En la topología general y el análisis, un espacio de Cauchy del es una generalización de los espacios métricos y de los espacios uniformes para los cuales la noción de la convergencia de Cauchy todavía tiene sentido. Los espacios de Cauchy fueron introducidos por H. Keller en 1968, como herramienta axiomática derivada de la idea de un filtro de Cauchy, para estudiar lo completo en los espacios topológicos la categoría de espacios de Cauchy y los mapas continuos de Cauchy del son el cerrado cartesiano, y contienen la categoría de los espacios de proximidad

Un espacio de Cauchy es un X del sistema y un C de la colección de filtros apropiados en el determinado P ( X ) de la energía tales que

1. para cada x en el X, el ultrafiltro en el U ( x ) del x está en el C . si el F está en el C, y el F es un subconjunto del G, después el G está en el C . si el F y el G está en el C y cada miembro del F interseca a cada miembro del G, después el G del ∩ del F está en el C .

Un elemento del C se llama un filtro de Cauchy del, y un f del mapa entre los espacios de Cauchy ( X, C ) y (el Y, el D ) es Cauchy continuo si el D del ⊆ del f ( C ); es decir, cada la imagen de cada filtro de Cauchy en el X es Cauchy en el Y .

Características y definiciones

Cualquier espacio de Cauchy es también un espacio de la convergencia, donde un F del filtro converge al x si el U ( x ) del ∩ del F es Cauchy. Particularmente, un espacio de Cauchy lleva una topología natural.

Ejemplos

que cualesquiera uniforman el espacio (por lo tanto cualquie espacio métrico, espacio de vector topológico, o grupo topológico ) son un espacio de Cauchy.
El grupo del enrejado A lleva una estructura natural de Cauchy.

Categoría de espacios de Cauchy

Ver también el espacio completo .