En las matemáticas, la esfera de Riemann del es una manera de ampliar el plano de los números complejos con un punto adicional en el infinito, de una manera que haga expresiones tales como
$1/0\; del$
= \ infty well-behaved y útil, por lo menos en ciertos contextos. Se nombra después Bernhard Riemann del matemático del siglo XIX . También se llama
la línea descriptiva complejo del, $denotado\; \backslash \; mathbb\; \{CP\}\; ^1$, y
extendido complejo plano, denotado $\backslash \; mathbb\; \{\backslash sombrero\{C\}\}$ o $\backslash \; mathbb\; \{\}\; \backslash \; taza\; \backslash \; \{de\; C\; \backslash \; infty\; \backslash \}$.

En puramente un nivel algebraico, los números complejos con un elemento adicional del infinito constituyen un sistema de numeración conocido como los números complejos ampliados . La aritmética con infinito no obedece todas las reglas generalmente de álgebra, y así que los números complejos extendidos no forman un campo . Sin embargo, la esfera de Riemann es geométrico y analítico well-behaved, incluso cerca de infinito; es un múltiple complejo dimensional de uno, también llamado un Riemann superficial.

En el análisis complejo, la esfera de Riemann facilita una teoría elegante de las funciones meromórficas . La esfera de Riemann es ubicua en la geometría descriptiva y la geometría algebraica como ejemplo fundamental de un múltiple complejo, de un espacio descriptivo, y de una variedad algebraica . También encuentra utilidad en otras disciplinas que dependan de análisis y de geometría, tal como mecánicos de Quantum y otras ramas de la física .

Como múltiple complejo

Como múltiple complejo unidimensional, la esfera de Riemann se puede describir por dos cartas, ambas con el dominio igual al $\backslash \; al\; mathbb\; \{C\}$ del plano del número complejo. Dejar el $\backslash \; zeta$ y el $\backslash \; xi$ ser coordenadas del complejo en el $\backslash \; el\; mathbb\; \{C\}$. Identificar el $diferente\; a\; cero\; \backslash \; zeta$ de los números complejos con el $diferente\; a\; cero\; \backslash \; xi$ de los números complejos usar los mapas de transición : $\backslash \; zeta\; =\; 1/\backslash \; XI,/\backslash \; zeta.$ del $\backslash \; XI\; =\; 1\; del\; de$ Puesto que los mapas de transición son el olomorfo, definen un múltiple complejo, llamado la esfera de Riemann del .

Intuitivo, los mapas de transición indican cómo pegar dos planos juntos para formar la esfera de Riemann. Los planos se pegan en un " dentro de-out" manera, de modo que se traslapen casi por todas partes, con cada plano contribuyendo apenas un punto (su origen) que falta del otro plano. Es decir (casi) cada punto en la esfera de Riemann tiene un valor del $\backslash \; zeta$ y un valor del $\backslash \; xi$, y los dos valores son relacionados por el $\backslash \; la\; zeta\; =\; 1/\backslash \; xi$. El punto donde el $\backslash \; XI\; =\; 0$ debe entonces tener " del $\backslash \; zeta$-value; $1/0$" ; en este sentido, el origen del $\backslash \; xi$-chart desempeña el papel del " $\backslash \; infty$" en el $\backslash \; zeta$-chart. Simétricamente, el origen del $\backslash \; zeta$-chart desempeña el papel del $\backslash \; infty$ con respecto al $\backslash \; xi$-chart.

El topológico, el espacio resultante es el compactification del uno-punto de un plano en la esfera. Sin embargo, la esfera de Riemann no es simplemente una esfera topológica. Es una esfera con una estructura compleja bien definido, de modo que alrededor de cada punto en la esfera haya una vecindad que se puede biholomorphically identificar con el $\backslash \; el\; mathbb\; \{C\}$.

Por una parte, el teorema de Uniformization, un resultado central en la clasificación de Riemann emerge, indica que los múltiples complejos unidimensionales Simple-conectados único son el plano complejo, el plano hiperbólico, y la esfera de Riemann. De éstos, la esfera de Riemann es la única que es un la superficie cerrada (una superficie del acuerdo sin el límite ). Por lo tanto la esfera de dos dimensiones admite una estructura compleja única que le da vuelta en un múltiple complejo unidimensional.

Como la línea descriptiva compleja

La esfera de Riemann se puede también definir como la línea descriptiva compleja . Éste es el subconjunto del $\backslash \; del\; mathbb\; \{C\}\; ^2$ que consisten en todo el $de\; los\; pares\; (\backslash \; alfa,\; \backslash \; beta)$ de números complejos, no ambo cero, modulo el $del\; de\; larelación\; de\; equivalencia(\backslash \; alfa,\; \backslash \; beta)\; =\; (\backslash ,\; \backslash \; lambda\; de\; la\; lambda\; \backslash \; de\; la\; alfa\; \backslash \; beta)$ para todo el $diferente\; a\; cero\; \backslash \; lambda$ de los números complejos. El $delplano\; complejo\backslash \; el\; mathbb\; \{C\}$, con el $coordinado\; \backslash \; zeta$, se pueden trazar en la línea descriptiva compleja por el $del\; (\backslash \; alfa,\; \backslash \; beta)\; =\; (\backslash \; zeta,\; 1).$ Otra copia del $\backslash \; del\; mathbb\; \{C\}$ con el $coordinado\; \backslash \; xi$ se puede trazar adentro por el $del\; (\backslash \; alfa,\; \backslash \; beta)\; =\; (1,\; \backslash \; XI).$ Estas dos cartas complejas cubren la línea descriptiva. Para el $diferente\; a\; cero\; \backslash \; xi$ el $del\; de\; las\; identificaciones\; (1,\; \backslash \; XI)\; =\; (1/\backslash \; XI,\; 1)\; =\; (\backslash \; zeta,\; 1)$ demostrar que los mapas de transición son $\backslash \; zeta\; =\; 1/\backslash /\backslash \; zeta$ de xi y del $\backslash \; XI\; =\; 1,\; como\; arriba.$

Este tratamiento de la esfera de Riemann conecta lo más fácilmente posible con la geometría descriptiva. Por ejemplo, cualquier línea (o cónicos lisos) en el plano descriptivo complejo es biholomorphic a la línea descriptiva compleja. Es también conveniente para estudiar los automorfismos de la esfera más adelante en este artículo.

Como esfera

La esfera de Riemann se puede visualizar como la esfera de unidad $x^2\; +\; y^2\; +\; z^2\; =\; 1$ en el $\backslash \; el\; mathbb\; verdaderos\; tridimensionales\; \{R\}\; ^3$ del espacio. Con este fin, considerar el la proyección estereográfica de la esfera de unidad menos el $del\; punto\; (0,\; 0,\; 1)$ sobre el $z\; =\; el\; 0$ planos, que identificamos con el plano complejo por el $\backslash \; la\; zeta\; =\; x\; +\; i\; y$. En $cartesiano\; de\; los\; coordenadas\; (x,\; y,\; el$ esférico\; de\; los\; coordenadas\; de\; z)$y\; (\backslash ,\; \backslash \; theta\; de\; la\; phi)$ en la esfera (con el $\backslash \; phi$ el zenit y el $\backslash \; theta$ el acimut), la proyección es = \ frac del $\backslash \; de\; la\; zeta\; del\; \{x\; +\; i\; y\}\; \{1\; -\; z\}\; =\; \backslash \; choza\; (\backslash \; phi/2)\; \backslash ;\; e^\; \{i\; \backslash \; theta\}.$ Semejantemente, proyección estereográfica del $(0,\; 0,\; -1)$ sobre el $z\; =\; plano\; 0$, identificado con otra copia del plano complejo por el $\backslash \; XI\; =\; x\; -\; i\; y$, se escribe el $\backslash \; XI\; del\; =\; \backslash \; =\; \backslash \; tan\; del\; frac\; \{x\; -\; i\; y\}\; \{1\; +\; z\}\; (\backslash \; phi/2)\; \backslash ;\; e^\; \{-\; i\; \backslash \; theta\}.$ (Los dos planos complejos se identifican diferentemente con el $z\; =\; el\; 0$ planos. Una orientación - la revocación es necesaria mantener la orientación constante en la esfera, y particularmente la conjugación compleja hace los mapas de transición ser olomorfos.) Los mapas de transición entre el $\backslash \; zeta$-coordinates y el $\backslash \; xi$-coordinates son obtenidos componiendo una proyección con lo contrario de la otra. Resultan ser $\backslash \; zeta\; =\; 1/\backslash /\backslash \; zeta$ de xi y del $\backslash \; XI\; =\; 1,\; como\; se\; describe\; anteriormente.\; Así\; la\; esfera\; de\; unidad\; es\; el\; diffeomorphic\; a\; la\; esfera\; de\; Riemann.$

Debajo de este diffeomorphism, el círculo de unidad en el $\backslash \; zeta$-chart, el círculo de unidad en el $\backslash \; xi$-chart, y el ecuador de la esfera de unidad todo se identifican. El se identifica con el , mientras que el se identifica con el $z\; >\; 0$ del hemisferio norte.

Métrico

Una superficie de Riemann no viene equipado de ningún particular métrico Riemannian. Sin embargo, la estructura compleja de la superficie de Riemann determina únicamente un métrico hasta la equivalencia conformal . (Dos métricas reputan conformally equivalente si diferencian por la multiplicación por una función lisa positivo.) Inversamente, métrico en una superficie orientada determina únicamente una estructura compleja, que depende del métrico solamente hasta equivalencia conformal. Las estructuras complejas en una superficie orientada están por lo tanto en correspondencia una por con las clases conformales de métricas en esa superficie.

Dentro de una clase conformal dada, una puede utilizar simetría conformal para encontrar un representante métrico con las características convenientes. Particularmente, hay siempre un métrico completo con la curvatura constante en cualquier clase conformal dada.

En el caso de la esfera de Riemann, el teorema del Gauss-Capo implica que una necesidad métrica de la constante-curvatura tiene positivo K de la curvatura . Sigue que el métrico debe ser el isométrico a la esfera del/\ raíz cuadrada K del radio $1\; en\; el$ \backslash \; el\; mathbb\; \{R\}\; ^3$vía\; la\; proyección\; estereográfica.\; En\; el$ \backslash \; zeta$-chart\; en\; la\; esfera\; de\; Riemann,\; el\; métrico\; con\; el$ K\; =\; 1$es\; dado\; por\; =\; \backslash \; a\; la\; izquierda\; del$ ds^2\; (\backslash \; frac\; \{2\}\; \{1+|\backslash \; zeta|^2\}\; \backslash )\; ^2derechos\backslash ,|d\; \backslash \; zeta|^2\; =\; \backslash \; frac\; \{4\}\; \{\backslash \; (1\; +\; \backslash \; zeta\; \backslash \; barra\; \backslash \; zeta\; \backslash \; derecho)\; ^2\}\; dejado\; \backslash ,\; d\; \backslash \; zeta\; d\; \backslash \; barra\; \backslash \; zeta.$En\; verdadero\; coordenada$ \backslash \; zeta\; =\; u\; +\; iv$,\; fórmula\; es$

$ds^2\; =\; \backslash \; frac\; \{4\}\; \{\backslash \; a\; la\; izquierda\; (1\; +\; u^2\; +\; v^2\; \backslash \; derecho)\; ^2\}\; \backslash \; a\; la\; izquierda\; (du^2\; +\; dv^2\; \backslash \; derecho).$ Hasta un factor constante, este métrico conviene con el estándar Fubini-Estudia métrico en espacio descriptivo complejo (cuyo la esfera de Riemann es un ejemplo).

Inversamente, dejar el S denotar la esfera (como abstracto el múltiple topológico liso de o). Por el teorema del uniformization existe una estructura compleja única en el S . Sigue que cualquiera métrico en el S es conformally equivalente al redondo métrico. Todas tales métricas determinan la misma geometría conformal. El métrico redondo es por lo tanto no lo intrínseco a la esfera de Riemann, desde " roundness" no es un invariante de la geometría conformal. La esfera de Riemann es solamente un múltiple conformal no un múltiple Riemannian. Sin embargo, si uno necesita hacer geometría Riemannian en la esfera de Riemann, el métrico redondo es una opción natural.

Automorfismos

considera también:

la transformación de Möbius

El estudio de cualquier objeto matemático es ayudado por una comprensión de su grupo de automorfismos, significado los mapas del objeto a sí mismo que coto la estructura esencial del objeto. En el caso de la esfera de Riemann, un automorfismo es un mapa biholomorphic inversible de la esfera de Riemann a sí mismo. Resulta que el únicos tales mapas son las transformaciones que éstas son funciones del = \ frac {a \ zeta + b} {c \ zeta + d} del $f\; del\; de\; la\; forma\; (\backslash \; zeta),$ de Möbius donde están números $a$, $b$, $c$, y $d$ complejos tales que el $a\; d\; -\; b\; c\; \backslash \; neq\; 0$. Los ejemplos de las transformaciones de Möbius incluyen las traducciones de las rotaciones de las dilataciones y la inversión compleja. De hecho, cualquier transformación de Möbius se puede escribir como composición de éstos.

Las transformaciones de Möbius se ven provechoso como transformaciones en la línea descriptiva compleja. En descriptivo coordenada, transformación $f$ puede ser escrito

$f\; (\backslash \; alfa,\; \backslash \; beta)\; =\; (a\; \backslash \; alfa\; +\; b\; \backslash \; beta,\; c\; \backslash \; alfa\; +\; d\; \backslash \; beta)\; =\; \backslash \; comienzan\; \{\}\; \backslash \; alfa\; del\; pmatrix\; y\; \backslash \; beta\; \backslash \; extremo\; \{pmatrix\}\; \backslash \; comenzar\; \{pmatrix\}\; \backslash \; \backslash \; b\; y\; d\; \backslash \; extremo\; \{pmatrix\}\; de\; a\; y\; de\; c.$ Así las transformaciones de Möbius se pueden describir como $2\; \backslash \; matrices\; complejas\; de\; las\; épocas\; 2$ con el diferente a cero determinante; dos matrices rinden la misma transformación de Möbius si y solamente si diferencian por un constante diferente a cero. Así las transformaciones de Möbius corresponden exactamente al $\backslash \; al\; mathrm\; lineares\; \{PGL\}\; \_2\; (\backslash \; mathbb\; \{C\})$ de las transformaciones descriptivo.

Si uno dota la esfera de Riemann con Fubini-Estudiar métrico, después no todas las transformaciones de Möbius son isometries; por ejemplo, las dilataciones y las traducciones no son. Los isometries forman un subgrupo apropiado del $\backslash \; del\; mathrm\; \{PGL\}\; \_2\; (\backslash \; mathbb\; \{C\})$, a saber $\backslash \; mathrm\; \{fuente\; de\; alimentación\}\; \_2$. Este subgrupo es isomorfo al $\backslash \; al\; mathrm\; \{TAN\}\; (3)$ del grupo de la rotación, que es el grupo isometry de la esfera de unidad en el $\backslash \; el\; mathbb\; \{R\}\; ^3$.

Usos

En análisis complejo, una función meromórfica en el plano complejo (o en cualquie superficie de Riemann, porque esa materia) es un $f/g$ del cociente de dos funciones olomorfas $f$ y $g$. Como mapa a los números complejos, es indefinida dondequiera que $g$ sea cero. Sin embargo, induce un $olomorfo\; del\; mapa\; (f,\; g)$ a la línea descriptiva compleja está bien definida que incluso donde $g\; =\; 0$. Esta construcción es provechosa en el estudio de funciones olomorfas y meromórficas. Por ejemplo, en una superficie compacta de Riemann no hay mapas olomorfos no-constantes a los números complejos, pero los mapas olomorfos a la línea descriptiva compleja son abundantes.

La esfera de Riemann tiene muchas aplicaciones en la física. En mecánicos de quántum, los puntos en la línea descriptiva compleja son valores naturales para los estados de la polarización del fotón, estados de la vuelta de las partículas masivas de las partículas del estado de la vuelta el 1/2, y 2 en general. Se ha sugerido la esfera de Riemann como un modelo relativista para la esfera celestial . En la teoría de la secuencia, el Worldsheets de secuencias es superficies de Riemann, y la esfera de Riemann, siendo la superficie más simple de Riemann, juegos un papel significativo. Es también importante en la teoría de Twistor.