} del mathbf {v} de _1 \ del cdot \ _1 \ sobre c^2} m^2 = \ mathbf {p} _1 \ cdot \ mathbf {p} _1 .
El cuadrado de la magnitud del ímpetu 3 de la partícula según lo medido en el marco de la segunda partícula es un escalar de Lorentz.
Las 3 velocidades, en el marco de la segunda partícula, se pueden construir a partir de dos escalares de Lorentz
v_1^2 = \ mathbf {v} _1 \ cdot \ mathbf {v} _1 = {{\ mathbf {p}} \ encima de _1 \ del cdot \ del mathbf {p} _1 c^6 {E_1^2}} .
Los escalares se pueden también construir de los tensores y de los vectores, de la contracción de tensores, o de las combinaciones de contracciones de tensores y de vectores.
.
