En la topología y las ramas relacionadas de las matemáticas, un espacio topológico se llama localmente condensa si, en línea general, cada pequeña porción del espacio parece una pequeña porción de un espacio del acuerdo.

Definición formal

Dejar el X ser un espacio topológico . Los siguientes son definiciones comunes para el X son localmente compacto, y son equivalente del si el X es un espacio de Hausdorff (o el preregular). Son el no equivalente en general:
el

1. cada punto del X tiene una vecindad compacta . cada punto del X tiene una vecindad compacta cerrada . cada punto tiene una vecindad del acuerdo relativamente. cada punto tiene una base local de las vecindades del acuerdo relativamente. cada punto del X tiene una base local de vecindades compactas.

Relaciones lógicas entre las condiciones:
Las condiciones (2), (el `2), (`de 2 `) son equivalentes.
Ni unas ni otras de condiciones (2), (3) implican el otro.
Cada condición implica (1).
La compacticidad implica condiciones (1) y (2), pero no (3).

La condición (1) es probablemente la definición más de uso general, puesto que es la lo más menos posible restrictiva y las otras son equivalentes a él cuando el X es Hausdorff . Esta equivalencia es una consecuencia de los hechos que los subconjuntos compactos de espacios de Hausdorff son cerrados, y los subconjuntos cerrados de espacios compactos son compactos.

Los autores tales como Munkres y Kelley utilizan la primera definición. Willard utiliza el tercero. En Steen y Seebach, un espacio que satisface (1) reputa el localmente compacto, mientras que un espacio que satisface (2) reputa el fuerte localmente compacto.

En casi todos los usos, localmente los espacios compactos son también Hausdorff, y este artículo se refiere así sobre todo a los espacios de Hausdorff localmente (LCH) compactos.

Ejemplos y contraejemplos

Espacios de Hausdorff compactos

Cada espacio de Hausdorff del acuerdo es también localmente compacto, y muchos ejemplos de espacios compactos se pueden encontrar en el espacio del acuerdo del artículo. Aquí mencionamos solamente:
el intervalo de unidad ;
cualquie múltiple topológico cerrado;
el chantre determinado;
el cubo de Hilbert.

Espacios de Hausdorff localmente compactos que no son compactos

el R ⁿ (y particularmente la línea verdadera R de los espacios euclidianos del ) es localmente compacto como consecuencia del teorema de Heine-Borel.
La parte topológica de los múltiples las características locales de espacios euclidianos y es por lo tanto también todo el localmente acuerdo. Esto incluso incluye los múltiples del nonparacompact tales como la larga cola .
Todos los espacios discretos son localmente compactos y Hausdorff (son apenas el cero - múltiples dimensionales). Éstos son compactos solamente si son finitos.
Todo el abierto o los subconjuntos cerrados de un espacio de Hausdorff localmente compacto es localmente compactos en la topología del subespacio. Esto proporciona varios ejemplos de los subconjuntos localmente compactos de espacios euclidianos, tales como el disco (la versión abierta o cerrada) de la unidad.
El p del _{del Q del espacio '' p '' - los números adic son localmente compactos, porque es el homeomórfico al chantre determinado menos un punto. Así localmente los espacios compactos están como útiles en el análisis adic '' p '' - como en el análisis clásico .}

Espacios de Hausdorff que no son localmente compactos

Según lo mencionado en la sección siguiente, ningún espacio de Hausdorff puede posiblemente ser localmente compacto si no es también un espacio de Tychonoff; hay algunos ejemplos de los espacios de Hausdorff que no son espacios de Tychonoff en ese artículo. Pero hay también ejemplos de los espacios de Tychonoff que no pueden ser localmente compactos, por ejemplo:
el

el Q del espacio de los números racionales puesto que sus subconjuntos compactos todo tienen vacío interior y por lo tanto no son vecindades;
el subespacio {(0.0)} unión {( x, y ): x > 0} del R ², puesto que el origen no tiene una vecindad compacta;
la topología de un límite más bajo o topología del límite superior en el R del sistema de los números verdaderos (útiles en el estudio de los límites unilaterales ;
cualquie T₀, por lo tanto Hausdorff, espacio de vector topológico que es el infinito - dimensional tal como un espacio de Hilbert infinito-dimensional .

Los primeros dos ejemplos demuestran que un subconjunto de un espacio localmente compacto no necesita ser localmente compacto, que pone en contraste con los subconjuntos abiertos y cerrados en la sección anterior. El ejemplo pasado pone en contraste con los espacios euclidianos en la sección anterior; para ser más específico, un espacio de vector topológico de Hausdorff es localmente compacto si y solamente si es finito-dimensional (en este caso es un espacio euclidiano). Este ejemplo también pone en contraste con el cubo de Hilbert como ejemplo de un espacio compacto; no hay contradicción porque el cubo no puede ser una vecindad de cualquier punto en el espacio de Hilbert.

Ejemplos de Non-Hausdorff

el compactification del Uno-punto del Q de los números racionales es compacto y por lo tanto localmente condensa en los sentidos (1) y (2) pero no es localmente compacto en el sentido (3).
La topología particular del punto en sistema infinito es localmente compacta en sentidos (1) y (3) pero no en el sentido (2).

Características

Cada espacio localmente compacto de Preregular es, de hecho, el totalmente regular. Sigue que cada espacio de Hausdorff localmente compacto es un espacio de Tychonoff. Puesto que la regularidad recta es una condición más familiar que el preregularity (que es generalmente más débil) o termina la regularidad (que es generalmente más fuerte), localmente condensar los espacios preregular se refieren normalmente en la literatura matemática como espacios regulares del acuerdo del localmente. Semejantemente localmente los espacios compactos de Tychonoff generalmente apenas se refieren como los espacios de Hausdorff compactos del localmente .

Cada espacio de Hausdorff localmente compacto es un espacio de Baire. Es decir, la conclusión del teorema de la categoría de Baire se sostiene: el interior de cada unión contable muchos subconjuntos densos en ninguna parte de es el vacío.

Un X del subespacio de un localmente compacto Y del espacio de Hausdorff está localmente compacto si y solamente si el X de se puede escribir como la diferencia fijar-teórica de dos subconjuntos cerrados del del Y . Como corolario, un denso X del subespacio de un compacto Y del espacio de Hausdorff es localmente compacto si y solamente si el X es un subconjunto abierto Y . Además, si un X del subespacio del algún Y del espacio de Hausdorff es localmente compacta, después el X todavía debe estar la diferencia de dos subconjuntos cerrados del Y, aunque el inverso no necesite sostenerse en este caso.

Los espacios de cociente de los espacios de Hausdorff localmente compactos son el compacto generado. Inversamente, cada espacio de Hausdorff compacto generado es un cociente de un cierto espacio de Hausdorff localmente compacto.

Para localmente la convergencia uniforme local de los espacios del acuerdo es igual que la convergencia compacta .

El punto en el infinito

Puesto que cada localmente compacto X del espacio de Hausdorff es Tychonoff, puede ser encajado en un espacio de Hausdorff compacto b ( X ) usar el compactification de la Piedra-Čech. Pero de hecho, hay un método más simple disponible en el caso localmente compacto; el compactification del Uno-punto encajará el X en un espacio de Hausdorff compacto a ( X ) con apenas un punto extra. (El compactification del uno-punto se puede aplicar a otros espacios, pero a ( X ) será de Hausdorff si y solamente si el X de es localmente compacto y Hausdorff.) Los espacios de Hausdorff localmente compactos se pueden caracterizar así como los subconjuntos abiertos de espacios de Hausdorff compactos.

Intuitivo, el punto extra en a ( X ) se puede pensar en como punto del en el infinito . El punto en el infinito se debe pensar en como mentira fuera de cada subconjunto compacto del X . Muchas nociones intuitivas sobre tendencia hacia infinito se pueden formular en los espacios de Hausdorff localmente compactos usar esta idea. Por ejemplo, un continuo o el valorado complejo verdadero f de la función con el X del dominio se dice al desaparece en el infinito si, dado cualquie el e del número positivo, hay un compacto K del subconjunto del X tales que | f ( x )| < e siempre que el x del punto mienta fuera del K . Esta definición tiene sentido para cualquier X del espacio topológico. Si el X es localmente compacto y Hausdorff, tales funciones son exacto ésas extensibles a un g de la función continua en su compactification a ( X ) del uno-punto = &cup del X ; {∞} donde g (∞) = 0.

El sistema C₀ ( X ) de todas las funciones complejo-valoradas continuas que desaparezcan en el infinito es una álgebra de C*. De hecho, cada álgebra comutativa C* es el isomorfo a C₀ ( X ) para un cierto compacto único X del espacio ( hasta el homeomorfismo del ) localmente Hausdorff. Más exacto, las categorías de espacios de Hausdorff localmente compactos y de álgebra comutativas de C* son el dual; esto se demuestra usar la representación de Gelfand. Formando el compactification a ( X ) del uno-punto del X corresponde bajo esta dualidad a colindar un elemento de identidad a C₀ ( X ).

Grupos localmente compactos

La noción de la compacticidad local es importante en el estudio de los grupos topológicos principalmente porque cada de Hausdorff localmente condensa a grupo que el G de lleva las medidas naturales llamadas las medidas de Haar que permiten uno al integran las funciones de definidas en el G . La medida de Lebesgue en la línea verdadera R del es un caso especial de esto.

El Pontryagin dual de un topológico A del grupo abeliano está localmente compacto si y solamente si el A de es localmente compacto. Más exacto, la dualidad de Pontryagin define una dualidad self- de la categoría de grupos abelianos localmente compactos. El estudio de grupos abelianos localmente compactos es la fundación del análisis armónico, un campo que tenga desde la extensión localmente a los grupos compactos no-abelianos.