En la topología, un espacio de proximidad del es una axiomatización de nociones del " nearness" ese asimiento fijar-a-fijó, en comparación con el más conocido punto-a-fijó las nociones que caracterizan los espacios topológicos
El concepto fue descrito por el Frigyes Riesz en el 1908 y no hizo caso en ese entonces. Fue vuelto a descubrir y axiomatized por el V. Efremovič en el 1934, pero no publicado hasta el 1951 . En el interino, en el 1940, el A. Wallace descubrió una versión del mismo concepto.
Espacio de proximidad del de la definición A del ( X, &delta del ; ) es un X del sistema con un &delta del de la relación ; entre los subconjuntos del X que satisface las características siguientes:
Para todo el A de los subconjuntos, el B y el C del del X &delta del del A ; &rArr del B de ; &delta del del B ;
Las características principales de esto fijaron la relación de la vecindad, enumerada abajo, proporcionan una caracterización axiomática alternativa de los espacios de proximidad.
Para todo el A de los subconjuntos, el B, el C, y el D del X, « del X ;
Un espacio de proximidad se llama separado si {el x } &delta del ; { y } implica el x = el y .
Una proximidad del o el mapa próximo del es uno que preserva la proximidad, es decir, dado f : ( X, &delta del ; &rarr de ); ( X*, &delta del ; *), si &delta del del A ; B de en el X, entonces &delta del del f ; * f en el X* . Equivalente, un mapa es próximo si el mapa inverso preserva neighborhoodness próximo. En la misma notación, esto medios si « del C ; * asimientos del D en el X*, entonces &minus del f ; 1« &minus del f ; asimientos 1 en el X .
Dado un espacio de proximidad, uno puede definir una topología dejando el &rarr del A ; { del x ;: { x } &delta del ; el A de } sea operador del encierro de Kuratowski. Si se separa el espacio de proximidad, la topología resultante es Hausdorff . Los mapas de la proximidad serán continuos entre las topologías inducidas.
La topología resultante es siempre el totalmente regular. Esto puede ser probada imitando las pruebas generalmente del lema de Urysohn, usar la característica pasada de vecindades próximas para crear la cadena cada vez mayor infinita usada en probar el lema.
Dado un espacio de Hausdorff compacto, hay una proximidad única cuya topología correspondiente es la topología dada: El A es el cercano B si y solamente si sus encierros se intersecan. Más generalmente, los proximities clasifican los compactifications de un espacio de Hausdorff totalmente regular.
Un espacio X del uniforme induce una relación de la proximidad declarando el A es el cercano B si y solamente si los × del A ; El B tiene intersección no vacía con cada comitiva. Los mapas uniformemente continuos entonces serán proximally continuos.
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