Espacios de Sobolev

Los nuevos espacios de Hilbert de viejo

Usos

¡polinomios ortogonales arbitrario y Fourier transformen, que son conceptos centrales del análisis funcional . Los elementos de un espacio de Hilbert del extracto a veces se llaman los vectores . En usos, los espacios de Hilbert son típicamente las secuencias de los números complejos o las funciones en mecánicos de quántum por ejemplo, un sistema físico son descritas por un espacio de Hilbert complejo que contenga el " Wavefunctions quot; ese soporte para los estados posibles del sistema. Ver la formulación matemática de los mecánicos de quántum para los detalles. (El espacio de las ondas planas y de los estados encuadernados de uso general en mecánicos de quántum se conoce más formalmente como el espacio de Hilbert aparejado .)

El producto interno permite que uno adopte un " geometrical" ver y utilizar a familiar geométrico de la lengua de espacios finito-dimensionales. De todos los espacios de vector topológicos infinito-dimensional los espacios de Hilbert son la mayoría del " " Well-behaved ; y el más cercano a los espacios finito-dimensionales. ---> Otros usos incluyen:
La teoría de las representaciones de grupo unitarias .
La teoría de los procesos estocásticos integrable cuadrado
La teoría del espacio de Hilbert de las formulaciones parciales de las ecuaciones diferenciales particularmente del problema de Dirichlet.
Análisis espectral de funciones, incluyendo teorías de las olitas

Una meta del análisis de Fourier es escribir una función dada como combinación linear de a (posiblemente infinita) de funciones de base dadas. Este problema se puede estudiar abstracto en los espacios de Hilbert: cada espacio de Hilbert tiene una base ortonormal, y cada elemento del espacio de Hilbert se puede escribir en una manera única como suma de múltiplos de estos elementos de la base. El Fourier transforma después corresponde a un cambio de la base.

Bases ortonormales

Un papel dominante en la teoría es desempeñado por la noción de la base ortonormal del de un H del espacio de Hilbert: un B del ∈ del k del _{de la familia { k} del _{del e } del H que satisface las condiciones: Ortogonalidad : Cada dos diversos elementos del B son ortogonales: < k} , j del _{del e del del e > = 0 para todo el k, j en el B con el j del ≠ del k .}

Observar que en el caso infinito-dimensional, una base ortonormal no será una base en el sentido de la álgebra linear ; para distinguir los dos, la 3ultima base también se llama una base de Hamel. Que el palmo de los vectores de la base es denso significa que cada vector en el espacio se puede escribir como el límite de una serie infinita y la ortogonalidad implica que esta descomposición es única.

Usar el lema de Zorn, uno puede demostrar que el cada espacio de Hilbert admite una base ortonormal; además, cualquier dos bases ortonormales del mismo espacio tienen la misma cardinalidad . Un espacio de Hilbert es el separable si y solamente si admite una base ortonormal contable .

Puesto que todos los espacios de Hilbert separables infinito-dimensionales son isomorfos, y puesto que casi todos los espacios de Hilbert usados en la física son separables, cuando los físicos hablan del el espacio de Hilbert significan el separable.

Si { k del _{del e } el B} del ∈ del k del _{es una base ortonormal del H, después cada x del elemento del H se puede escribir como = \ sum_ {k \ en B} \ e_k del langle, x \ e_k del $x\; del$}

l del rangle

Incluso si el B es no numerable, sólo contable muchos términos en esta suma serán diferentes a cero, y la expresión está por lo tanto bien definido. Esta suma también se llama la extensión de Fourier del del x .

Si { k del _{del e } el B} del ∈ del k del _{es una base ortonormal del H, después el H es el isomorfo al l ² ( B ) en el sentido siguiente: existe un mapa linear Φ Bijective : El l ² ( B ) del → del H tales que el $\backslash \; el\; langle\; \backslash \; la\; phi\; del\; \backslash \; se\; fueron\; (x\; \backslash \; derecho),\; \backslash \; phi\; \backslash \; se\; fue\; (y\; \backslash \; derecho)\; \backslash \; =\; \backslash \; langle\; x,\; y\; \backslash \; rangle$ del rangle para todo el x y el y en el H .}

Complementos y proyecciones ortogonales

Si el S es un subconjunto de un H del espacio de Hilbert, el sistema de vectores ortogonales al S es definido por = \ a la izquierda \ {del $S^\; \backslash \; del\; perp\; del\; x\; \backslash \; en\; H:\; \backslash \; langle\; x,\; s\; \backslash \; rangle\; =\; 0\; \backslash \; \backslash \; forall\; s\; \backslash \; en\; S\; \backslash \; derecho\; \backslash \}$ El S ^⊥ es un subespacio cerrado del H y se forma tan un espacio de Hilbert. Si el V es un subespacio cerrado del H, después el V ^⊥ se llama el complemento ortogonal V . De hecho, cada x en el H se puede entonces escribir únicamente como x = el v + el w, con el v en el V y el w en el V ^⊥. Por lo tanto, el H es la suma directa interna de Hilbert del V y del V ^⊥. El V de P _{del operador linear: El H del → del H que traza el x al v se llama la proyección ortogonal del sobre el V . El V} de P _{de la proyección ortogonal es operador linear del uno mismo-adjoint en el H del ≤ 1 de la norma con el V de P de la característica ² = el V} de P_{. Por otra parte, cualquie E del operador linear del uno mismo-adjoint tales que el E ² = el E está del V} de P _{de la forma, donde está la gama el V del E . Para cada x en el H, V} ( x ) de P _{está el único v del elemento del V que reduce al mínimo la distancia || x - v ||.}

Esto proporciona la interpretación geométrica del V ( x ) de P_{: es la mejor aproximación al x al lado de los elementos del V .}

Reflexivity

Una característica importante de cualquier espacio de Hilbert es su reflexivity . De hecho, más es verdad: uno tiene una descripción completa y conveniente de su espacio dual (el espacio de todas las funciones lineares continuas del H del espacio en el campo bajo), que es sí mismo un espacio de Hilbert. De hecho, el teorema de la representación de Riesz indica que a cada φ del elemento del dual H existe un y solamente un u en el H tales que el $\backslash \; la\; phi\; del\; \backslash \; salieron\; (x\; \backslash \; derecho)\; de\; =\; \backslash \; langle\; u,\; x\; \backslash \; rangle$ para todo el x en el H y el u del ↔ del φ de la asociación proporciona un isomorfismo antilinear entre el H y el H . Esta correspondencia es explotada por la notación del Sujetador-ket popular en la física .

Operadores limitados

Para un H, el continuo A del espacio de Hilbert de los operadores lineares : El H del → del H está de interés particular. Un operador tan continuo es limitado en el sentido que traza los sistemas limitados a los sistemas limitados. Esto permite definir su norma como el $del$

l \ el lVert A \ = \ sorbo del rVert \ se fueron \ {\, \ hacha del lVert \ rVert: \ lVert x \ rVert \ leq 1 \, \ derecho \}.

La suma y la composición de dos operadores lineares continuos es otra vez continuas y lineares. Para el y en el H, el mapa que envía el x al < y, hacha del > es linear y continuo, y según el teorema de la representación de Riesz se puede por lo tanto representar en la forma $del$

l \ langle A^* y, = \ langle y, hacha \ rangle. de x \ del rangle

Esto define otro continuo A ^* del operador linear: H, el adjoint del → del H A .

El sistema L ( H ) de todos los operadores lineares continuos en el H, junto con las operaciones de la adición y de la composición, la norma y la operación del adjoint, formas un C^*-algebra ; de hecho, éste es el prototipo de la motivación y la mayoría del ejemplo importante de A. ^*-algebra.

Un A del elemento de L ( H ) se llama el uno mismo-adjoint del o el hermitiano si el A ^* = el A . Estos operadores comparten muchas características de los números verdaderos y se ven a veces como generalizaciones de ellas.

Un U del elemento de L ( H ) se llama el unitario del si el U es inversible y su lo contrario es dado por el U ^*. Esto puede también ser expresada requiriendo que < Ux, UY > = < x, y > para todo el x y el y en el H . Los operadores unitarios forman un grupo bajo composición, que se puede ver como el grupo del automorfismo H .

Operadores ilimitados

Si un operador linear tiene un gráfico cerrado y es definido en todo el espacio de Hilbert, después, por el teorema cerrado del gráfico en teoría del espacio de Banach, se limita necesario. Sin embargo, los operadores ilimitados pueden ser obtenidos definiendo un mapa linear en un subespacio apropiado del espacio de Hilbert.

En la física de quántum, definen a varios operadores ilimitados interesantes en un subespacio denso del espacio de Hilbert. Es posible definir a los operadores ilimitados del uno mismo-adjoint, y éstos desempeñan el papel de los observables del en la formulación matemática de los mecánicos de quántum.

Los ejemplos del operador ilimitado del uno mismo-adjoint en el L ² ( R ) del espacio de Hilbert son:
Extensión conveniente del

A del operador diferenciado $f\; del$

l del
(x) = i \ frac {d} {dx} f (x), \ patio el

l donde está la unidad imaginaria y el el i f es una función diferenciable de la ayuda compacta.

multiplicación-por operador del x : $del$

l del
f (x) = xf (x). \ patio

Éstos corresponden al ímpetu y a los observables de la posición, respectivamente. Observar que ni el A ni el B está definido en todo el H, puesto que en el caso del A el derivados no necesitan existir, y en el caso del B la función del producto no necesita ser integrable cuadrado. En ambos casos, el sistema de discusiones posibles forma subespacios densos del L ² ( R ).

Ver también

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