En las matemáticas, un X del espacio topológico es el contractible si el mapa de la identidad en el X es el Nulo-homotópico, es decir si es el homotópico a algún mapa constante. Intuitivo, un espacio contractible es uno que se puede encoger continuamente a un punto.

Un espacio contractible es exacto uno con el tipo de Homotopy de un punto. Sigue que todos los grupos de Homotopy de un espacio contractible son el trivial. Por lo tanto ningún espacio con un grupo homotopy no trivial no puede ser contractible. Semejantemente, desde la homología singular es una invariante homotopy, los grupos reducidos de la homología que de un espacio contractible son todos triviales.

Para un X del espacio topológico los siguientes son todos equivalentes (aquí el Y es un espacio topológico arbitrario):
El X es contractible (es decir el mapa de la identidad es nulo-homotópico).
El X es equivalente homotopy a un espacio del uno-punto.
Cualquie f, g de dos mapas: &rarr del Y ; El X es homotópico.
Cualquie f del mapa: &rarr del Y ; El X es nulo-homotópico.

Cualquier espacio que la deformación contraiga sobre un punto es claramente contractible. El inverso, sin embargo, es falso. Hay ejemplos de los espacios contractible que deformación no contraen sobre cualquier punto.

El cono en un X del espacio es siempre contractible. Por lo tanto cualquier espacio se puede encajar en contractible.

Además, el X es contractible si y solamente si existe allí una contracción del cono del X al X .

Cada espacio contractible es el conectado trayectoria y el simplemente conectado. Por otra parte, puesto que todos los grupos homotopy más altos desaparecen, cada espacio contractible es el '' n '' - conectado para todo el &ge del n ; 0.

Espacios localmente contractible

Un espacio topológico es localmente que contractible es cada punto tiene una base local de las vecindades contractible los espacios de Contractible no son necesario localmente contractible ni viceversa. Localmente los espacios contractible están localmente el n - conectado para todo el &ge del n ; 0. Particularmente, son el localmente simplemente localmente conectado, el conectado trayectoria, y el localmente conectado.

Ejemplos y contraejemplos

cualquier dominio de la estrella de un espacio euclidiano es contractible.
Las esferas de ninguna dimensión finita no son contractible.
La esfera de unidad en del espacio de Hilbert es contractible.
La casa con dos cuartos es ejemplo estándar de un espacio que sea contractible, pero no no intuitivo tan.
El cono en un pendiente hawaiano es contractible (puesto que es un cono), pero no localmente contractible o aún localmente conectado simplemente.
Todos los múltiples y los complejos del CW son localmente contractible.