"Globose" vuelve a dirigir aquí. Ver también el núcleo globoso . Una esfera es un objeto geométrico simétrico . En uso no matemático, el término se utiliza para referirse a una bola redonda o a su superficie de dos dimensiones . En las matemáticas, una esfera es el sistema de todos los puntos en el espacio tridimensional ( R ³) que estén en el r de la distancia de un punto fijo de ese espacio, donde está un número el r verdadero positivo llamado el radio de la esfera. Así, en tres dimensiones, una esfera matemática se considera ser superficie esférica (de dos dimensiones) de a, algo que el volumen contenido dentro de ella. El punto fijo se llama el centro o el centro, y no es la parte de la esfera sí mismo. El caso especial del r = 1 se llama una esfera de unidad del .

Este artículo se ocupa del concepto matemático de una esfera. En la física, una esfera es un objeto (idealizado generalmente por simplicidad) capaz de chocar o del amontonamiento con otros objetos que ocupen el espacio.

Ecuaciones en el 3 de R ^del

En la geometría analítica, una esfera con el centro ( x ₀, y ₀, z ₀) y el r del radio es el lugar geométrico de todos los puntos ( x, y, z ) tales que $del$

l (x - x_0) ^2 + (y - y_0) ^2 + (z - z_0) ^2 = r^2.

Los puntos en la esfera con el r del radio se pueden parametrized vía $x\; del$

l = x_0 + r \ lechuga romana \ theta \; \ $pecado\backslash \; de\; la\; phi$ y = y_0 + r \ pecado \ theta \; \ pecado \ phi \ qquad (0 \ leq \ theta \ leq 2 \ < \) \, de la phi del pi \ del mbox {y} 0 \ del leq \ pi $del$
de z = z_0 + r \ lechuga romana \ phi \,

(véase también las funciones trigonométricas y los coordenadas esféricos ).

Una esfera de cualquier radio centrado en el origen es descrita por la ecuación diferencial siguiente: $x\; \backslash ,\; del$

l dx + y \, dy + z \, DZ = 0.

Esta ecuación refleja el hecho de que los vectores de la posición y de la velocidad de un punto que viaja en la esfera son siempre el ortogonal el uno al otro.

La superficie de una esfera del r del radio es $A\; del$

l = 4 \ pi r^2 \,

y su volumen incluido es

$V\; =\; \backslash \; frac\; \{4\}\; \{3\}\; \backslash \; pi\; r^3.$

El radio del volumen es $r\; del$

l = \ (V \ frac {3} {4 \ pi} \ derecho) ^ \ frac dejados {1} {3}.

La esfera tiene la superficie más pequeña entre todas las superficies que incluyen un volumen dado e incluye el volumen más grande entre todas las superficies cerradas con una superficie dada. Por esta razón, la esfera aparece en naturaleza: por ejemplo las burbujas y las pequeñas gotas del agua son áspero esférico, porque la tensión de superficie localmente reduce al mínimo la superficie.

El cilindro circunscrito para una esfera dada tiene un volumen que sea 3/2 por el volumen de la esfera, y también la porción curvada tiene una superficie que sea igual a la superficie de la esfera. Este hecho, junto con las fórmulas del volumen y de la superficie dadas arriba, era sabido ya al Archimedes .

Una esfera puede también ser definida mientras que la superficie formó girando un círculo sobre cualquier diámetro . Si el círculo es substituido por una elipse, y girado sobre el eje principal, la forma se convierte en un esferoide prolato, girado sobre el eje de menor importancia, un esferoide obleado.

Terminología

Los pares de puntos en una esfera que mientan en una línea recta a través de su centro se llaman los puntos antípodas Un gran círculo es un círculo en la esfera que tiene el mismo centro y radio que la esfera, y por lo tanto la divide en dos porciones iguales. La distancia más corta entre dos puntos no-antípodas distintos en la superficie y medidos a lo largo de la superficie, está en el gran círculo único que pasa a través de los dos puntos.

Si un punto particular en una esfera se señala como su Polo Norte, después el punto antípoda correspondiente se llama el poste del sur y el ecuador es el gran círculo que es equidistante a ellos. Los grandes círculos a través de los dos postes se llaman las líneas (o los meridianos de la longitud, y la línea que conecta los dos postes se llama el eje de la rotación . Los círculos en la esfera que son paralelos al ecuador son líneas de la latitud . Esta terminología también se utiliza para los cuerpos astronómicos tales como la tierra del planeta, aunque es ni esférico ni incluso el esferoidal (véase el geoide ).

Una esfera es dividida en dos hemisferios iguales por cualquier plano que pase a través de su centro. Si dos planos de intersección pasan a través de su centro, después subdividirán la esfera en cuatro lunes o biangles, las cimas cuyo todos coinciden con los puntos antípodas que mienten en la línea de intersección de los planos.

Generalización a otras dimensiones

considera también:

la N-esfera

Las esferas se pueden generalizar a los espacios de cualquier dimensión . Para cualquie n, un n - esfera del número natural del, escrita a menudo como n del ^{del S del, está el sistema de puntos adentro (el n +1) - espacio euclidiano dimensional que están en un fijo r de la distancia de un punto central de ese espacio, donde está el r, como antes, un número verdadero positivo. Particularmente:
el}

0 esferas es un par de puntos finales de un intervalo ( r del −, r ) de la línea verdadera
una 1 esfera es un círculo r del radio
una esfera 2 es una esfera ordinaria
una esfera 3 es una esfera en el espacio euclidiano dimensional 4.

Las esferas para el n > 2 a veces se llaman Hyperspheres

El n - la esfera del radio de la unidad se centró en el origen es el denotado n del ^{del S y se refiere a menudo como " the" n - esfera. Observar que la esfera ordinaria es una esfera 2, porque es una superficie de 2 dimensiones.}

La superficie del (el n −1) - esfera del radio 1 es

$2\; \backslash \; frac\; del\; \{\backslash \; pi^\; \{n/2\}\}\; \{\backslash gamma(n/2)\}$

donde Γ ( z ) es la función gamma de Euler.

Otra fórmula para la superficie es

$\backslash \; comenzar\; \{los\; casos\}\; \backslash \; displaystyle\; \backslash \; frac\; \{(2\; \backslash \; pi)\; ^\; \{n/2\}\; \backslash ,\; r^\; \{n-1\}\}\; \{2\; \backslash \; cdot\; 4\; \backslash \; cdots\; (n-2)\},\; y\; \backslash texto\{si\}\; n\; \backslash \; texto\; \{es\; uniforme\};\; \backslash \; \backslash \; \backslash \; \backslash \; \backslash \; displaystyle\; \backslash \; frac\; \{(2\; \backslash \; pi)\; ^\; 2\; \{(n-1)\; /2\}\; \backslash ,\; r^\; \{n-1\}\}\; \{1\; \backslash \; cdot\; 3\; \backslash \; cdots\; (n-2)\},\; y\; \backslash \; texto\; \{si\}\; n\; \backslash \; texto\; \{es\; impar\}.\; \backslash \; extremo\; \{casos\}$

y el volumen dentro es el $delos\; tiemposde\; la\; superficie\; \{r\; \backslash \; sobre\; n\}$ o

$\backslash \; comenzar\; \{los\; casos\}\; \backslash \; displaystyle\; \backslash \; frac\; \{(2\; \backslash \; pi)\; ^\; \{n/2\}\; \backslash ,\; r^n\}\; \{2\; \backslash \; cdot\; 4\; \backslash \; cdots\; n\},\; y\; \backslash \; texto\; \{si\}\; n\; \backslash \; texto\; \{es\; uniforme\};\; \backslash \; \backslash \; \backslash \; \backslash \; \backslash \; displaystyle\; \backslash \; frac\; \{(2\; \backslash \; pi)\; ^\; 2\; \{(n-1)\; /2\}\; \backslash ,\; r^n\}\; \{1\; \backslash \; cdot\; 3\; \backslash \; cdots\; n\},\; y\; \backslash \; texto\; \{si\}\; n\; \backslash \; texto\; \{es\; impar\}.\; \backslash \; extremo\; \{casos\}$

Generalización a los espacios métricos

Más generalmente, en un espacio métrico ( E, d ), la esfera del de centro x y el radio es el sistema del y de los puntos tales que   del d ( x, y ); = r .

Si el centro es un punto distinguido considerado como origen del E, como en un normed el espacio de, no se menciona en la definición y la notación. Igual solicita el radio si se toma igual a uno, como en el caso de una esfera de unidad .

En contraste con una bola, una esfera puede ser un sistema vacío, incluso para un radio grande. Por ejemplo, en el n del ^{del Z con el métrico euclidiano, una esfera del r del radio es no vacía solamente si el r 2 se puede escribir como suma de cuadrados del n de números enteros.}

Topología

En la topología, del n del an - sphere se define como homeomórfico del espacio al límite de un (n+1) - bola ; así, es el homeomórfico al euclidiano n - esfera, pero quizás falta de su métrico.
el

0 esferas es un par de puntos con la topología discreta
una 1 esfera es un círculo ( hasta el homeomorfismo del ); así, por ejemplo, (la imagen de) cualquier nudo es una 1 esfera
una esfera 2 es una esfera ordinaria ( hasta el homeomorfismo del ); así, por ejemplo, cualquier esferoide es una esfera 2

El n - la esfera es el denotado n del ^{del S . Es un ejemplo de un múltiple topológico del acuerdo sin el límite . Una esfera no necesita ser el liso; si es lisa, no necesita ser Diffeomorphic a la esfera euclidiana.}

El teorema de Heine-Borel implica que un euclidiano n - la esfera es compacta. La esfera es la imagen inversa de un uno-punto fijado bajo función continua || x ||. Por lo tanto la esfera es una cerrada. El n del ^{del S también se limita. Por lo tanto es compacto.}

Geometría esférica

considera también:

la geometría esférica Los elementos básicos de la geometría plana son los puntos y las líneas en la esfera, puntos se definen en el sentido generalmente, pero el análogo del " line" no puede ser inmediatamente evidente. Si uno mide por la longitud de arco uno encuentra que el Shortest-Path que conecta dos puntos que mienten enteramente en la esfera es un segmento del gran círculo que contiene los puntos; ver el geodésico. Muchos teoremas de la geometría clásica son verdad para esta geometría esférica también, pero muchos no hacen (véase el postulado del paralelo). En la trigonometría esférica, los ángulos se definen entre los grandes círculos. Así la trigonometría esférica es diferente de la trigonometría ordinaria en muchos aspectos. Por ejemplo, la suma de los ángulos interiores de un triángulo esférico excede 180 grados. También, cualquier dos triángulos esféricos similares son congruentes.

Once características de la esfera

En su geometría del del libro y el David Hilbert de la imaginación y Stephan Cohn-Vossen describen once características de la esfera y las discuten si estas características determinan únicamente la esfera. Varias características se sostienen para el plano que se puede pensar en como esfera con el radio infinito. Estas características son: El los puntos en la esfera es toda la misma distancia de un punto fijo. También, el cociente de la distancia de sus puntos a partir de dos puntos fijos es constante.

de : La primera parte es la definición generalmente de la esfera y la determina únicamente. La segunda parte se puede deducir fácilmente y sigue un resultado similar Apollonius de Perga para el círculo . Esta segunda parte también se sostiene para el plano .

El los contornos y las secciones planas de la esfera es círculos.

de : Esta característica define la esfera únicamente.

El la esfera tiene anchura constante y circunferencia constante.

de : La anchura de una superficie es la distancia entre los pares de planos de tangente paralelos. Hay numeroso otras superficies convexas cerradas que tengan anchura constante, por ejemplo el tetraedro de Meissner. La circunferencia de una superficie está la circunferencia del límite de su proyección ortogonal prendido a un plano. Puede ser probado que cada uno de estas características implica la otra.

El todos los puntos de una esfera es umbilics.

de : En cualquier momento en una superficie podemos encontrar un en dirección normal que sea perpendicular a la superficie, para la esfera éstos en las líneas irradiando hacia fuera del centro de la esfera. La intersección de un plano que contiene el normal con la superficie formará una curva llamada una sección normal del y la curvatura de esta curva es la curvatura seccional del . Para la mayoría de los puntos en diversas secciones de las superficies tendrán diversas curvaturas, el máximo y los valores mínimos de éstos se llaman las curvaturas principales que puede ser probado que cualquier superficie cerrada tendrá por lo menos cuatro puntos llamados los puntos del cordón umbilical '. En un umbílico todas las curvaturas seccionales son iguales, particularmente el que la curvatura principal 's es igual. Los puntos umbilicales se pueden pensar en como los puntos donde la superficie es aproximada de cerca por una esfera.

: Para la esfera las curvaturas de todas las secciones normales son iguales, así que cada punto es un umbílico. La esfera y el plano son las únicas superficies con esta característica.

la esfera no tiene una superficie de centros.

del : Para una sección normal dada hay un círculo cuya curvatura es igual que la curvatura seccional, es tangente a la superficie y cuyas líneas de centro adelante en la línea normal. Tomar a dos la correspondencia de centro al máximo y las curvaturas seccionales mínimas éstos se llaman el de los puntos focales de, y el sistema de todos tales centros forma la superficie focal .

: Para la mayoría de las superficies las formas de la superficie focal dos hojas que es una superficie y que vienen junta en los puntos umbilicales. Hay un número de casos especiales. Para las superficies uno del canal la hoja forma una curva y la otra hoja es una superficie; Para los cilindros de los conos, el Toruses y hojas de Cyclides ambas forman curvas. Para la esfera el centro de cada círculo osculating está en el centro de la esfera y la superficie focal forma un monopunto. Ésta es una característica única de la esfera.

toda la geodesia de la esfera son curvas cerradas.

del : La geodesia es las curvas en una superficie que dan la distancia más corta entre dos puntos. Son generalización del concepto de una línea recta en el plano. Para la esfera la geodesia es grandes círculos. Hay muchas otras superficies con esta característica.

de todos los sólidos que tienen un volumen dado, la esfera es el que está con la superficie más pequeña; de todos los sólidos que tienen una superficie dada, la esfera es la que está que tiene el más grande del volumen.

: Estas características definen la esfera únicamente. Estas características pueden ser consideradas observando burbujas de jabón que la burbuja de jabón de A incluirá un volumen fijo y debido a la tensión de superficie intentará reducir al mínimo su superficie. Por lo tanto una burbuja de jabón flotante libre será aproximadamente una esfera, factores como la gravedad causará una distorsión leve.

la esfera tiene la curvatura mala total más pequeña entre todos los sólidos convexos con una superficie dada.

del : La curvatura mala es el promedio de las dos curvaturas principales y como éstas son constantes en todos los puntos de la esfera entonces así que es la curvatura mala.

la esfera tiene curvatura mala positiva constante.

del : La esfera es la única superficie sin límite o singularidades con curvatura mala positiva constante. Hay otras superficies con curvatura mala constante, las superficies mínimas que tienen curvatura mala cero.

la esfera tiene curvatura gausiana positiva constante.

del : La curvatura gausiana es el producto de las dos curvaturas del principio. Es una característica intrínseca que se puede determinar midiendo longitud y ángulos y no depende de la manera que la superficie es encajado en espacio. Por lo tanto, el doblez de una superficie no alterará la curvatura gausiana y otras superficies con curvatura gausiana positiva constante pueden ser obtenidas cortando una pequeña raja en la esfera y doblándola. Estas el resto de las superficies tendrían límites y la esfera es la única superficie sin límite con curvatura gausiana positiva constante. El Pseudosphere es un ejemplo de una superficie con curvatura gausiana negativa constante.

la esfera es transformado en sí mismo por una familia del tres-parámetro de movimientos rígidos.

del : Considerar un lugar de la esfera de unidad en el origen, una rotación alrededor del de x, de y o el eje del de z trazará la esfera sobre sí mismo, cualquier rotación sobre una línea con el origen se puede expresar de hecho como combinación de rotaciones alrededor del eje coordinado tres, considera los ángulos de Euler. Así hay una familia de rotaciones que transformen la esfera sobre sí mismo, ésta de tres parámetros es el grupo, de la rotación TAN (3) . El plano es el único la otra superficie con una familia de tres parámetros de las transformaciones (traducciones a lo largo de los x ejes del de y del de y y rotaciones alrededor del origen). Los cilindros circulares son las únicas superficies con dos familias del parámetro de movimientos rígidos y las superficies de la revolución y de los helicoides son las únicas superficies con una familia de un parámetro.

Zenithic

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