En las matemáticas, un espacio de vector del (o el espacio linear ) es una colección de objetos (llamados vectors ) eso, informal hablando, puede ser escalado y ser agregado. Más formalmente, un espacio de vector es un determinado en el cual dos operaciones, llamadas adición (del vector) y multiplicación (del escalar), se definen y satisface ciertos axiomas naturales que sean mencionados abajo. Los espacios de vector son los objetos básicos del estudio en la álgebra linear, y se utilizan a través de matemáticas, de ciencia, y de la ingeniería.

Los espacios de vector más familiares son dos y los vectores tridimensionales de los espacios euclidianos en estos espacios son pares o triples pedidos de los números verdaderos y se representan a menudo como vectores geométricos que sean cantidades con una magnitud y una dirección, representados generalmente como flechas. Estos vectores se pueden agregar juntos usar la regla (adición del paralelogramo de vector) o multiplicar por los números verdaderos (multiplicación escalar ). El comportamiento de vectores geométricos bajo estas operaciones proporciona un buen modelo intuitivo para el comportamiento de vectores en espacios de vector más abstractos, que no necesitan tener una interpretación geométrica. Por ejemplo, el sistema de los polinomios (verdaderos) forma un espacio de vector.

Definición formal

Dejar el F ser un campo (tal como los números verdaderos o números complejos, cuyos elementos será llamado los escalares . Un espacio de vector del sobre el F del campo es un determinado V junto con dos las operaciones binarias adición de vector del : ¡×< del V ! -- No substituir por favor aquí la muestra del × por +. V×V es el dominio de la adición, el producto de cartesiano de V por sí mismo. La operación real es por supuesto " denotado; +", solamente se define en el _product_ de V y de V, no en la suma de V y de V--> el V del → del V denotó el v + el w, donde el v, V del ∈ del w, y
multiplicación escalar del : El V del → del V del × del F denotó el un v, donde un F del ∈ de y el V del ∈ del v, satisfaciendo los axiomas abajo. Cuatro requieren vectores bajo adición formar un grupo abeliano, y dos son las leyes distributivas . La adición de vector del

es el asociativo: style=" del For todo el u, v, V del ∈ del w, tenemos u + (el v + el w ) = (el u + el v ) + el w .

de

La adición de vector es el comutativo: style=" del For todo el v, V del ∈ del w, tenemos v + el w = el w + el v .

de

La adición de vector tiene un elemento de identidad : style=" del There existe un V del ∈ del 0 del elemento, llamado el cero vector, tal que el v + el 0 = el v para todo el V del ∈ del v .

de

La adición de vector tiene style=" del

For todo el ∈ V del v, allí existe un V del ∈ del w del elemento, llamado el lo contrario aditivo del v, tal que el v + el w = el 0 .

de

Distributivity se sostiene para la multiplicación escalar sobre la adición de vector: style=" del For todo el un F del ∈ de y el v, V del ∈ del w, tenemos un ( v + el w ) = un v de + un w de .

de

Distributivity se sostiene para la multiplicación escalar sobre la adición del campo: style=" del For todo el un, el F del ∈ del b y el V del ∈ del v, tenemos ( + el b ) v = un v de + el v del b .

de

La multiplicación escalar es compatible con la multiplicación en el campo de escalares: style=" del For todo el un, el F del ∈ del b y el V del ∈ del v, tenemos un ( v del b ) = (el ab ) el v .

de

La multiplicación escalar tiene un elemento de identidad : style=" del For todo el V del ∈ del v, tenemos 1 v = el v, donde 1 denota la identidad multiplicativa en el F .

Formalmente, éstos son los axiomas para un módulo, así que un espacio de vector se puede describir sucinto como un módulo sobre un campo.

Observar que el séptimo axioma arriba, indicando el un ( v del b ) = (el ab ) el v, no está afirmando el associativity de una operación, puesto que hay dos operaciones en la pregunta, multiplicación escalar: v del b ; y multiplicación del campo: ab .

Algunas fuentes eligen también incluir dos axiomas del encierro : El V es cerrado bajo adición de vector: style=" del If del ∈ del v + V del ∈ del v .

de

El V es cerrado bajo multiplicación escalar: style=" del If un F, V, entonces del ∈ de del ∈ del v un V del ∈ del v de .

Sin embargo, la comprensión formal moderna de las operaciones como mapas con el V del codomain implica estas declaraciones por definición, y evita así la necesidad de enumerarlas como axiomas independientes. La validez de los axiomas del encierro es dominante a determinar si un subconjunto de un espacio de vector es un subespacio .

Observar que las expresiones de la forma “ del v un ”, donde el V del ∈ del v y un F del ∈ de, en realidad, no están definidas. Debido a el commutativity del campo subyacente, sin embargo, el “ un v ” y “del v de un ” se trata a menudo sinónimo. Además, si V del ∈ del v, V del ∈ del w, y un F del ∈ de donde está además una álgebra el V del espacio de vector sobre el del F del campo entonces al w del v de = v un w de, que hace conveniente considerar el “ un v ” y “del v de un ” para representar el mismo vector.

Características elementales

Hay un número de características que siguen fácilmente de los axiomas del espacio de vector.

el cero V del ∈ del 0 del vector es único: style=" del 1 del >If y el 0 ₂ son vectores cero en el V, tal que el 0 ₁ + el v = el v y el 0 ₂ + el v = el v para todo el V, entonces 0 del ∈ del v ₁ = el 0 ₂ = el 0 .

La multiplicación escalar con el vector cero rinde el vector cero: style=" del For todo el un F del ∈ de, tenemos un 0 de = el 0 .

La multiplicación escalar por cero rinde el vector cero: style=" del For todo el V del ∈ del v, tenemos 0 v = el 0, donde 0 denota la identidad aditiva en el F .

Ninguna otra multiplicación escalar rinde el vector cero: style=" del We tiene un v de = el 0 si y solamente si = 0 o el v = el 0 .

El inverso aditivo v del − de un v del vector es único: style=" del 1 del >If y el w ₂ son lo contrario aditivos del V, tal del ∈ del v que el v + el w ₁ = el 0 y el v + el w ₂ = el 0, entonces w ₁ = el w ₂. Llamamos el inverso v del − y definimos el   del w ; −    del w del ≡ del v ; +  ( v del −).

La multiplicación escalar por la unidad negativa rinde lo contrario del añadido del vector: style=" del For todo el V del ∈ del v, tenemos (−1) el v = el v del −, donde 1 denota la identidad multiplicativa en el F .

La negación conmuta libremente: style=" del For todo el un F del ∈ de y el V del ∈ del v, tenemos ( del − un ) v = un ( v del −) = − ( un v de ).

Ejemplos

Subespacios y bases

Artículos principales del : Subespacio linear, base

Dado un V del espacio de vector, un no vacío W del subconjunto V que es cerrado bajo la adición y multiplicación escalar se llama un subespacio de los subespacios del V. del V es espacios de vector (sobre el mismo campo) en el su derecho propio. La intersección de todos los subespacios que contienen un sistema dado de vectores se llama su palmo ; si ningún vector puede ser quitado sin el cambio del palmo, el sistema reputa a independiente linear. Una independiente fijó linear de quién palmo es el V se llama una base para el V .

Usar el lema (que de Zorn es equivalente al axioma de la opción ), puede ser probado que cada espacio de vector tiene una base. Sigue del lema del ultrafiltro, que es más débil que el axioma de la opción, que todas las bases de un espacio de vector dado tienen la misma cardinalidad . Así los espacios de vector sobre un campo dado son fijados hasta el isomorfismo por un número cardinal del solo (llamado la dimensión del espacio de vector) que representa el tamaño de la base. Por ejemplo, los espacios de vector finito-dimensionales verdaderos son apenas el R ⁰, R ¹, R ², R ³,…. La dimensión del verdadero R ³ del espacio de vector es tres. Hausdorff que primero probó que cada espacio de vector tiene una base. El Andreas Blass demostró que este teorema lleva al axioma de la opción .

Una base permite expresar cada vector del espacio como tuple único de los elementos del campo, aunque la precaución deba ser ejercitada cuando un espacio de vector no tiene una base finita . Los espacios de vector se introducen a veces de este punto de vista coordinatised.

Uno considera a menudo los espacios de vector que también llevan una topología compatible . Compatible aquí significa que la adición y la multiplicación escalar deben ser operaciones continuas. Este requisito se asegura realmente de que la topología dé lugar a una estructura uniforme . Cuando la dimensión es infinita, hay generalmente más de una topología inequivalent, que hace el estudio de espacios de vector topológicos más rico que el de los espacios de vector generales.

Solamente en tal los espacios de vector topológicos pueden uno considerar el las sumas infinitas de de vectores, es decir serie, con la noción de la convergencia . Esto es de importancia en matemáticas puras y aplicadas, por ejemplo en los mecánicos de Quantum, donde los sistemas físicos se definen como espacios de Hilbert, o donde se utilizan las extensiones de Fourier.

Mapas lineares

Artículo principal del : Mapa linear

El dado V de dos espacios de vector y el W sobre el mismo F, uno del campo pueden definir los mapas lineares o las “transformaciones lineares” del V al W . Éstos son el f de las funciones : El W del → del V que sean compatibles con la estructura relevante - es decir, ellos preserva sumas y productos escalares. El sistema de todos los mapas lineares del V al W, denotado F ( V, W ) de Hom_{, es también un espacio de vector sobre el F . Cuando las bases para el V y el W se dan, los mapas lineares se pueden expresar en términos de componentes como matrices .}

Un isomorfismo es un $f\; linear\; del\; mapa\; :\; V\; \backslash \; a\; W$ tales que existe un $g\; inverso\; del\; mapa\; :\; W\; \backslash \; a\; V$ tales que $f\; \backslash \; circ\; g:\; W\; \backslash \; a\; W$ y $g\; \backslash \; circ\; f:\; V\; \backslash \; a\; V$ es los mapas de la identidad. Un mapa linear que es ambo uno por ( inyectivo) y sobre ( Surjective) es necesario un isomorfismo. Si existe un isomorfismo entre el V y el W, los dos espacios reputan el isomorfo; son entonces esencialmente idénticos como espacios de vector.

Los espacios de vector sobre un F del campo fijo junto con los mapas lineares son una categoría, de hecho una categoría abeliana .

Generalizaciones

Desde un punto de vista abstracto, los espacios de vector son los módulos sobre un campo, F del . La práctica común de identificar el un v y del v de un en un espacio de vector hace el espacio de vector un F - Bimodule del F . Los módulos en general no necesitan tener bases; los que lo hacen (todos los espacios de vector incluyendo) se conocen como de los módulos del libremente.

Una familia de espacios de vector, parametrised continuamente por un cierto espacio topológico subyacente, es un del paquete del vector de .

Un afina el espacio es un sistema con una acción transitiva del espacio de vector . Observar que un espacio de vector es un espacio de afinación sobre sí mismo, por el $\backslash \; la\; theta\; del\; del\; mapa\; de\; la\; estructura:\; V^2\; \backslash \; a\; V:\; (a,\; b)\; \backslash \; mapsto\; \backslash \; theta\; (a,\; b)\; =:\; a\; -\; b\; \backslash .$

Estructuras adicionales

Es común a los espacios de vector del estudio con ciertas estructuras adicionales. Esto es a menudo necesario para recuperar nociones ordinarias de geometría.

espacio verdadero o complejo de A de vector con un concepto bien definido de la longitud, es decir, una norma, se llama un espacio de vector de Normed del .
Un espacio de vector normed con el concepto bien definido adicional del ángulo del se llama un espacio del producto interno del .
Un espacio de vector con una topología compatible con las operaciones - tales que la adición y la multiplicación escalar son los mapas continuos - se llama un espacio de vector topológico del .
Un espacio de vector con un operador bilineario adicional que define la multiplicación de dos vectores es una álgebra del sobre un campo .
Un espacio de vector pedido .

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