En las matemáticas, el espacio de tangente del de un múltiple es un concepto que facilita la generalización de vectores afina los espacios a los múltiples generales, puesto que en el 3ultimo caso uno no puede restar simplemente dos puntos para obtener un vector que señala a partir del uno al otro.

Descripción informal

En la geometría diferenciada, uno puede atar a cada x del punto de un múltiple diferenciable un espacio de tangente del, un espacio de vector verdadero que intuitivo contenga el " posible; directions" en cuál puede pasar a través del x . Los elementos del espacio de tangente se llaman los vectores de la tangente del en el x . Todos los espacios de tangente tienen la misma dimensión, igual a la dimensión del múltiple.

Por ejemplo, si el múltiple dado es 2 - la esfera, uno puede representar el espacio de tangente en un punto como el plano que toca la esfera en ese punto y es el perpendicular al radio de la esfera a través del punto. Más generalmente, si un múltiple dado se piensa en como submanifold encajado del espacio euclidiano uno puede representar el espacio de tangente en esta manera literal.

En la geometría algebraica, en cambio, hay una definición intrínseca del espacio de tangente del en un punto P de un V de la variedad, que da un espacio de vector de la dimensión por lo menos que del V . Los puntos P en los cuales la dimensión es exactamente la del V se llaman los puntos no singulares del ; los otros son puntos singulares del . Por ejemplo, una curva que las cruces sí mismo no tienen una línea de tangente única en ese punto. Los puntos singulares del V son ésos donde la “prueba ser un múltiple” falla. Ver el espacio de tangente de Zariski .

Una vez que se han introducido los espacios de tangente, uno puede definir los campos de vector que son abstracciones del campo de la velocidad de las partículas que mueven encendido un múltiple. Agregados de un campo de vector a cada punto del múltiple un vector del espacio de tangente en ese punto, de una manera lisa. Tal campo de vector sirve definir una ecuación diferencial ordinaria generalizada en un múltiple: una solución a una ecuación tan diferencial es una curva diferenciable en el múltiple cuyo derivado en cualquier momento es igual al vector de la tangente atado a ese punto por el campo de vector.

Todos los espacios de tangente pueden ser " together" pegado; para formar un nuevo múltiple diferenciable dos veces de la dimensión, el paquete de la tangente del múltiple.

Definiciones formales

Hay varias maneras equivalentes de definir los espacios de tangente de un múltiple. Mientras que la definición vía direcciones de curvas es absolutamente directa dada la intuición antedicha, es también la más incómoda a trabajar con. Acercamientos más elegantes y más abstractos son descritos más abajo.

Definición como direcciones de curvas

Suponer que el M es múltiple del k del ^{del A. (&ge del k ; 1) y el x es un punto en el M . Escoger un &phi de la carta ; : &rarr del U ; n} del ^{del R donde está un subconjunto el U abierto M que contiene el x . Suponer el &gamma de dos curvas; ₁: (- &rarr de 1.1); M y γ ₂: (- &rarr de 1.1); M con γ ₁ (0) = γ ₂ (0) = el x se dan tales que φ &gamma de o; ₁ y φ &gamma de o; ₂ son ambo diferenciables en 0. Entonces γ ₁ y γ ₂ se llaman tangente del en 0 si los derivados ordinarios del φ &gamma de o; ₁ y φ &gamma de o; ₂ en 0 coinciden. Esto define una relación de equivalencia en tales curvas, y las clases de la equivalencia se conocen como los vectores de la tangente del M en el x . La clase de equivalencia del &gamma de la curva; se escribe como γ '(0). El espacio de tangente del M en el x, denotado por el M del x de T_{, se define como el sistema de todos los vectores de la tangente; no depende de la opción del &phi de la carta;.}}

Para definir las operaciones del espacio de vector en el M del x de T_{, utilizamos un &phi de la carta; : &rarr del U ; El n del ^{del R y define el mapa (el dφ) x}} del _{: &rarr del M del x} de T_{; n del ^{del R por (dφ) x}} (&gamma del _{; “(0)) = (φ &gamma de o;)” (0). Resulta que este mapa es el Bijective y se puede utilizar así para transferir las operaciones del espacio de vector del n del ^{del R encima al M del x}} de T_{, dando vuelta a estes 3ultimo en un n - espacio de vector verdadero dimensional. Una vez más uno necesita comprobar que esta construcción no dependa del &phi particular de la carta; elegido, y de hecho no hace.}

Definición vía derivaciones

Suponer que el M es ^{&infin del A.; múltiple de} . Un con valores reales f de la función: &rarr del M ; El R pertenece a C^∞ ( M ) si &phi del f o; ^-1 es infinitamente a menudo diferenciable para cada &phi de la carta; : &rarr del U ; n del ^{del R . C∞ ( M ) es una álgebra asociativa verdadero para el producto de Pointwise y la suma de funciones y de multiplicación escalar.}

Escoger un x del punto en el M . Una derivación en el x es un linear D del mapa : C^{∞ &rarr de} ( M ); R que tiene la característica que para todo el f, g en C^∞ ( M ): D (fg del del ) = · del D ( f ); g ( x ) + · del f ( x ); D ( g ) modelado en la regla del producto de cálculo. Estas derivaciones forman un espacio de vector verdadero de una manera natural; éste es el M del x de T _{del espacio de tangente.}

La relación entre los vectores de la tangente definidos anterior y las derivaciones es como sigue: si γ es una curva con &gamma del vector de la tangente; “(0), entonces la derivación correspondiente es el D ( f ) = (el &gamma del f o;)” (0) (donde el derivado se admite el sentido ordinario, desde &gamma del f o; está una función de (- 1.

Definición vía el espacio de la cotangente

Comenzamos otra vez con el ^{&infin del A.; multíple M de} y un x del punto en el M . Considerar el el ideal I de en C^∞ ( M ) que consiste en todo el f de las funciones tales que f ( x ) = 0. Entonces   ^{del I y del I ; 2} son espacios de vector verdaderos, y el M del x de T _{se puede definir como el espacio dual del   ^{del I /del I del espacio de cociente ; 2}. Este 3ultimo espacio de cociente también se conoce como el espacio de la cotangente M en el x .}

Mientras que esta definición es la más abstracta, es también la que está transferida lo más fácilmente posible a otros ajustes, por ejemplo a las variedades consideradas en la geometría algebraica .

Si el D es una derivación, después el D ( f ) = 0 para cada f en el I ², y éste significa que el D da lugar a un &rarr linear del I /del I ² del mapa; R . Inversamente, si r : &RARR DEL I /DEL I ²; El R es un mapa linear, entonces D ( f ) = el r ((el f - f ( x )) +   ^{del I ; 2}) es una derivación. Esto rinde la correspondencia entre el espacio de tangente definido vía derivaciones y el espacio de tangente definido vía el espacio de la cotangente.

Características

Si el M es un subconjunto abierto del n del ^{del R, después el M es &infin del A.; múltiple de de una manera natural (tomar las cartas para ser los mapas de la identidad, y los espacios de tangente son todos identificados naturalmente con el n} del ^{del R .}

Vectores de la tangente como derivados direccionales

Una forma a pensar de vectores de la tangente está como derivados direccionales del . Dado un v del vector en el n uno del ^{del R define el derivado direccional de un liso f del mapa: n} &rarr del <sup>del R ; R en punto x por

$D\_v\; f\; (x)\; =\; \backslash \; frac\; \{d\}\; \{\}\; \backslash \; cebada\; bigg\; de\; despegue|\_\; \{t=0\}\; f\; (x+tv)\; =\; \backslash \; v^i\; del\; ^\; del\; sum\_\; \{i=1\}\; \{n\}\; \backslash \; frac\; \{\backslash \; f\; parcial\}\; \{\backslash \; x^i\; parcial\}\; (x).$ Este mapa es naturalmente una derivación. Por otra parte, resulta que cada derivación de C∞ ( n</sup> del ^{del R ) está de esta forma. Tan hay un mapa uno por entre los vectores (pensados en como vectores de la tangente en un punto) y las derivaciones.}

Puesto que los vectores de la tangente a un múltiple general se pueden definir como derivaciones es natural pensar en ellas como derivados direccionales. Específicamente, si el v es un vector de la tangente del M en un x (pensamiento del punto como de derivación) entonces definir el derivado direccional en el v de la dirección por el $D\_v\; del\; (f)\; =\; v\; (f)\; \backslash ,$ donde f : &rarr del M ; El R es un elemento de C^∞ ( M ). Si pensamos en el v como la dirección de una curva, el v = γ “(0), entonces escribimos el $D\_v\; del\; (f)\; =\; (f\; \backslash \; circ\; \backslash \; gamma)”\; (0).$

El derivado de un mapa

Artículo principal del : Pushforward (diferencial)

Cada &phi del del mapa liso (o diferenciable); : &rarr del M ; El N entre los múltiples lisos (o diferenciables) induce los mapas lineares natural entre los espacios de tangente correspondientes: $del\; \backslash \; mathrm\; d\; \backslash \; varphi\_x\; \backslash \; dos\; puntos\; T\_xM\; \backslash \; a\; T\_\; \{\backslash \; varphi\; (x)\}\; N$ definido por el $\backslash \; el\; mathrm\; d\; \backslash \; varphi\_x\; del\; (\backslash \; gamma\text{'}(0))\; =\; (\backslash \; varphi\; \backslash \; circ\; \backslash \; gamma)\; \text{'}(0)$ si el espacio de tangente es definido vía curvas y por el $\backslash \; el\; mathrm\; d\; \backslash \; varphi\_x\; del\; (X)\; (f)\; =\; X\; (f\; \backslash \; circ\; \backslash \; varphi)$ si el espacio de tangente se define vía derivaciones.

El &phi linear del del mapa d; el x del _{de se llama vario el derivado del, el derivado total del, el diferencial del, o el pushforward &phi del ; en el x . Se expresa con frecuencia usar una variedad de otras notaciones: $D\; del\; \backslash \; varphi\_x,\; \backslash ,\; \backslash \; patio\; \backslash \; varphi\text{'}(x).$ del _x del patio (\ varphi_*) En cierto modo, el derivado es la mejor aproximación linear al &phi del ; acercan al x . Observar eso cuando el N = el R, el &phi del del mapa d; x} del _{de : &rarr del M del x} de T_{; El R coincide con la noción generalmente del diferencial del &phi del de la función; . En los coordenadas locales el derivado del f es dado por el Jacobian .}

Un resultado importante con respecto al mapa derivado es el siguiente: teorema del . Si &phi del ; : &rarr del M ; El N es un diffeomorphism local en el x en &phi del del M entonces d; x del _{de : &rarr del M del x} de T_{; &phi del de T; el N de ( x ) es un isomorfismo linear . Inversamente, si &phi del de d; el x} del _{de es un isomorfismo entonces allí es un abierto U de la vecindad x tales que &phi del ; traza el U diffeomorphically sobre su imagen. Ésta es una generalización del teorema de función inversa a los mapas entre los múltiples.}