En la topología y las áreas relacionadas de las matemáticas un espacio topológico se llama el separable si contiene un subconjunto denso contable ; es decir, un sistema con un número contable de elementos cuyo encierro es el espacio entero. Esta condición es típica de los espacios que se resuelven en partes clásicas del análisis matemático y de la geometría . De la misma manera que cualquier número verdadero se puede aproximar a cualquier exactitud especificada por los números racionales un espacio separable tiene cierto subconjunto contable con el cual todos sus elementos puedan ser acercados, en el sentido de un límite matemático .
Los espacios separables son espacios topológicos con cierta limitación en su tamaño. La característica de la posibilidad de separación se enumera a menudo como uno de los axiomas del countability . Desde punto de vista axiomático una posibilidad de separación fue fruncida el ceño algo sobre en el período 1940 a el &mdash 1960; donde había estado previamente básica a la teoría determinada descriptiva . Posteriormente el péndulo hecho pivotar detrás, y los libros de textos elegirían más a menudo admitir la posibilidad de separación, probando teoremas menos generales (esta actitud fue adoptada, por ejemplo, por el Jean Dieudonné ). Por ejemplo tomando el espacio de Hilbert del para significar un espacio de Hilbert complejo de la dimensión y del infinitos separable, hay un tal espacio hasta isomorfismo (hay una teoría categórica, por lo menos si nuestra teoría de los números verdaderos es categórica). Esto es una convención útil para la discusión, por lo menos. El uso posible de los espacios de Hilbert inseparables en la física teórica ha provocado un cierto discusión poco concluyente.
La posibilidad de separación es especialmente importante en el análisis numérico y las matemáticas constructivas, puesto que muchos teoremas que se pueden probar para los espacios inseparables tienen pruebas constructivas solamente para los espacios separables. Tales pruebas constructivas se pueden dar vuelta en los algoritmos para el uso en análisis numérico, y son las únicas clases de pruebas aceptables en análisis constructivo. Un ejemplo famoso de un teorema de esta clase es el teorema de Hahn-Banach.
Ejemplos
El espacio discreto A es separable si y solamente si es contable. Dado cualquier no numerable D, uno del espacio discreto puede formar un nuevo X del espacio agregando un p del punto y usando la topología particular del punto; los sistemas abiertos en el X son ∪ del U { p }, con el U se abren en el D . Entonces el X es separable, pero tiene un subespacio que no sea separable.
los números verdaderos es separable; tienen los números racionales como subconjunto denso contable. Más generalmente, el n del del R del espacio euclidiano es separable, pues el sistema de todos los puntos con coordenadas racionales es denso. el espacio de las funciones continuas en el intervalo de unidad con el métrico de la convergencia uniforme tiene un subconjunto denso de los polinomios (éste es el teorema de la aproximación de Weierstrass). Puede ser demostrado que cualquier espacio de Banach separable es isométrico isomorfo a un subespacio linear cerrado de este espacio, por el teorema de Banach-Mazur. un ejemplo de un espacio separable que no sea segundo-contable es el R llt, el sistema de números verdaderos equipados de la topología de un límite más bajo. la topología del producto en el sistema de todas las funciones (no no necesario continuas) de la línea verdadera a sí mismo es un espacio de Hausdorff separable . Este espacio tiene 2 '' c '' de la cardinalidad, demostrando que los espacios separables pueden todavía ser algo " large". Sin embargo, para los espacios de Hausdorff separables ésta es la cardinalidad posible más grande. Observar que este espacio no es el primero-contable. la topología trivial en fijado es separable puesto que cualquier Singleton es denso. Esto demuestra que quitando el requisito de Hausdorff en el ejemplo anterior podemos conseguir espacios separables con cardinalidad arbitrariamente grande. el ordinal no numerable ω1 en su topología de la orden no es separable. la imagen continua de un espacio separable es separable. Sigue que la posibilidad de separación es una característica topológica preservada por el Homeomorphisms que también sigue que cada cociente de un espacio separable es separable. cada producto contable de espacios separables es separable. Los productos arbitrarios de espacios separables no necesitan ser separables. A separable, X del espacio de Hausdorff tiene la cardinalidad inferior o igual 2 '' c '' (donde está la cardinalidad el c de los números verdaderos ). Si el X es también el primero-contable entonces su cardinalidad es inferior o igual el c . el sistema de todas las funciones continuas con valores reales en un espacio separable tiene una cardinalidad inferior o igual un c . Esto sigue puesto que tales funciones son determinadas por sus valores en subconjuntos densos. cada espacio Segundo-contable es separable. .
El espacio de Hilbert A es separable si y solamente si tiene una base ortonormal contable.
Características
El subespacio A de un espacio separable no necesita ser separable (véase el Sorgenfrey plano y el Moore plano), sino que cada subespacio abierto del de un espacio separable es separable. También cada subespacio de un espacio métrico separable es separable.
El espacio métrico A es separable si y solamente si es el segundo-contable y si y solamente si es Lindelöf . Random links: Daines Barrington | Midgard Lite | Microburst | Matchbook | Graham Goodlad