En las matemáticas, espacios de Banach del (polaco, ˈbanax, nombrado después Stefan Banach ) es uno de los objetos centrales del estudio en el análisis funcional . Muchos de los espacios de función infinito-dimensionales estudiados en análisis funcional son ejemplos de los espacios de Banach.

Definición

Los espacios de Banach se definen como espacios de vector completos de Normed que éste significa que un espacio de Banach es un V del espacio de vector sobre el los números complejos verdaderos de o con una norma ||·|| tales que cada secuencia de Cauchy (con respecto al métrico d ( x, y ) = || y del − del x ||) en el V tiene un límite en el V . Puesto que la norma induce una topología en el espacio de vector, un espacio de Banach proporciona un ejemplo de un espacio de vector topológico .

Ejemplos

A través de, dejar el K colocarse para uno del R de los campos o del C .

El familiar n del ^{del K de los espacios euclidianos, donde la norma euclidiana del x = (el x ₁,…, n del _{del x ) se da cerca || x || = (∑ | i} del _{del x |2) 1/2, son espacios de Banach.}}

El espacio de todo el continuo funciona el f : '' b '' K del → definido en un intervalo cerrado '' b '' se convierte un espacio de Banach si definimos la norma de una función tal como || f || = sorbo { | f ( x )| : x en '' b ''}, si no conocido como la norma de Supremum. Esto es de hecho una norma puesto que las funciones continuas definidas en un intervalo cerrado se limitan. El espacio es completo bajo esta norma, y el espacio de Banach resultante es denotado por C '' b ''. Este ejemplo se puede generalizar al espacio C ( X ) de todo el K del → del X de las funciones continuas, donde está un espacio el X del acuerdo, o al espacio de todo el limitado K del → del X de las funciones continuas de, donde está cualquier espacio el X topológico, o de hecho al espacio B ( X ) de todo el K del → del X de las funciones limitadas, donde está cualquier el X determinado. En todos estos ejemplos, podemos multiplicar funciones y permanecer en el mismo espacio: todos estos ejemplos son de hecho las álgebra de Banach de Unital

Para cualquie sistema abierto Ω  ⊆  C, el A (Ω) del sistema de toda la haber limitado,   del u de las funciones analíticas ;:   Ω  →  El C es un espacio de Banach complejo con respecto a la norma del supremum. El hecho que los límites uniformes de funciones analíticas son analíticos es una consecuencia fácil del teorema de Morera.

Si el ≥ 1 del p es un número verdadero, podemos considerar el espacio de todas las secuencias infinitas ( x ₁, x ₂, x ₃,…) de elementos en el K tales que la serie infinita ∑_i | i del _{del x |el p del ^{es finito. El p - raíz del th de este valor de las series entonces se define para ser el p - norma de la secuencia. El espacio, junto con esta norma, es un espacio de Banach; es denotado por el l p del .}}

El l^∞ del espacio de Banach consiste en todas las secuencias limitadas de elementos en el K ; la norma de tal secuencia se define para ser el supremum de los valores absolutos de los miembros de la secuencia.

Una vez más si el ≥ 1 del p es un número verdadero, podemos considerar todo el f de las funciones: K del → de '' b '' tales que | f |el p del ^{es Lebesgue integrable. El p - la raíz del th de este integral entonces se define para ser la norma del f . Por sí mismo, este espacio no es un espacio de Banach porque hay las funciones diferentes a cero cuya norma es cero. Definimos una relación de equivalencia como sigue: el f y el g son equivalente si y solamente si la norma del f - el g es cero. El sistema de equivalencia clasifica entonces forma un espacio de Banach; es denotado por el p} '' b '' de L^{. Es crucial utilizar el Lebesgue integral y no el integral de Riemann aquí, porque el integral de Riemann no rendiría un espacio completo. Estos ejemplos pueden ser generalizados; ver el L  '' p '' espacia para los detalles.}

Si el X y el Y es dos espacios de Banach, después podemos formar su Y del ⊕ del X de la suma directa, que es otra vez un espacio de Banach. Esta construcción se puede generalizar a la suma directa arbitrariamente de muchos espacios de Banach.

Si el M es un subespacio cerrado X del espacio de Banach, después el X / M del espacio de cociente es otra vez un espacio de Banach.

Cada producto interno da lugar a una norma asociada. El espacio del producto interno se llama un espacio de Hilbert si su norma asociada es completa. Así cada espacio de Hilbert es un espacio de Banach por definición. La declaración inversa también se sostiene bajo ciertas condiciones; ver abajo.

¡Operadores lineares operador -->

Si el V y el W son espacios de Banach sobre el mismo de tierra K del campo, el sistema de todo el continuo ''' Del ''' K - linear A de los mapas : W DEL → DEL V es denotado por L ( V, W ). Observar eso en infinito-dimensional los espacios, no todos los mapas lineares son automáticamente continuos. L ( V, W ) es un espacio de vector, y definiendo la norma || A || = sorbo { || Hacha del || : x en el V con || x || el ≤ 1} puede ser dado vuelta en un espacio de Banach.

El espacio L ( V ) = L ( V, V ) incluso forma una álgebra unital de Banach; la operación de la multiplicación es dada por la composición de mapas lineares.

Espacio dual

Si el V es un espacio de Banach y el K es el campo subyacente (el verdadero o los números complejos ), después el K es sí mismo un espacio de Banach (usar el valor absoluto como norma) y podemos definir el ′ del V del espacio dual como ′ del V = L ( V, K ), el espacio de mapas lineares continuos en el K . Esto es otra vez un espacio de Banach (con la norma del operador). Puede ser utilizado para definir una nueva topología en el V : la topología débil .

Observar que el requisito que los mapas sean continuos es esencial; si el V es infinito-dimensional, existen los mapas lineares que no son continuos, y por lo tanto no el limitó, así que el V ^* del espacio de mapas lineares en el K no es un espacio de Banach. El V del espacio * (que se puede llamar el espacio dual algebraico para distinguirlo del V ') también induce una topología débil que sea el un más fino que lo inducida por el continuo se doblan desde el V del ′ ⊆ del V *.

Hay un natural F del mapa del V al ′ ′ (el dual del V del dual) definido por el F ( x ) ( f ) del = el f ( x ) para todo el x en el V y el f en el ′ del V . Porque el F ( x ) es un mapa del V ′ a K, es un elemento del ′ ′ del V . El F del mapa: el F ( x ) del → del x es así un ′ ′ del V del → del V del mapa. Como consecuencia del teorema de Hahn-Banach, este mapa es el inyectivo; si es también el Surjective, después el V del espacio de Banach se llama el reflexivo. Los espacios reflexivos tienen muchas características geométricas importantes. Un espacio es reflexivo si y solamente si su dual es reflexivo, que es el caso si y solamente si su bola de unidad es el compacto en la topología débil .

Por ejemplo, el l^p es reflexivo para el 11 y el l^∞ no son reflexivos. El dual del l^p es el l^q donde el p y el q son relacionados por la fórmula (1 p ) + (1 q ) = 1. Ver el L  ^{'' p ''} espacia para los detalles.

Relación a los espacios de Hilbert

Según lo mencionado anteriormente, cada espacio de Hilbert es un espacio de Banach porque, por definición, un espacio de Hilbert es completo con respecto a la norma asociada a su producto interno, donde una norma y un producto interno reputan asociados si || v ||² = ( v, v ) para todo el v .

El inverso no es siempre verdad; no cada espacio de Banach es un espacio de Hilbert. Una condición necesaria y suficiente para un V del espacio de Banach ser asociado a un producto interno (que entonces haga necesario el V en un espacio de Hilbert) es la identidad del paralelogramo del :

$\backslash |u+v\; \backslash |^2\; +\; \backslash |ultravioleta\; \backslash |^2\; =\; 2\; (\backslash |u\; \backslash |^2\; +\; \backslash |v\; \backslash |^2)$

para todo el u y el v en el V, y donde ||*|| es la norma en el V . Así pues, por ejemplo, mientras que el n del ^{del R es un espacio de Banach con respecto a cualquier norma de definida en él, es solamente un espacio de Hilbert con respecto a la norma euclidiana. Semejantemente, como ejemplo infinito-dimensional, el L p} del espacio de Lebesgue del ^{de es siempre un espacio de Banach pero es solamente un espacio de Hilbert cuando   del p ; =  2.}

Si la norma de un espacio de Banach satisface esta identidad, el producto interno asociado que la hace en un espacio de Hilbert es dado por la identidad de la polarización del . Si el V es un espacio de Banach verdadero, después la identidad de la polarización es $del$

l \ langle u, v \ rangle = \ del frac {1} {4} (\|u+v \|^2 - \|ultravioleta \|^2)

considerando que si el V es un espacio de Banach complejo, después la identidad de la polarización se da cerca el $del$

l \ el langle u, = \ frac {1} de v \ del rangle {4} \ se fueron (\|u+v \|^2 - \|ultravioleta \|^2 + i (\|u+iv \|^2 - \|u-intravenoso \|^2) \ derecho).

La necesidad de esta condición sigue fácilmente de las características de un producto interno. Para ver que es sufficient— que la ley del paralelogramo implica que la forma definida por la identidad de la polarización es de hecho un product&mdash interno completo; uno verifica algebraico que esta forma sea aditiva, de dónde sigue el por la inducción que la forma es linear sobre los números enteros y los números racionales. Entonces puesto que cada verdadero es el límite de una cierta secuencia de Cauchy de números racionales, lo completo de la norma amplía las linearidades a la línea verdadera del conjunto. En el caso complejo, uno puede comprobar también que la forma bilinearia es linear sobre el i en una discusión, y conjugación linear en la otra.

Dimensión de Hamel

Sigue de lo completo de los espacios de Banach y del teorema de la categoría de Baire que una base de Hamel de un espacio de Banach infinito-dimensional es no numerable.

Derivados

Varios conceptos de un derivado se pueden definir en un espacio de Banach. Ver los artículos sobre el derivado de Fréchet y el derivado de Gâteaux.

Generalizaciones

Varios espacios importantes en análisis funcional, por ejemplo el espacio de todos el R del → del R de las funciones infinitamente a menudo diferenciables o el espacio de todas las distribuciones en el R, son completos pero no son espacios de vector normed y por lo tanto no espacios de Banach. En Fréchet los espacios uno todavía tienen un completo métrico, mientras que los LF-espacios son espacios de vector completos del uniforme que se presentan como límites de espacios de Fréchet.

Literatura

Monografías históricas en inglés, francés y polaco:
Stefan Banach del

: Linéaires de los opérations del DES de Théorie. (Monografie Matematyczne; 1) Zbl 0005.20901

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Zenithic

Jefferson Township, Noble County, Indiana

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