En la topología y las ramas relacionadas de las matemáticas, un espacio de Hausdorff del, el espacio separado o el espacio T₂ es un espacio topológico en el cual los puntos pueden ser separado por las vecindades . De los muchos axiomas de separación que se pueden imponer ante un espacio topológico, el " Condition" de Hausdorff; está lo más frecuentemente haber utilizado y discutido. Implica la unicidad de los límites de las redes de las secuencias y de los filtros

Los espacios de Hausdorff se nombran para el Felix Hausdorff, uno de los fundadores de la topología. La definición original de Hausdorff de un espacio topológico incluyó la condición de Hausdorff como axioma.

Definiciones

Suponer que el X es un espacio topológico . Dejar el x y el y ser los puntos en el X . Decimos que el x y el y pueden ser separado por las vecindades si existe el allí un U de la vecindad x y un V de la vecindad del y tales que el U y el V son desune ( V del ∩ del U = ∅). El X es un dos del espacio de Hausdorff del eventualmente que los puntos distintos de del X se pueden separar por las vecindades. Esta es la razón por la cual los espacios de Hausdorff también se llaman los espacios del T₂ o los espacios separados .

El X es un preregular dos del espacio eventualmente que los puntos distinguibles de se pueden separar topológico por las vecindades. Los espacios de Preregular también se llaman los espacios del R₁.

La relación entre estas dos condiciones está como sigue. Un espacio topológico es de Hausdorff si y solamente si es preregular y Kolmogorov (es decir los puntos distintos son topológico distinguibles). Un espacio topológico es preregular si y solamente si su cociente de Kolmogorov es Hausdorff.

Equivalencias

Para un X del espacio topológico, los siguientes son equivalentes:
El X es espacio de Hausdorff.
Los límites en el X son únicos (es decir el ordena, el pesca y los filtros convergen a lo más a un punto).
Cada sistema del singleton contenido en el X es igual a la intersección de todas las vecindades cerradas que la contienen.
El diagonal Δ = {( x, x ) | el X del ∈ del x } es cerrado como subconjunto de los × del X del espacio del producto; X .

Ejemplos y contraejemplos

Casi todos los espacios encontrados en el análisis son Hausdorff; más importante, los números verdaderos son un espacio de Hausdorff. Más generalmente, todos los espacios métricos son Hausdorff. De hecho, muchos espacios del uso en análisis, tal como grupos topológicos y múltiples topológicos tienen la condición de Hausdorff indicada explícitamente en sus definiciones.

Un ejemplo simple de una topología que sea el T₁ pero no es Hausdorff es la topología de Cofinite.

Los espacios de Pseudometric no son típicamente Hausdorff, sino que son preregular, y su uso en análisis está generalmente solamente en la construcción de los espacios del calibrador de Hausdorff de hecho, cuando los analistas funcionan a través de un espacio del non-Hausdorff, él sigue siendo probablemente por lo menos preregular, y entonces lo substituyen simplemente por su cociente de Kolmogorov, que es Hausdorff.

En cambio, los espacios non-preregular se encuentran mucho más con frecuencia en la álgebra del extracto y la geometría algebraica, particularmente como la topología de Zariski en una variedad algebraica o el espectro de un anillo . También se presentan en la teoría modelo de la lógica intuicionista : cada álgebra completa de Heyting es la álgebra de los sistemas abiertos de un cierto espacio topológico, pero este espacio no necesita ser preregular, mucho menos Hausdorff.

Características

Los subespacios y los productos de los espacios de Hausdorff son Hausdorff, pero los espacios de cociente de los espacios de Hausdorff no necesitan ser Hausdorff. De hecho, el cada espacio topológico de se puede observar como el cociente de un cierto espacio de Hausdorff.

Los espacios de Hausdorff son el T₁, significando que todos los singletons son cerrados. Semejantemente, los espacios preregular son el R₀ .

Otra característica agradable de los espacios de Hausdorff es que los sistemas del acuerdo son siempre cerrados. Esto puede fallar para los espacios que son non-Hausdorff (hay ejemplos de los espacios de T₁ donde falla).

La definición de un espacio de Hausdorff dice que los puntos se pueden separar por las vecindades. Resulta que ésta implica algo que es aparentemente más fuerte: en un espacio de Hausdorff que cada par de desunir los sistemas compactos puede ser separado por las vecindades. Éste es un ejemplo de la regla general que condensa sistemas se comporta a menudo como puntos.

Las condiciones de la compacticidad junto con preregularity implican a menudo axiomas de separación más fuertes. Por ejemplo, cualquier localmente condensa el espacio preregular de es el totalmente regular. Los espacios preregular compactos son el normal, significando que satisfacen el lema de Urysohn y el teorema de la extensión de Tietze y tienen particiones del subordinado de la unidad a las cubiertas abiertas localmente finito que son las versiones de Hausdorff de estas declaraciones: cada espacio de Hausdorff localmente compacto es Tychonoff, y cada espacio de Hausdorff del acuerdo es Hausdorff normal.

Los resultados siguientes son algunas características técnicas con respecto a los mapas ( continuo y de otra manera) a y desde los espacios de Hausdorff.

Dejar el f : El Y del → del X sea una función continua y supone que el Y es Hausdorff. Entonces el gráfico f, $\backslash \; \{(x,\; f\; (x))\; \backslash \; mediados\; de\; x\; \backslash \; en\; X\; \backslash \}$, es un subconjunto cerrado de × del X ; Y .

Dejar el f : El Y del → del X sea una función y dejar = \ {del $\backslash \; del\; mbox\; \{ker\}\; (f)\; (x,\; x\text{'})\; \backslash \; mediados\; de\; f\; (x)\; =\; f\; (x\text{'})\; \backslash \}$ sea su núcleo mirado como subespacio de los × del X ; X .
Si el f es continuo y el Y es ker de Hausdorff entonces ( f ) es cerrado.
Si es el f un abierto Surjection y el ker ( f ) es entonces cerrado el Y es Hausdorff.
Si el f es un continuo, el abierto Y del surjection (es decir un mapa abierto del cociente) entonces es de Hausdorff si y solamente si ker de (f) es cerrada.

Si f, g : El Y del → del X es mapas continuos y el Y es Hausdorff entonces el $del\; equalizador\; \backslash \; el\; mbox\; \{eq\}\; (f,\; g)\; =\; \backslash \; \{x\; \backslash \; mediados\; de\; f\; (x)\; =\; g\; (x)\; \backslash \}$ se cierra en el X . Sigue que si el Y es Hausdorff y el f y el g están de acuerdo con un subconjunto denso del f del X entonces = el g . Es decir las funciones continuas en los espacios de Hausdorff son determinadas por sus valores en subconjuntos densos.

Dejar el f : El Y del → del X sea un surjection cerrado tales que ^{&minus del f ; 1} ( y ) es el compacto para todo el Y del ∈ del y . Entonces si el X es Hausdorff así que es el Y .

Dejar el f : El Y del → del X sea un mapa del cociente con el X al espacio de Hausdorff compacto. Entonces los siguientes son

equivalente del

El Y es Hausdorff
el f es un mapa cerrado
el ker ( f ) es cerrado

Preregularity contra regularidad

Todos los espacios regulares son preregular, al igual que todos los espacios de Hausdorff. Hay muchos resultados para los espacios topológicos que se sostienen para el asiduo y los espacios de Hausdorff. La mayor parte del tiempo, estos resultados celebran para todos los espacios preregular; eran mencionados para el asiduo y los espacios de Hausdorff por separado porque vino la idea de espacios preregular más adelante. Por una parte, esos resultados que están verdad sobre regularidad también no se aplican generalmente a los espacios de Hausdorff nonregular.

Hay muchas situaciones donde otra condición de espacios topológicos (tales como Paracompactness o compacticidad local ) implicará regularidad si el preregularity es satisfied. Tales condiciones vienen a menudo en dos versiones: una versión regular y una versión de Hausdorff. Aunque los espacios de Hausdorff no sean generalmente regulares, un espacio de Hausdorff que es también (decir) localmente acuerdo será regular, porque cualquier espacio de Hausdorff es preregular. Así desde cierto punto de vista, es realmente preregularity, algo que la regularidad, esa las materias en estas situaciones. Sin embargo, las definiciones generalmente todavía se expresan en términos de regularidad, puesto que esta condición es más bien sabido que preregularity.

Ver la historia de los axiomas de separación para más en esta edición.

Variantes

El " de los términos; Hausdorff", " separated", y " preregular" puede también ser aplicado a tales variantes en los espacios topológicos que el uniforme Cauchy de los espacios espacia y los espacios de la convergencia La característica que une el concepto en todos estos ejemplos es que los límites de redes y de filtros (cuando existen) son únicos (para los espacios separados) o únicos hasta indistinguishability topológico (para los espacios preregular).

Mientras que resulta, los espacios uniformes, y Cauchy espacia, es más generalmente siempre preregular, así que la condición de Hausdorff en estos casos reduce a la condición de T₀. Éstos son también los espacios en los cuales lo completo tiene sentido, y Hausdorffness es un compañero natural a lo completo en estos casos. Específicamente, un espacio es completo si y solamente si cada red de Cauchy tiene en el menos límite de uno, mientras que un espacio es Hausdorff si y solamente si cada red de Cauchy tiene en el la mayoría de límite de uno (puesto que solamente las redes de Cauchy pueden tener límites en el primer lugar).

Broma

Hay una broma de los matemáticos que sirve como recordatorio del significado de este término: En un espacio de Hausdorff, los puntos pueden ser " off" contenido; a partir de la uno otra. Michael Atiyah usado para dibujar sistemas casa-shaped en la pizarra. (En un acento británico pasado de moda, el de podría ser el orf, fonético, a que todo ayuda.

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