d ( x, { x }) = 0;
1. d ( x, Ø) = ∞;
2. d ( B del ∪ del x, del A ) = mínimo d ( x, A ), d ( x, B );
3. Para todo el ε, 0≤ε≤∞, d ( ^{del x del ≤ del d ( x, A ), del A (ε)} ) + ε;

(El " el infimum vacío es infinity" positivo; la convención es como el que la intersección nullary es todo convención de .)

Un espacio del acercamiento se define para ser un par ( X, d ) donde está una función el d de distancia en el X . Cada espacio del acercamiento tiene una topología, dada tratando el   del A ; →  ^{del A (0)} como operador del encierro de Kuratowski.

Los mapas apropiados entre los espacios del acercamiento son las contracciones del . Un f del mapa: ( X, d ) el → ( Y, e ) es una contracción si el d ( x, A ) del ≤ del e ( f ( x ), f ) para todo el X, X del ∈ del x del ⊆ del A .

Ejemplos

Cada espacio xpq-métrico ( X, d ) puede ser el X de distancized (, el d ), según lo descrito al principio de la definición.

Dado un X del sistema, la distancia discreta del es dada por el d ( x, A ) = 0 si el A del ∈ del x y = ∞ si el A del ∉ del x . La topología inducida es la topología discreta.

Dado un X del sistema, la distancia homogénea del es dada por el d ( x, A ) = 0 si el A es no vacío, y = ∞ si el A es vacío. La topología inducida es la topología homogénea.

Dado un X del espacio topológico, una distancia topológica del es dada por el d ( x, A ) = 0 si style=" A , y = ∞ si no. La topología inducida es la topología original. De hecho, las únicas distancias two-valued son las distancias topológicas.

Dejar el P =, los reals positivos extendidos. Dejar el d ⁺ ( x, A ) = máximo (&minus del x ; sup el A, 0) para el P del ∈ del x y el P del ⊆ del A . Dado cualesquiera acercarse al espacio ( X, d ), el d de los mapas (para cada X del ⊆ del A ) (.,   del A );:   ( X, d )   →  ( P, d ⁺) son las contracciones.

En el P, dejar el e ( x, A ) = los inf { | &minus del x ; un | : el un A del ∈ de } para el <∞ del x, dejó el e (∞, A ) = 0 si el A es ilimitado, y dejó el e (∞, A ) = ∞ si se limita el A . Entonces ( P, e ) está un espacio del acercamiento. Topológico, el P es el compactification del uno-punto de la nota del que el ''' del ''' e amplía la distancia euclidiana ordinaria. Esto no se puede hacer con el métrico euclidiano ordinario.

Dejar el N del β ser el compactification de la Piedra-Čech de los números enteros. Un N del ∈β del U del punto es un ultrafiltro en el N . Un N del ⊆β del A del subconjunto induce un =∩ del F ( A ) del filtro { U : A DEL ∈ DEL U }. Dejar el b ( U, A ) = el sorbo {los inf { | n - j | : E del ∈ del X, del j del ∈ del n }: F ( A ) DEL ∈} DEL U, DEL E DEL ∈ DEL X . Entonces ( N del β, b ) está un espacio del acercamiento que amplía la distancia euclidiana ordinaria en el N . En cambio, el N del β no es metrizable.

Definiciones equivalentes

Lowen ha ofrecido por lo menos siete formulaciones equivalentes. Dos de ellas están abajo.

Dejar XPQ ( X ) denotan el sistema de xpq-métricas en el X . Un G de la subfamilia de XPQ ( X ) se llama un calibrador del si 0 G del ∈, donde está el métrico 0 cero, es decir, 0 (el x, el y ) =0, todo el x, y ;

Si el G es un calibrador en el X, después el d ( x, A ) = sorbo { e ( x, un )}: el G del ∈ del e } es una función de distancia en el X . Inversamente, dado un d de la función de distancia en el X, el sistema del ∈ XPQ ( X ) del e tales que el d del ≤ del e es un calibrador en el X . Las dos operaciones son inversas el uno al otro.

Un f de la contracción: ( X, d ) el → ( Y, e ) está, en términos de asociado G de los calibradores y H respectivamente, un mapa tales que para todo el H, d ( f del ∈ del d (.

Una torre del en el X es un sistema del A del → del A de los mapas para el X, ε≥0 del ⊆ del A, satisfaciendo para todo el A, X, δ,

del ≥ 0 del ε A DEL ⊆ DEL A ;
1. Ø = Ø;
2. ( B DEL ∪ DEL A ) = B DEL A ∪;
3. A del ⊆ del ^{del A [δ]} ;
4. A A de = de ∩_δ>ε.

Dado un d de la distancia, el ^{asociado del A del → del A (ε)} es una torre. Inversamente, dado una torre, el d ( x, A ) del mapa = inf {ε: el A del ∈ del x } es una distancia, y estas dos operaciones son lo contrario de uno a.

Un f de la contracción: ( X, d ) el → ( Y, e ) es, en términos de torres asociadas, mapa tales que para todo el ε≥0, f del ⊆ del f ].

Características categóricas

El interés principal en espacios del acercamiento y sus contracciones es que forman una categoría con las buenas características, mientras que todavía siendo cuantitativo como espacios métricos. Uno puede tomar productos y los coproducts y los cocientes arbitrarios, y los resultados generalizan apropiadamente los resultados correspondientes para las topologías. Uno puede incluso " distancize" tales espacios gravemente non-metrizable tienen gusto del N, el compactification del β de la Piedra-Čech de los números enteros.

Ciertos hyperspaces, los espacios de medida, y los espacios métricos de probabilidad resultan ser dotados naturalmente con una distancia. Los usos también se han hecho a la teoría de la aproximación.