En las matemáticas, un espacio anillado está, intuitivo hablando, un espacio junto con una colección de los anillos comutativos los elementos cuyo es el " functions" en cada sistema abierto del espacio. Los espacios anillados aparecen a través del análisis y también se utilizan para definir los esquemas de la geometría algebraica .

Definición

Formalmente, un espacio anillado es un X del espacio topológico junto con una gavilla X del _{del O de los anillos comutativos en el X . El X} del _{del O de la gavilla se llama la gavilla de la estructura del del X .}

Del un espacio anillado localmente es un espacio anillado (el X del _{del X, del O ) tales que todos los tallos X} del _{del O son los anillos (es decir del Local tienen ideales máximos único. Observar que es el no requirió que el X} ( U ) del _{del O sea un anillo local para cada &mdash abierto del U del sistema; de hecho, ése casi nunca va a ser el caso.}

Ejemplos

Un arbitrario X del espacio topológico puede ser considerado un espacio localmente anillado tomando el O_X para ser la gavilla de las funciones continuas (o complejo-ser valorado) con valores reales en subconjuntos abiertos del X (allí puede existir las funciones continuas sobre los subconjuntos abiertos de X que no son la restricción de ninguna función continua sobre X). El tallo en un x del punto se puede pensar en como el sistema de todos los gérmenes de funciones continuas en el x ; esto es un anillo local con el ideal máximo que consiste en esos gérmenes cuyo valor en el x sea 0.

Si el X es un múltiple con un poco de estructura adicional, podemos también tomar la gavilla diferenciable, o el complejo-analítico funciona. Ambos éstos dan lugar localmente a espacios anillados.

Si el X es una variedad algebraica que lleva la topología de Zariski, podemos definir un espacio localmente anillado tomando el O_X ( U ) para ser el anillo de las funciones racionales que definido en Zariski-abren el determinado U que no hacen saltar (llegado a ser infinito) dentro del U. La generalización importante de este ejemplo es la del espectro de cualquier anillo comutativo; estos espectros son también localmente espacios anillados. Los esquemas están localmente los espacios anillados obtenidos por el " pegado del together" espectros de anillos comutativos.

Morphisms

Un Morphism de espacios anillados es simplemente un Morphism de las gavillas . Explícitamente, un morphism de (el X, el O_X ) (el Y, el O_Y ) es dado por los datos siguientes:

un continuo f del mapa : &rarr del X ; Y
una familia de &phi de los homomorphisms del anillo; V del _{: &rarr del OY ( V ); OX (  ^{del f ; - 1} ( V )) para cada abierto V del sistema Y que conmuten con la restricción traza. Es decir, si &sub del V 1; El V 2 es dos subconjuntos abiertos del Y, después el diagrama siguiente debe conmutar (los mapas verticales son los homomorphisms de la restricción):}

Hay un requisito adicional para los morphisms entre los espacios anillados del localmente :

los homomorphisms del anillo inducidos por φ entre los tallos del Y y los tallos del X debe ser los homomorphisms locales del, es decir para cada &isin del x ; X el ideal máximo del anillo local (tallo) en el &isin del f ( x ); El Y se traza al ideal máximo del anillo local en el &isin del x ; X .

Dos morphisms se pueden componer para formar un nuevo morphism, y obtenemos la categoría de espacios anillados y la categoría de espacios localmente anillados. El Isomorphisms en estas categorías se define como de costumbre.

Espacios de tangente

Localmente los espacios anillados tienen estructura bastante para permitir la definición significativa de los espacios de tangente que dejan el X estén localmente espacio anillado con el O_X de la gavilla de la estructura; queremos definir el T_x del espacio de tangente en el &isin del x del punto; X . Tomar el local R_x del anillo (tallo) en el x del punto, con el ideal máximo x del _{del m . Entonces x} del _{del k : = el Rx / mx es un campo y el mx / mx² es un espacio de vector sobre ese campo (el espacio de la cotangente). Se define el Rx del espacio de tangente como el dual de este espacio de vector.}

La idea es la siguiente: un vector de la tangente en el x debe decirle cómo al " differentiate" " functions" en el x, es decir los elementos del R_x . Ahora es bastante para saber distinguir las funciones cuyo valor en el x es cero, puesto que el resto de las funciones diferencian de éstos solamente por un constante, y sabemos distinguir constantes. Necesitamos tan solamente preocuparnos del x del _{del m . Además, si dos funciones se dan con el valor cero en el x, después su producto tiene derivado 0 en el x, por la regla del producto. Necesitamos tan solamente saber asignar el " numbers" a los elementos del mx / mx², y a éste es lo que lo hace el espacio dual.}

Módulos del O_X

Dado un espacio localmente anillado ( X, O_X ), ciertas gavillas de módulos en el X ocurren en los usos, el O_X - módulos. Para definirlas, considerar un F de la gavilla de los grupos abelianos en el X . Si el F ( U ) es un módulo sobre el O_X ( U ) del anillo para cada abierto U del sistema en el X, y los mapas de la restricción es compatible con la estructura de módulo, después llamamos el F un O_X - módulo. En este caso, el tallo del F en el x será un módulo sobre el local x del _{del R del anillo (tallo), para cada &isin del x ; X .}

Un morphism entre dos tal O_X - los módulos son un Morphism de las gavillas que es compatible con las estructuras de módulo dadas. La categoría del O_X - los módulos sobre localmente fijado un espacio anillado ( X, O_X ) son una categoría abeliana .

Una subcategoría importante de la categoría del X -modules del _{del O es la categoría de gavillas cuasi-coherentes del en el X . Una gavilla del X} -modules del _{del O se llama cuasi-coherente si es, localmente, isomorfa al cokernel de un mapa entre el libre X} -modules del _{del O . Un coherente F de la gavilla del es una gavilla cuasi-coherente que es, localmente, de tipo finito y para cada abierto U del subconjunto del X el núcleo de cualquier morphism de un libre U} -modules del _{del O de la fila finita al U del del F es también de tipo finito.}

Teoría del esquema]]

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