En las matemáticas, cualquier V del espacio de vector tiene un espacio de vector dual correspondiente del (o apenas espacio dual para el cortocircuito) el consistir en de todos los functionals lineares en el V . Los espacios de vector duales definidos en espacios de vector finito-dimensionales se pueden utilizar para definir los tensores que se estudian en la álgebra del tensor. Cuando está aplicado a los espacios de vector de los espacios duales de las funciones (que son típicamente dimensionales infinito) se emplean para definir y estudiar conceptos como las medidas, las distribuciones, y los espacios de Hilbert por lo tanto, el espacio dual es un concepto importante en el estudio del análisis funcional .

Hay dos tipos de espacios duales: el espacio dual algebraico, y el espacio dual continuo. El espacio dual algebraico se define para todos los espacios de vector. Cuando está definido para un espacio de vector topológico hay un subespacio de este espacio dual, correspondiendo a los functionals lineares continuos, que constituye un espacio dual continuo del .

Espacio dual algebraico

Dado cualquier V del espacio de vector sobre un cierto F del campo, definimos el V del espacio dual * ser el sistema de todos los functionals lineares en el V, es decir, escalar - los mapas lineares valorados en el V (en este contexto, un " scalar" es un miembro del F del base-campo). V * sí mismo se convierte un espacio de vector sobre el F bajo definición siguiente de la adición y de la multiplicación escalar: $del\; (\backslash \; +\; \backslash \; PSI\; de\; la\; phi)\; (x)\; =\; \backslash \; +\; \backslash \; PSI\; (x)\; \backslash ,$ del$$
de (a \ phi) (x) = a \ phi (x) \, de la phi (x) para todo el $\backslash ,\; \backslash \; psi$ de la phi en el V *, el un en el F y el x en el V . En la lengua de los elementos de los tensores V a veces se llaman los vectores de la covariante, y los elementos del V *, de los vectores de Contravariant, de los covectors o del de las Uno-formas del .

El caso dimensional finito

Si el V es el Finito-dimensional, después el V * tiene la misma dimensión que el V ; si { e ₁,…, n del _{del e } es una base para el V, después la base dual { e ¹,…, n del asociado del ^{del e } del V * se da cerca}}

$\backslash \; el\; ^i\; del\; mathbf\; \{e\}\; (\backslash \; el\; \_j\; del\; mathbf\; \{e\})\; =\; \backslash \; se\; fueron\; \backslash \; \{\backslash \; comenzar\; \{matriz\}\; 1,\; y\; \backslash \; mbox\; \{si\}\; \backslash \; \backslash \; 0\; de\; i\; =\; de\; j,\; y\; \backslash \; mbox\; \{si\}\; i\; \backslash \; ne\; j\; \backslash \; extremo\; \{matriz\}\; \backslash \; derecho.$

En el caso del R ², su base es el B = {el e ₁= (1.0), el e ₂= (0. Entonces, el e ¹, y el e ² son las uno-formas (funciones que trazan un vector a un escalar) tales que el e ¹ ( e ₁) =1, el e ¹ ( e ₂) =0, el e ² ( e ₁) =0, y el e ² ( e ₂) =1. (nota: El exponente aquí es un índice, no un exponente.)

Concreto, si interpretamos el n del ^{del R como el espacio de columnas de los números verdaderos n su espacio dual se escribe típicamente como el espacio de las filas del de los números verdaderos del n . Tal fila actúa en el n} del ^{del R como funcional linear por la multiplicación ordinaria de la matriz.}

Si el V consiste en el espacio geométrico vectors (flechas) en el plano, después los elementos del dual V * puede intuitivo ser representado como colecciones de líneas paralelas. Tal colección de líneas se puede aplicar a un vector para rendir un número así: uno cuenta cuántos de las líneas cruza el vector.

El caso dimensional infinito

Si el V no es finito-dimensional pero hace un α del del _{del e de la base de Hamel poner en un índice por un infinito A del sistema, después la misma construcción que en el caso dimensional finito rinde el α independiente ( A ^{del e de los elementos linear del ∈ del α del ) del espacio dual, pero no formarán una base.}}

Considerar, por ejemplo, el R ^∞ del espacio, cuyos elementos son esas secuencias de números verdaderos que tengan solamente finito muchas entradas diferentes a cero, que tiene una base puesta en un índice por el N de los números naturales: para el N, i del ∈ del i del _{del e está la secuencia que es cero aparte de el término del th del i, que es uno. El espacio dual del R ^∞ es el N , el espacio del ^{del R de todas las secuencias de números verdaderos: tal secuencia ( un n}} del _{de ) se aplica a un elemento ( n} del _{del x ) del R ^∞ para dar al del n} del ∑ _{del número un n} del _{del x del n} del _{de, que es una suma finita porque hay solamente finito muchos el diferente a cero n} del _{del x . La dimensión del R ^∞ es contable infinita, mientras que el N del ^{del R no tiene una base contable.}}

Esta observación generaliza a cualquier operador linear continuo Ψ :   &PRIME DEL V DEL → DEL V ; ′ del V en su &prime dual doble continuo del V ; ′. En caso de que el V normed, este mapa es de hecho un Isometry, significando ||Ψ ( x )|| = || x || para todo el x en el V . Los espacios para los cuales el mapa Ψ es un Bijection se llaman el reflexivo.

El dual continuo se puede utilizar para definir una nueva topología en el V, llamado el la topología débil .

Si el dual del V es el separable, después está tan el V sí mismo del espacio. El inverso no es verdad; el l ¹ del espacio es separable, pero su dual es el l ^∞, que no es separable.

Si el V es un espacio de Hilbert, después su dual continuo es un espacio de Hilbert que es anti-isomorfo al V . Éste es el contenido del teorema de la representación de Riesz, y da lugar a la notación del Sujetador-ket usada por los físicos en la formulación matemática de los mecánicos de Quantum .