l \ mathbf {x} = (x_1, x_2, \ ldots, x_n),

donde está un número cada i del _{del x verdadero. Las operaciones del espacio de vector en el n del ^{del R se definen cerca + \ mathbf {y} del $\backslash \; del\; mathbf\; del$}}

l {x} = (x_1 + y_1, x_2 + y_2, \ ldots, x_n + y_n), $a\; del$

l \, \ mathbf {x} = (un x_1, un x_2, \ ldots, un x_n).

El n del ^{del R del espacio de vector viene con una base estándar : $del\; \backslash \; mathbf\; \{e\}\; \_1\; =\; (1,\; 0,\; \backslash \; ldots,\; 0),$ del$$
de \ mathbf {e} _2 = (0, 1, \ ldots, 0), $$ \backslash \; vdots$del$
de \ _n del mathbf {e} = (0, 0, \ ldots, 1). Un vector arbitrario en el n} del ^{del R se puede entonces escribir en el $\backslash \; el\; mathbf\; \{x\}\; del\; de\; la\; forma\; =\; \backslash \; x\_i\; del\; ^n\; del\; sum\_\; \{i=1\}\; \backslash \; el\; mathbf\; \{e\}\; \_i.$}

El n del ^{del R es el ejemplo prototípico de un verdadero n - espacio de vector dimensional. De hecho, cada verdadero n - el dimensional V del espacio de vector es el isomorfo al n} del ^{del R . Este isomorfismo no es el canónico, sin embargo. Una opción del isomorfismo es equivalente a una opción de la base para el V (mirando la imagen de la base estándar para el n} del ^{del R en el V ). La razón del trabajar con los espacios de vector arbitrarios en vez del n} del ^{del R es que es a menudo preferible trabajar de una manera coordinar-libre del (es decir, sin elegir una base preferred).}

Estructura euclidiana

$\backslash \; mathbf\; \{\}\; \backslash \; cdot\; \backslash \; mathbf\; \{y\}\; de\; x\; =\; \backslash \; x\_iy\_i\; del\; ^n\; del\; sum\_\; \{i=1\}\; =\; x\_1y\_1+x\_2y\_2+\; \backslash \; cdots+x\_ny\_n.$

El resultado es siempre un número verdadero. Además, el producto interno del x consigo mismo es siempre no negativo. Este producto permite que definamos el " length" de un x del vector como

$\backslash |\backslash \; mathbf\; \{de\; x\}\; \backslash |\; =\; \backslash raíz\; cuadrada\{\backslash \; ^\; del\; sum\_\; \{i=1\}\; \{n\}\; (x\_i)\; ^2\}\; =\; \backslash \; raíz\; cuadrada\; \{\backslash \; mathbf\; \{\}\; \backslash \; cdot\; \backslash \; mathbf\; \{x\}\; de\; x\}.$

Esta función de la longitud satisface las características required de una norma y se llama la norma euclidiana en el n del ^{del R .}

(no-obtuso) ángulo θ (≤ 180° del θ ≤ 0°) entre x y y es entonces dado por

$\backslash \; theta\; =\; \backslash \; cos^\; \{-\; 1\}\; \backslash \; a\; la\; izquierda\; (\backslash \; frac\; \{\backslash \; mathbf\; \{\}\; \backslash \; cdot\; \backslash \; mathbf\; \{y\}\; de\; x\}\; \{\backslash |\backslash \; mathbf\; \{de\; x\}\; \backslash |\backslash |\backslash \; mathbf\; \{de\; y\}\; \backslash |\}\; \backslash )$ derecho donde cos^{− 1} es la función del Arccosine .

Finalmente, uno puede utilizar la norma para definir un métrico (o la función de distancia) en el n del ^{del R cerca del}

l $d\; (\backslash ,\; \backslash \; mathbf\; \{y\}\; del\; mathbf\; \{x\})\; =\; \backslash |\backslash \; del\; mathbf\; \{x\}\; -\; \backslash \; mathbf\; \{de\; y\}\; \backslash |\; =\; \backslash \; raíz\; cuadrada\; \{\backslash \; ^n\; del\; sum\_\; \{i=1\}\; (x\_i\; -\; y\_i)\; ^2\}.$

Esta función de distancia se llama el métrico euclidiano . Puede ser vista como forma del teorema pitagórico .

El espacio coordinado verdadero junto con esta estructura euclidiana se llama el espacio euclidiano y el a menudo denotado n del ^{del E . (Muchos autores refieren al n} sí mismo del ^{del R como espacio euclidiano, con la estructura euclidiana que es entendida). La estructura euclidiana hace que el n} del ^{del E un producto interno espacia (de hecho un espacio de Hilbert ), un espacio de vector de Normed, y un espacio métrico .}

Las rotaciones del espacio euclidiano entonces se definen como orientación - preservando el linear T de las transformaciones que preserven ángulos y longitudes:

$T\; \backslash \; mathbf\; \{x\}\; \backslash \; cdot\; T\; \backslash \; mathbf\; \{y\}\; =\; \backslash \; mathbf\; \{\}\; \backslash \; cdot\; \backslash \; mathbf\; \{y\},$ de x

$|T\; \backslash \; mathbf\; \{x\}|\; =\; |\backslash \; mathbf\; \{x\}|.$

En la lengua de las matrices, las rotaciones son las matrices ortogonales especiales .

Topología del espacio euclidiano

Un resultado importante en la topología del n , de que del ^{del R está lejos de superficial, es invariación de s de Brouwer 'del dominio . Cualquier subconjunto del n} (con su topología del subespacio) que es el homeomórfico a otro subconjunto abierto del n del ^{del R está sí mismo del del R abierto. Una consecuencia inmediata de esto es que el m del del R no es homeomórfico al n del del R si &mdash del n del ≠ del m ; intuitivo un " obvious" resultado que es no obstante difícil de probar.}

Generalizaciones

En matemáticas modernas, los espacios euclidianos forman los prototipos para otro, objetos geométricos más complicados. Por ejemplo, un múltiple liso es un espacio topológico de Hausdorff que está localmente Diffeomorphic al espacio euclidiano. Diffeomorphism no respeta distancia y ángulo, así que estos conceptos dominantes de geometría euclidiana se pierden en un múltiple liso. Sin embargo, si uno prescribe además un producto interno suavemente diverso en los espacios de tangente del múltiple entonces el resultado es qué se llama un múltiple Riemannian . Puesto diferentemente, un múltiple Riemannian es un espacio construido deformiendo y remendando juntos espacios euclidianos. Tal espacio disfruta de nociones de la distancia y del ángulo, pero se comportan en un curvado, manera no-Euclidiana. El múltiple Riemannian más simple, consistiendo en el n del ^{del R con un producto interno constante, es esencialmente idéntico al euclidiano n - espaciarse.}

Si uno altera un espacio euclidiano de modo que su producto interno llegue a ser negativo en uno o más direcciones, después el resultado es un espacio Pseudo-Euclidiano . Los múltiples lisos construidos de tales espacios se llaman el Pseudo-Riemannian su uso más famoso de los múltiples quizás son la teoría de la relatividad, donde el espacio-tiempo vacío sin la materia es representado por el espacio pseudo-Euclidiano plano llamado el espacio, spacetimes de Minkowski con la materia en ellos forma otros múltiples pseudo-Riemannian, y la gravedad corresponde a la curvatura de tal múltiple.

Nuestro universo, estando conforme a relatividad, no es euclidiano. Esto llega a ser significativo en consideraciones teóricas de la astronomía y del cosmología, y también en algunos problemas prácticos tales como la navegación de colocación global del aeroplano de y. No obstante, un modelo euclidiano del universo se puede todavía utilizar para solucionar muchos otros problemas prácticos con la suficiente precisión.

Ver también

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