Espacio de vector simpléctico - Enciclopedia España

En las matemáticas, un espacio de vector simpléctico del es un V del espacio de vector equipado de un Nondegenerate, Sesgar-simétrico, &omega bilineario de la forma ; llamó el la forma simpléctica .

Explícitamente, una forma simpléctica es un &omega bilineario de la forma; : × del V ; &rarr del V ; R que es
Sesgar-simétrico: ω ( u, v ) = − ω ( v, u ) para todo el u, &isin del v ; V,
Nondegenerate: si ω ( u, v ) = 0 para todo el &isin del v ; u del V entonces = 0. Trabajando en una base fija, ω puede ser representado por una matriz . Las dos condiciones antedichas dicen que esta matriz debe ser el sesgar-simétrico y el no singular. Éste es el no la misma cosa que una matriz simpléctica, que es un diverso concepto discutido abajo.

Si el V es el Finito-dimensional entonces su dimensión debe necesario ser el incluso puesto que cada matriz sesgar-simétrica del tamaño impar tiene determinante cero.

Una forma bilinearia sesgar-simétrica nondegenerate se comporta absolutamente diferentemente de una forma bilinearia simétrica del nondegenerate, tal como el producto de punto en espacios de vector euclidianos. Con un euclidiano g del producto interno, tenemos g ( v, v ) > 0 para todo el diferente a cero v de los vectores, mientras que un &omega simpléctico de la forma; satisface ω ( v, v ) = 0.

Espacio simpléctico estándar

El espacio simpléctico estándar es el n del R ^{2 con la forma simpléctica dada por el $\ la Omega simplécticos del de la matriz = \ comienza {bmatrix} 0 y \ \ - de I_n I_n y 0 \ extremo {bmatrix}$ donde está los × el n del _{del I del n ; matriz de identidad n . En términos de vectores de la base $del l (x_1, \ ldots, x_n, y_1, \ ldots, y_n)$ :
$\ = \ Omega (y_i, y_j) de Omega (x_i, x_j) = 0 \,$ .}}

Una versión modificada Gramo-Schmidt de proceso demuestra que cualquier espacio de vector simpléctico finito-dimensional tiene tal base, a menudo llamada una base de Darboux del del .

Hay otra manera de interpretar esta forma simpléctica estándar. Puesto que el modelo n del ^{del R del espacio usado arriba lleva la estructura mucho canónica que pudo llevar fácilmente a la interpretación, utilizaremos el " anonymous" espacios de vector en lugar de otro. Dejar el V ser un espacio de vector verdadero del ^{&lowast del n y del V de la dimensión;} su espacio dual . Ahora considerar el el W de la suma directa : = &oplus del V ; ^{&lowast del V ;} de estos espacios equipados de la forma siguiente: = \ XI del $\ de Omega del l (x \ oplus \ eta, y \ oplus \ XI) (x) - \ eta (y)$}

Ahora elegir cualquier base ( v ₁, …, el n del _{del v ) del V y considera su la base dual $del l (v^*_1, \ ldots, v^*_n)$ .}

Podemos interpretar los vectores de la base como mintiendo en el W si escribimos i del _{del x} = ( i , 0 del _{del v ) y i del _{del y} = (0, i}^{&lowast del v_;}). Tomada juntos, éstos forman una base completa del W, $del l (x_1, \ ldots, x_n, y_1, \ ldots, y_n)$ .

El $\ omega$ de la forma definido aquí se puede demostrar para tener las mismas características que en el principio de esta sección.

Forma del volumen

Dejar el ω ser una forma en un n - verdadero dimensional V, &omega del espacio de vector; ∈ Λ ² ( V ). Entonces ω es non-degenerate si y solamente si el n es uniforme, y el ω n /2 del = ω ∧ … ∧ ω es una forma del volumen. Una forma del volumen en un n - dimensional V del espacio de vector es un múltiplo diferente a cero del (único) n - formar el e ₁^{∗ &and de}; … ∧ n ^{&lowast del _{del e ;}} donde está vectores el i del _{del e estándar de la base en el V . Para la base del estándar definida en la sección anterior, tenemos $del l \ ^ del omega^n= (- 1) {n/2} x^*_1 \ cuña \ ldots \ x^*_n de la cuña \ cuña y^*_1 \ cuña \ ldots \ cuña y^*_n$ .
Reordenando, uno puede escribir $del l \ omega^n= x^*_1 \ cuña y^*_1 \ cuña \ ldots \ x^*_n de la cuña \ cuña y^*_n$ .
Los autores definen vario ω n del ^{o (− 1)^{n /2}ω n} del ^{como la forma estándar del volumen del . ¡Un factor ocasional del n ! ¡puede también aparecer, dependiendo de si la definición del producto de alternancia contiene un factor del n ! o no. La forma del volumen define una orientación en el espacio de vector simpléctico ( V, ω).}

Mapa simpléctico
Suponer que ese $(, \ Omega)$ de V y $(, \ rho)$ de W son los espacios de vector simplécticos. Entonces un $f linear del mapa : V \ rightarrow W$ se llama un mapa simpléctico si y solamente si la retirada $f^*$ preserva la forma simpléctica, es decir, si $f^* \ el rho= \ omega$ . La forma de la retirada se define cerca $f^* del l \ rho (u, v)= \ rho (f (u), f (v))$ y el f es así un simpléctico del mapa si y solamente si $del l \ rho (f (u), = \ Omega (u, v)$ de f (v))
para todo el u y el v en el V . Particularmente, los mapas simplécticos volumen-están preservando, orientación-preservando, y son Isomorphisms

Grupo simpléctico
Si el V = el W, entonces un mapa simpléctico se llama una transformación simpléctica linear del V . Particularmente, en este caso uno tiene eso $del l \ Omega (f (u), = \ Omega (u, v)$ , de f (v)) y el linear f de la transformación preserva tan la forma simpléctica. El sistema de todas las transformaciones simplécticas forma un grupo y particularmente un grupo de mentira, llamado el el grupo simpléctico y denotado por SP ( V ) o a veces SP ( V, ω). En forma de la matriz las transformaciones simplécticas son dadas por las matrices simplécticas .

Subespacios
Dejar el W ser un subespacio linear V . Definir el complemento simpléctico del W para ser = \ {del ${\ perp} v \ en V \ mediados de \ Omega (v, w) = 0 \ mbox {para todos} w \ en W \}$ El complemento simpléctico satisface el ^ del $del (W^ {\ perp}) {\ perp} = W$ y $del \ dévil W + \ W^ dévil \ perp = \ V$ dévil Sin embargo, desemejante de ^{&perp ortogonal del W de los complementos ; &cap de}; El W no necesita ser 0. Distinguimos cuatro casos:
el W del
es el simpléctico si ^{&perp del W ; &cap de}; W = {0}. Éste es verdadero si y solamente si &omega de ; restringe a una forma nondegenerate en el W . Un subespacio simpléctico con la forma restricta es un espacio de vector simpléctico por derecho propio.
El W es el isotrópico si &sube del W ; ^{&perp del W ;}. Esto es verdad si y solamente si ω restringe a 0 en el W . Cualquier subespacio unidimensional es isotrópico.
El W es el coisotropic si ^{&perp del W ; &sube de}; W . El W es coisotropic si y solamente si ω desciende a una forma nondegenerate en el ^{&perp del W /del W del espacio de cociente ;}. Equivalente el W es coisotropic si y solamente si ^{&perp del W ;} es isotrópico. Cualquie Codimension - un subespacio es coisotropic.
El W es el de Lagrange si el W = ^{&perp del W ;}. Un subespacio es de Lagrange si y solamente si es isotrópico y coisotropic. En un espacio de vector finito-dimensional, un subespacio de Lagrange es isotrópico cuya dimensión es mitad el del V . Cada subespacio isotrópico se puede ampliar de Lagrange.
Refiriendo al canónico n del R ^{2 del espacio de vector arriba,
el subespacio atravesado cerca {el x ₁, el y ₁} es simpléctico
el subespacio atravesado cerca {el x ₁, el x ₂} es isotrópico
el subespacio atravesado cerca { x ₁, x ₂, …, el n del _{del x, el y ₁} es coisotropic
el subespacio atravesado cerca { x ₁, x ₂, …, el n} del _{del x } es de Lagrange.}}

Características
Observar que la forma simpléctica se asemeja a las relaciones de conmutación canónicas consecuentemente, el grupo aditivo de un espacio de vector simpléctico tiene una extensión central, esta extensión central es el grupo de Heisenberg.
Ver también

El múltiple simpléctico A es un múltiple liso con una forma simpléctica cerrada liso-diversa de en cada espacio de tangente
Índice de Maslov
Una representación simpléctica es una representación de grupo donde cada elemento del grupo actúa como transformación simpléctica.
Zenithic
Möhne ReservoirRandom links: 1290s A.C. | Idiomas de Mongolic | Nasal alveolar | Clase de NSB XXII | Edwin G. Burrows}

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