Nociones de la equivalencia del espacio métrico

Dado dos espacios métricos ( M ₁, d ₁) y ( M ₂, d ₂):

se llaman el homeomórfico (topológico isomorfo) si existe un homeomorfismo entre ellos (es decir, un bijection continuo en ambas direcciones).

se llaman el uniformic (uniformemente isomorfo) si existe un isomorfismo del uniforme entre ellos (es decir, un bijection uniformemente continuo en ambas direcciones)

se llaman el similar si existe un constante positivo k > 0 y un Bijective f de la función, llamado la semejanza del tales que el f : M ₂ del → del M ₁ y d ₂ ( f ( x ), f ( y )) = d ₁ ( x, y ) de k para todo el x, y en el M ₁.

se llaman el isométrico si existe un Bijective isometry entre ellos. En este caso, los dos espacios son esencialmente idénticos. Un Isometry es un f de la función: M ₂ del → del M ₁ que preserva distancias: d ₂ ( f ( x ), f ( y )) = d ₁ ( x, y ) para todo el x, y en el M ₁. Isometries es necesario el inyectivo.

se llaman el (del segundo tipo) similar si existe un Bijective f de la función, llamado la semejanza del tales que el f : M ₂ del → del M ₁ y d ₂ ( f ( x ), f ( y )) = d ₂ ( f ( u ), f ( v )) si y solamente si d ₁ ( x, y ) = d ₁ ( u, v ) para todo el x, y, u, v en el M ₁.

En caso de espacio euclidiano con métrico generalmente las dos nociones de la semejanza son equivalentes.

¡Boundedness y compactnessuniverso -->

Observar que en el contexto de los intervalos durante los números verdaderos y las regiones en un R ⁿ del espacio euclidiano un sistema limitado están referidas de vez en cuando como " un interval" finito; o " region" finito;. Sin embargo el boundedness no se debe en general confundir con el " finite", que refiere al número de elementos, no a hasta dónde el sistema extiende; el aspecto finito implica boundedness, pero no no inversamente.

En un espacio métrico, la compacticidad secuencial, la compacticidad contable y la compacticidad son toda equivalentes.

Restringiendo el métrico, cualquier subconjunto de un espacio métrico es un espacio métrico sí mismo (un subespacio ) con una topología restringido a ése fijó. Llamamos tal subconjunto completo, limitado, limitado total o compacto si, considerado como espacio métrico, tiene la característica correspondiente. Cada subespacio cerrado de un espacio métrico completo es completo, y cada subespacio completo de un espacio métrico es cerrado. Un subespacio cerrado de un espacio métrico, sin embargo, no necesita ser completo.

Características de la separación y extensión de funciones continuas

Distancia entre los puntos y los sistemas

Espacios métricos del producto; métrica normed del producto

Si el $(M\_1,\; d\_1),\; \backslash \; los\; ldots,\; (M\_n,\; d\_n)$ es espacios métricos, y el N es cualquier norma en el Rⁿ, entonces

El $\backslash \; (M\_1\; \backslash \; las\; épocas\; \backslash \; los\; ldots\; \backslash \; las\; épocas\; M\_n,\; N\; (d\_1,\; \backslash \; ldots,\; d\_n)\; \backslash \; grande)$ grande es un espacio métrico, donde el producto normed métrico se define cerca $N\; del$

l (d_1,…, d_n) \ grande ((x_1, \ ldots, x_n), (y_1, \ ldots, y_n) \ grande) = N \ (d_1 (x_1, y_1), \ ldots, d_n (x_n, y_n) \ grande) grande,

y la topología inducida conviene con la topología del producto.

Semejantemente, un producto contable de espacios métricos se puede obtener usar el métrico siguiente $d\; del$

l (x, ^ del y)= \ del sum_ {i=1} \ infty \ d_i frac1 {2^i} (x_i, y_i) .

Continuidad de la distancia

Espacios métricos del cociente

donde el Infimum se asume el control todo el $de\; las\; secuencias\; finitas\; (p\_1,\; p\_2,\; \backslash \; puntea,\; p\_n)$ y $(q\_1,\; q\_2,\; \backslash \; puntea,\; q\_n)$ con $=$, $=$, $=,\; i=1,2,\; \backslash \; puntos\; n-1$. En general esto definirá solamente un pseudometric, es decir el $d\text{'}(,)\; =0$ no implica necesario eso =. Sin embargo para las relaciones de equivalencia agradables (e., ésas dadas pegando juntos poliedros a lo largo de caras), es un métrico. Por otra parte si el M es un espacio del acuerdo, después la topología inducida en el M/~ es la topología del cociente.

El métrico d del cociente es caracterizado por la característica universal siguiente. Si $f:\; (M,\; d)\; \backslash \; longrightarrow\; (,\; \backslash \; delta)$ de X es un mapa métrico entre los espacios métricos (es decir, $\backslash \; delta\; (f\; (x),\; f\; (y))\; \backslash \; satisfying\; f\; (\; x\; )\; de\; le\; d\; (x,\; y)$ para todo el x, el y ) = el f ( y ) siempre que $x\; \backslash \; el\; sim\; y,$ entonces el $de\; la\; función\; \backslash \; el\; overline\; inducidos\; \{f\}:\; M\; \backslash \; sim\; \backslash \; longrightarrow\; X$, dado por el =f del $\backslash \; del\; overline\; \{f\}\; ()\; (x)$, es un $del\; mapa\; \backslash \; un\; overline\; métricos\; \{f\}:\; (M\; \backslash \; sim,\; d\text{'})\; \backslash \; longrightarrow\; (,\; \backslash \; delta\; de\; X).$

Ver también

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