Espacio descriptivo - Enciclopedia España

En las matemáticas un espacio descriptivo del es un sistema de elementos construidos de un espacio de vector tales que un elemento distinto del espacio descriptivo consiste en todos los vectores diferentes a cero que sean iguales hasta una multiplicación por un escalar diferente a cero. Una definición formal de un espacio descriptivo se puede formular de varias maneras, y se puede también hacer más abstracto, considera debajo de . El espacio descriptivo generado de un particular V del espacio de vector es a menudo el denotado P (V) . Los casos cuando el V = el R ² o el V = el R ³ es la línea descriptiva y el plano descriptivo, respectivamente.

La idea de un espacio descriptivo se relaciona con la perspectiva, más exacto con la manera un ojo o los proyectos de una cámara una escena 3D con una 2. Todos los puntos que mienten en una línea de proyección, intersecándose con el punto focal de la cámara, se proyectan sobre un punto de imagen común. En este caso el espacio de vector es el R ³ con el punto focal de la cámara en el origen y el espacio descriptivo corresponde a los puntos de imagen.

Los espacios descriptivos se pueden estudiar como campo separado en matemáticas, pero también se utilizan en los varios campos aplicados, geometría particularmente. Los objetos geométricos, tales como puntos, las líneas, o los planos, se pueden dar una representación como elementos en los espacios descriptivos basados en los coordenadas homogéneos . Consecuentemente, las varias relaciones entre estos objetos se pueden describir en una manera más simple que posible sin coordenadas homogéneos. Además, las varias declaraciones en geometría se pueden hacer más constantes y sin excepciones. Por ejemplo, en la geometría estándar para las líneas del plano dos intersecarse siempre en un punto a menos que cuando las líneas son paralelas. En una representación descriptiva de líneas y de puntos, sin embargo, tal punto de intersección existe incluso para las líneas paralelas, y puede ser computado in the same way as otros puntos de intersección.

Otros campos matemáticos donde está la topología el juego de los espacios descriptivos un papel significativo, la teoría de los grupos de mentira y de los grupos algebraicos y de sus teorías de la representación.

Introducción

Según lo contorneado arriba, el espacio descriptivo es un objeto geométrico que formaliza declaraciones como " Las líneas paralelas se intersecan en el infinity". Para el concreteness, daremos la construcción del descriptivo verdadero R ℙ² del plano en un cierto detalle. Hay tres definiciones equivalentes: Primero, el sistema de todas las líneas en el R ³ del espacio (de 3 verdaderos) que pasa con el origen (0, 0, 0). Cada tal línea resuelve la esfera del radio uno centrado en el origen exactamente dos veces, dice en el P = (el x, el y, el z ) y su punto antípoda ( - x, - y, - z ). Así el R ℙ² se puede también describir para ser los puntos en el S ² de la esfera, donde no están distinguidos cada P del punto y su punto antípoda. Por ejemplo, el punto (1, 0, 0) (punto rojo en la imagen) se identifica con (- 1, 0, 0) (punto rojo claro), etc. Finalmente, otra más definición equivalente es el sistema de las clases de la equivalencia del R ³ \ (0, 0, 0), es decir el espacio 3 sin el origen, donde están el dos puntos del P = (el x, el y, el z ) y Pˈ = (el xˈ del, el yˈ del, el zˈ del ) equivalente Iff allí son un λ diferente a cero número verdadero tales que el P = λ del ·Pˈ, es decir x = λxˈ, y del = λyˈ, z del = λzˈ del . La manera generalmente de escribir un elemento del plano descriptivo, es decir la clase de equivalencia que corresponde a un punto honesto ( x, y, z ) en el R ³, es : '' y '': '' z '' Esto va bajo el nombre de los coordenadas homogéneos .

Notar que cualquier punto: '' y '': '' z '' con el ≠ 0 del z es equivalente a: '' y/z '': 1. Tan hay dos desune subconjuntos del plano descriptivo: eso que consiste en los puntos: '' y '': '' z '' =: '' y/z '': 1 para el ≠ 0 del z, y ése que consiste en los puntos restantes: '' y '': 0. El 3ultimo sistema se puede subdividir semejantemente en dos desune subconjuntos, con los puntos: 1: 0 y: 0: 0. En el caso pasado, el x es necesario diferente a cero, porque el origen no era parte del R ℙ². Así el punto es equivalente a: 0: 0. Geométrico, el primer subconjunto, que es isomorfo (no sólo como sistema, pero también como múltiple, como será visto más adelante) al R ², es en la imagen el hemisferio superior amarillo (sin el ecuador), o equivalente el hemisferio más bajo. El segundo subconjunto, isomorfo al R ¹, corresponde a la Línea Verde (sin los dos puntos marcados), o, otra vez, equivalente a la línea verde clara. Finalmente tenemos el punto rojo o el punto rojo claro equivalente. Tenemos así un R del de la descomposición de la desunión ℙ² = el punto ⊔ del R ¹ del ⊔ del R ². Below exacto intuitivo ya claro, y hecha, punto es sí mismo del del ⊔ del R ¹ la línea descriptiva verdadera R ℙ¹ del . Considerado como subconjunto del R ℙ², se llama línea del en el infinito, mientras que el R ℙ² del ⊂ del R ² se llama afina plano, es decir apenas el plano generalmente.

El objetivo siguiente es hace exacto el refrán: " líneas paralelas reunión en el infinity". Un bijection natural entre el plano z = 1 (que resuelve la esfera en el N del Polo Norte = (0, 0, 1)) y el plano descriptivo del interior del plano de la afinación (es decir el hemisferio superior) es logrado por la proyección estereográfica, es decir cualquie P del punto en este plano se traza al punto de intersección de la línea con el origen y el P y la esfera. Por lo tanto dos líneas L ₁ y L ₂ (azul) en el plano se trazan a qué parecer los grandes círculos (se identifican los puntos antípodas, aunque). Los grandes círculos se intersecan exacto en dos puntos antípodas, que se identifican en el plano descriptivo, es decir el cualquier línea de dos tiene exactamente un punto de intersección dentro del R ℙ². Este fenómeno axiomatized y se estudia en la geometría descriptiva .

Definición del espacio descriptivo

el espacio descriptivo verdadero es definido por el ⁿ del ℙ del R del : = ( n +1 del ^{del R - { 0 })/~, con el ~ de la relación de equivalencia ( x ₀,…, x_n ) (λx ₀ del ,…, λx_n ), donde está un número el λ del verdadero diferente a cero arbitrario. Equivalente, es el sistema de todas las líneas en el n +1} del ^{del R que pasa con el origen (0,…, 0). En vez del R, uno puede tomar cualquier campo arbitrario, o aún un k del anillo de división . Para los números complejos o el Quaternions, uno obtiene el complejo ⁿ del ℙ del C del espacio descriptivo y el ⁿ del ℙ del H del espacio descriptivo de Quaternionic. En la geometría algebraica la notación generalmente para el espacio descriptivo es el ⁿ_k del ℙ.
Si el n es uno o dos, también se llama el la línea descriptiva o el el plano descriptivo, respectivamente. La línea descriptiva compleja también se llama la esfera de Riemann .
Como en la caja especial antedicha, la notación (coordenadas homogéneos del supuesto) para un punto en espacio descriptivo es …: '' x_n ''.
Levemente más general, para un V (sobre un cierto k del campo, o, más generalmente un V del módulo sobre un poco de anillo de división), ℙ ( V ) del espacio de vector se define para ser (el V \ 0)/~, donde está equivalente el diferente a cero v ₁, v ₂ de dos vectores en el V si diferencian por un λ escalar diferente a cero, es decir v del ₁ = λ del ·v ₂. El espacio de vector no necesita ser finito-dimensional, se utiliza que, por ejemplo, en la teoría de los espacios de Hilbert descriptivos
En la teoría Alexander Grothendieck, especialmente en la construcción de paquetes descriptivos, hay razones de aplicar la construcción contorneada arriba algo al V del espacio dual *, las razones que son que quisiéramos asociar un espacio descriptivo a cada Y del esquema y a cada cuasi-coherente E de la gavilla de sobre el Y, no apenas localmente libera unos. Ver EGA_II, grieta. 4 para más detalles.

Espacio descriptivo como múltiple
La definición antedicha del espacio descriptivo da a determinado. Con objeto de la geometría diferenciada, que se ocupa de los múltiples es útil dotar este sistema con la estructura multíple de a (verdadera o compleja). A saber considerar los subconjuntos siguientes: U_i = {…: '' x_n '', ≠ 0 del x_i }, i = 0,…, n . Por la definición del espacio descriptivo, su unión es el espacio descriptivo del conjunto. Además, el U_i está en el bijection al n del ^{del R (o al n} del ^{del C ) vía $…: x_ {i-1}: 1: x_ {i+1}: … x_n \ leftarrow (y_0,…, \ sombrero {y_i},… y_n)$ (el sombrero significa que el i - la entrada del th falta).}
La imagen del ejemplo demuestra el R ℙ¹. (Los puntos antípodas se identifican en el R ℙ¹, aunque). Es cubierto por dos copias de la línea verdadera R, que cubre la línea descriptiva excepto un punto, que es " the" (o a) punto en el infinito.
Primero definimos una topología en espacio descriptivo declarando que estos mapas serán Homeomorphisms, es decir, un subconjunto del U_i es el abierto Iff que su imagen bajo isomorfismo antedicho es un subconjunto abierto (en el sentido generalmente) del n del ^{del R . Un arbitrario A del subconjunto del ⁿ del ℙ del R está abierto si todo el U_i del ∩ del A de las intersecciones está abierto. Esto define un espacio topológico .}
La estructura multíple es dada por los mapas antedichos, también.
Otra manera de pensar de la línea descriptiva es la siguiente: tomar dos copias de la línea de la afinación con el x de los coordenadas y el y, respectivamente, y pegarlos juntos a lo largo del ≠ 0 del x de los subconjuntos y del ≠ 0 del y vía el $x del de los mapas \, \, del mapsto \ del frac {1} {x} y \ mapsto \ frac {1} {y}.$ El múltiple resultante es la línea descriptiva. Las cartas dadas por esta construcción son iguales que las arriba. Las presentaciones similares existen para los espacios descriptivos alto-dimensionales.
La descomposición antedicha adentro desune subconjuntos lee adentro esta generalidad: ⁿ del ℙ del R del = R ⁰, del ⊔ del R ¹ del ⊔ del ⊔ del n -1 del ^{del R del ⊔ del n} del ^{del R … esta célula-descomposición supuesta del se puede utilizar para calcular el cohomology singular del espacio descriptivo.}
Todos los asimientos antedichos para el espacio descriptivo complejo, también. La línea descriptiva C ℙ¹ complejo de es un ejemplo de un Riemann superficial.
La cubierta por los subconjuntos abiertos antedichos también demuestra que el espacio descriptivo es un la variedad algebraica (o el esquema ), él es cubierta por el n + 1 afina el n - espacios. La construcción del esquema descriptivo es un caso de la construcción de Proj.

Porqué el espacio descriptivo es " better" que el espacio de afinación
Hay un número de ventajas matemáticamente profundamente significativas del espacio descriptivo contra afina el espacio (e. n} del ^{del RP contra el n} del ^{del R ). Que estas razones es importante sepan cuándo un múltiple o una variedad dado es descriptivo, es decir encaja en (es un subconjunto cerrado de) espacio descriptivo. La línea amplia paquetes (muy) se diseña para abordar esta pregunta.
el espacio Projective es un espacio topológico del acuerdo, afina el espacio no es. Por lo tanto, el teorema de Liouville se aplica para demostrar que cada función olomorfa en el n del ^{del CP es constante. Otra consecuencia es, por ejemplo, que el que integra las funciones del o las formas del diferencial en el n} del ^{del P no causa la convergencia issues.}

On un multíple complejo descriptivo X, grupos del cohomology coherente F de las gavillas ^{&lowast del H del

;} ( X, F ) finito se generan. (El ejemplo antedicho es $H^0 (\ mathbb C \ mathbb P^n, \ O)$ mathcal, el cohomology del cero-th de la gavilla de funciones olomorfas). En el lenguaje de la geometría algebraica, el espacio descriptivo es el apropiado. Los resultados antedichos celebran en este contexto, too.
el espacio descriptivo complejo del
For, cada complejo n (es decir, un múltiple del ^{del CP del ⊂ del X del submanifold cortado por ecuaciones olomorfas ) es necesario una variedad algebraica (es decir, dado por ecuaciones polinómicas del ). Éste es el teorema, él del perro chino permite el uso directo de los métodos algebraico-geométricos para estos objects.}
analítico definidos ad hoc los
As contorneados arriba, las líneas en el P ² o los hiperplanos en el n del ^{del P se intersecan más generalmente siempre. Esto extiende a los objetos no lineares, también: apropiadamente la definición del grado de una curva algebraica, que es áspero el grado de los polinomios necesitó definir la curva (véase el Hilbert polinómico), él es verdad (sobre un algebraico cerrado k del campo ) que cualquier descriptivos n} del k ^{del _{del P del ⊂ del C ₁ y del C ₂ de dos curvas del e del grado y del f intersecan en exactamente el e · el f señala, contándolos con los multiplicities (véase el teorema de Bézout). Esto es aplicado, por ejemplo, en la definición de una estructura del grupo en los puntos de una curva elíptica, como el y ² = x +1. del x ³−. El grado de una curva elíptica es 3. Considerar la línea del x ; = 1, que interseca la curva (interior afina el espacio) exactamente dos veces, a saber adentro (1, 1) y (1, −1). Sin embargo, el interior P ², el encierro descriptivo de la curva es dado por la ecuación homogénea y ² del

· del z ; = x del x ³− · z ³, del z ²+ cuál interseca la línea (dada el interior P ² por el del x ; = z ) en tres puntos: 1:1, −1: 1 (correspondiendo a los dos puntos mencionados anteriormente), y 1:0.}}
la variedad
Any, es decir una variedad del grupo, cuyos puntos forman un grupo abstracto que sea además descriptivo, es necesario una variedad abeliana, es decir el grupo que la operación es el comutativo. Las curvas elípticas son ejemplos para las variedades abelianas. El commutatitivity falla para las variedades no-descriptivas del grupo, como el n ( k ) (el grupo linear general de GL_{del ejemplo) shows.}

Caracterización axiomática del espacio descriptivo
Hay un acercamiento axiomático alternativo a los espacios descriptivos que los definen como estructura de la incidencia con ciertas características. Este acercamiento no confía en la construcción sobre los espacios de vector (ℙ ( V )) y es particularmente popular en los campos de la geometría finita y de la combinatoria . Para un espacio descriptivo del ≧3 de la dimensión puede ser demostrado que es isomorfo al ℙ ( V ) para un cierto V . No obstante para los espacios descriptivos de la dimensión 2 (planos descriptivos) esto no es verdad, es decir existen los planos descriptivos que no son isomorfos al ℙ ( V ) para ninguÌn V, así que la construcción del ℙ ( V ) no describe todos los planos descriptivos. Un plano descriptivo que se construye sobre un Moulton plano es un ejemplo para un plano tan descriptivo, de que no se puede describir a través del ℙ ( V ) para un cierto V .
Morphisms
El linear L ( V, W ) del ∈ del T de los mapas inyectivo entre el V de dos espacios de vector y el W sobre el mismo k del campo induce los mappings de los espacios descriptivos correspondientes vía el $\ el mathbb P del (V) \ rightarrow \ el mathbb P (W), \ mapsto,$ donde está un elemento diferente a cero del V y denota el v las clases de equivalencia de un vector bajo identificación de definición de los espacios descriptivos respectivos. Puesto que los miembros de la clase de equivalencia diferencian por un factor escalar, y los mapas lineares preservan factores escalares, este mapa inducido es el bien definido. (Si el T no es inyectivo, tendrá un espacio nulo más grande que {0}; en este caso el significado de la clase del T ( v ) es problemático si el v es diferente a cero y en el espacio nulo. En este caso uno obtiene un mapa racional supuesto, ve también la geometría de Birational).
El linear S de dos mapas y el T en el L ( V, W ) inducen el mismo mapa entre el Iff del ℙ ( V ) y del ℙ ( W ) que diferencian por un múltiplo escalar de la identidad, que es si el T = el λS del para un cierto &ne del λ del ; 0. Así si uno identifica los múltiplos escalares del mapa de la identidad con el campo subyacente, el sistema del k - el linear Morphisms del ℙ ( V ) al ℙ ( W ) es simplemente ℙ ( L ( V, W )).
El ℙ del → del ℙ de los automorfismos ( V ) ( V ) se puede describir más concreto. (Nos ocupamos solamente de los automorfismos que preservan el bajo k del campo). Usar la noción de las gavillas generadas por las secciones globales, puede ser demostrado que el automorfismo (no no necesario linear) algebraico tiene que ser linear, es decir venir del automorfismo (linear) de a del V del espacio de vector. Forman el '' GL '' ('' V '') del grupo . Identificando los mapas que diferencian por un escalar, uno concluye el
Aut (ℙ ( V ) del
) = Aut ( V )/ k ^∗ = GL ()/ k del V ^∗ =: PGL ( V ), el grupo del cociente de modulo del GL ( V ) las matrices que son múltiplos escalares de la identidad. (Estas matrices forman el centro de Aut ( V )). El PGL de los grupos se llama los grupos lineares descriptivos que los automorfismos de la línea descriptiva compleja C ℙ¹ se llaman las transformaciones de Möbius.

Generalización
El espacio descriptivo, siendo el " space" de todos los subespacios lineares unidimensionales de un dado V del espacio de vector se generaliza al múltiple de Grassmannian, que parametrizing subespacios alto-dimensionales (de una cierta dimensión fija) del V . El múltiple de la bandera es más generalmente el espacio de las banderas, es decir cadenas de subespacios lineares del V . Más generalmente, los espacios de los módulos parametrize objetos tales como curvas elípticas de una clase dada. Remendar espacios descriptivos juntos rinde a los paquetes del espacio descriptivo.
Las variedades de Severi-Brauer son las variedades algebraicas sobre un k del campo que lleguen a ser isomorfos a los espacios descriptivos después de una extensión del bajo k del campo.

Ver también
Transformación descriptiva
Representación descriptiva .
Zenithic
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