En el análisis complejo, el robusto p del ^{del H de los espacios (o las clases robustas ) es ciertos espacios de funciones olomorfas en el disco de unidad o el plano de la mitad superior. Fueron introducidos por el Frigyes Riesz, que los nombró para el G. robusto, debido a el papel. En espacios robustos del verdadero del análisis son ciertos espacios de las distribuciones en la línea verdadera, que son (más o menos) valores límites de las funciones olomorfas de los espacios robustos complejos, y se relacionan con los espacios del Lp del análisis funcional . Para 1< el <&infin del p ; estos el robusto verdadero p} del ^{del H de los espacios es esencialmente igual que el L p} del ^{de, mientras que para el &le del p ; 1 el L espacios del p} del ^{de tiene algunas características indeseables, y los espacios robustos se comportan mucho mejor.}

Hay también generalizaciones dimensionales más altas, consistiendo en ciertas funciones olomorfas en dominios del tubo en el caso complejo, o ciertos espacios de distribuciones en el n del ^{del R en el caso verdadero.}

Espacios robustos para el disco de unidad

Para los espacios de las funciones olomorfas en el disco abierto de la unidad, el robusto H ² del espacio consiste en el f de las funciones cuyo valor de media cuadrada en el círculo del r del radio sigue siendo finito como &rarr del r ; 1 de debajo.

Más generalmente, robusto espacio H ^p para

Para

Usos

Tales espacios tienen un número de usos en el análisis matemático sí mismo, y también a la teoría de control y a la teoría de dispersión . Un H ² del espacio puede sentarse naturalmente dentro de un L espacio de ² como parte “causal”, por ejemplo representado por las secuencias infinitas puestas en un índice por el N, donde el L ² consiste en las secuencias BI-infinitas puestas en un índice por el Z .

Facturización

Para el $p\; \backslash \; el\; geq\; 1$, cada $f\; de\; la\; función\; \backslash \; en\; H^p$ se puede escribir como el f del producto = el Gh donde está una función el G externa del y el h es una función interna del, según lo definido abajo.

Uno dice que el h ( z ) es una función (interior) interna si y solamente si $|h\; (z)|\backslash \; leq\; 1$ en el disco de la unidad y el límite $del$

l \ lim_ {r \ rightarrow 1^-} h (re^ {i \ theta})

existe para el casi todo el $\backslash \; theta$ de y su módulo es igual a 1.

Uno dice que el G ( z ) es una función (exterior) externa si toma el $G\; del\; de\; la\; forma\; (z)=\; \backslash \; exp\; \backslash \; se\; fue\; \backslash \; int\_0^\; \{2\; \backslash \; los\; pi\}\; \backslash \; frac\; \{e^\; \{i\; \backslash \; theta\}\; +z\}\; \{e^\; \{i\; \backslash \; theta\}\; -\; z\}\; g\; (e^\; \{i\; \backslash \; theta\})\; d\; \backslash \; theta\; \backslash ]$ derecho para un cierto $verdadero\; del\; valor\; \backslash ,\; \backslash \; phi$ y un cierto con valores reales g ( z ) de la función que es integrable en el círculo de unidad.

La función interna se puede descomponer en factores más a fondo en una forma que implica un producto de Blaschke.

Espacios robustos para el plano de la mitad superior

Es posible definir espacios robustos en otros dominios que el disco, y en muchos espacios robustos de los usos en a se utiliza el mitad-plano complejo (generalmente el mitad-plano o la parte superior derecho - media - plano). Ver, por ejemplo, el libro citado de Hoffman.

El robusto p del ^{del H del espacio en el plano de la mitad superior se define para ser el espacio del olomorfo F de las funciones en el plano de la mitad superior tales que el $\backslash \; internacional\; del\; |F\; (x+iy)|^pdx$ se limita sobre todo el y >0. La cuasi-norma robusta ||F||el caballo de fuerza del del _{se define para ser la raíz del th del p del supremum sobre el y >0.}}

Espacios robustos verdaderos para el n del ^{del R}

En análisis en el verdadero n , el robusto p del del R del espacio de vector del ^{del H del espacio (para 0< el &le del p ; ∞) consiste en el f de las distribuciones tales que para algún &Phi de la función de Schwartz; con el ∫ Φ = 1, el $del\; de\; la\; función\; máxima\; (M\_\; \backslash \; phi\; f)\; (x)=\; \backslash \; sup\_\; \{t>0\}|(f*\; \backslash \; Phi\_t)\; (x)|$ está en el L p} del de, donde * es la circunvolución y el Φ t ( x ) del = ^{&minus del t ; n} Φ ( x / t ).

Si 1< &le del p ; ∞ entonces el robusto p del ^{del H del espacio es esencialmente igual que el L p} del ^{de . Cuando es el p =1, el robusto H 1 del espacio un subespacio apropiado del L 1, y su dual es el espacio de fucntions de la oscilación mala limitada . Si p <1 entonces el espacio robusto El p} del ^{del H tiene elementos que no sean funciones, y su dual es el espacio homogéneo de Lipschitz del n (1 &minus de la orden del p ; 1).}

El p -quasinorm del ^{del H || f ||el caballo de fuerza del del _{de un f de la distribución del p}} del ^{del H se define para ser el L norma del p} del ^{de del _{&Phi del M ; f de} . (Esto depende de la opción del Φ, solamente diversas opciones de Schwartz funcionan Φ dar las normas equivalentes.) En realidad este Quasinorm no es una norma en el sentido generalmente de los espacios de Banach para el p <1 como no es subadditive, pero todavía a menudo se llama una norma. La energía del th del p || f ||el p} de los caballos de fuerza ^{del del _{es subadditive para el &le del p ; 1 y define tan un métrico en el robusto p}} del ^{del H del espacio, que define la topología y hace el p} del ^{del H en un espacio métrico completo. (Advirtiendo: si el p} del ^{del H del p <1 entonces es el no al espacio de Banach, como || f ||el p} de los caballos de fuerza ^{del del _{no es una norma: no es homogéneo del grado 1.)}}

Limitado función f de compacto ayuda es en robusto espacio H ^p si y solamente si todo el su momento

$\backslash \; internacional\; f\; (x)\; x\_1^\; \{i\_1\}\; \backslash \; cdots\; x\_n^\; \{\}\; \backslash ,\; del\; i\_n\; dx$ de quién i ₁+ de la orden… + el n del _{del i es a lo más el n (1 &minus del p ; 1) desaparece. Si además el f tiene ayuda en un cierto B de la bola y se limita cerca | B |^{− 1 f del p} entonces se llaman un H^p-atom . Por otra parte cualquier elemento del p del ^{del H tiene una descomposición atómica como suma infinita convergente de Hp-atoms.}}

Ver también

infinito H del

.

Zenithic

Kenzo Oshima

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