En las matemáticas, especialmente la geometría diferenciada, un espacio simétrico Riemannian es un múltiple Riemannian conectado, cuyo grupo de Isometry contiene el " symmetries" (definido abajo) sobre cada punto. Los espacios simétricos Riemannian son una clase especial de espacios homogéneos Riemannian (es decir de los espacios homogéneos con una estructura geométrica Riemannian adicional).

Los espacios simétricos Riemannian se presentan en una gran variedad de situaciones en matemáticas y la física. Primero fueron estudiados extensivamente y clasificados por el Élie Cartan .

Definiciones básicas

Dejar el M ser un múltiple y un Riemannian conectados p al punto del M . Un f del mapa definido en una vecindad del p reputa una simetría geodésica, si fija el p del punto e invierte la geodesia a través de ese punto. Actúa necesario mientras que $-\; \backslash \; el\; mathrm\; \{identificación\}$ en el espacio de tangente del p . Observar que el f no necesita generalmente ser isométrico, ni puede en general ser extendido para ser definido en todo el M .

El M reputa el localmente simétrico Riemannian si sus simetrías geodésicas son de hecho isométricas. En virtud de la versión local del teorema de los Cartan-Ambrose-Catetos, el M está localmente simétrico Riemannian si y solamente si su tensor de la curvatura de es el covariantly constante.

El M reputa el (global) simétrico Riemannian si está localmente simétrico Riemannian y sus simetrías geodésicas se definen en todo el M . Debido a la versión global del teorema de los Cartan-Ambrose-Catetos, cualquier simplemente conectado, espacio simétrico Riemannian completo localmente es realmente simétrico Riemannian.

Ejemplos

Los ejemplos más obvios de espacios simétricos Riemannian son el espacio euclidiano, los espacios descriptivos de las esferas y los espacios hiperbólicos cada uno con su métrico Riemannian natural. Más ejemplos son proporcionados por los grupos de mentira compactos, semi-simples equipados de un métrico Riemannian BI-invariante.

Hay muchos espacios localmente simétricos que no son espacios simétricos. Los ejemplos son subconjuntos abiertos de espacios simétricos y cocientes de espacios simétricos al lado de los grupos de isometries sin puntos fijos.

Cualquie superficie compacta de Riemann del género mayor de 1 (con su métrico generalmente del &minus constante de la curvatura; 1) es un espacio localmente simétrico pero no un espacio simétrico.

Hechos elementales

Cualquier simétrico Riemannian M del espacio es el completo y Riemannian homogéneo (significado que el grupo isometry del M actúa transitivo en el M ). De hecho, el componente neutral del grupo isometry actúa ya transitivo en el M (porque el M está conectado).

La transición de la geometría a la álgebra: Descripción vía grupos de mentira

Además de la vista de un espacio simétrico Riemannian tomado arriba, a saber de un múltiple Riemannian con una característica específica, hay otro, una visión más algebraica de espacios simétricos Riemannian. La transición entre estas dos opiniónes ahora se describe: Dejar el M ser un espacio simétrico Riemannian y dejar el G denotar el componente neutral del grupo isometry del M ; El G se puede demostrar para ser un grupo de mentira Semi-simple . Pues el M es homogéneo Riemannian, el G actúa transitivo en el M, y por lo tanto, si fijamos un cierto o del punto del M (llamado el origen del M en este contexto), el M es diffeomorphic al G/K del cociente, donde el K denota el grupo de la isotropía de la acción del G en el M en el o . Denotamos por el g el métrico Riemannian inducido en el G/K del M vía esto diffeomorphy. Por otra parte, si denotamos por los $s:\; M\; \backslash \; a\; M$ la simetría geodésica del M en el origen, el $del\; mapa\; \backslash \; sigma:\; G\; \backslash \; a\; G,\; f\; \backslash \; mapsto\; s\; \backslash \; circ\; f\; \backslash \; circ\; s$ es un automorfismo involutivo del grupo de mentira tales que el K del grupo de la isotropía está contenido entre el F del grupo del punto fijo del $\backslash \; sigma$ y de su componente neutral. Ahora el " data" algebraico; $(G,\; \backslash \; sigma,\; g)$ de K contiene toda la información que sea necesaria reconstruir el simétrico Riemannian M del espacio.

Para describir el proceso por el cual esta reconstrucción es alcanzada, es decir la revocación de la construcción precedente, suponemos que cualquie $delconjunto\; de\; datos(se\; da\; G,\; \backslash \; sigma,\; g)$ de K, donde está haber conectado el G, grupo de mentira semi-simple, el K es un subgrupo compacto de la mentira del G, el $\backslash \; sigma$ es un automorfismo involutivo del grupo de mentira en el G tales que el K está contenido entre el F del grupo del punto fijo del $\backslash \; sigma$ y de su componente neutral, y el g es un métrico Riemannian en el M del espacio de cociente: = G/K (que lleva una estructura diferenciable debido a la compacticidad del K ). En este M del ajuste es un múltiple Riemannian, y para cualquier p del punto en el M, dice el p = FK con un cierto f en el G, el $s\_p\; del\; mapa:\; M\; \backslash \; a\; M,\; f\text{'}K\; \backslash \; mapsto\; f\; \backslash \; cdot\; \backslash \; sigma\; (el\; f\text{'})\; del\; f^\; \{-\; 1\}\; \backslash \; el\; cdot\; K$ es isometry bien definido con el $s\_p\; (p)=p$ y s_p del $d\_p\; =\; -\; \backslash \; \_\; del\; mathrm\; \{identificación\}\; \{T\_pM\}$, por lo tanto $s\_p$ es la simetría geodésica del M en el p . Esto demuestra que el M se convierte en de hecho un espacio simétrico Riemannian.

Si uno comienza con un simétrico Riemannian M del espacio, y entonces realiza estas dos construcciones en orden, después el espacio simétrico Riemannian rendido es isométrico el original. Esto demuestra a eso el " data" algebraico; $(G,\; \backslash \; sigma,\; g)$ de K describe de hecho la estructura del simétrico Riemannian M del espacio adentro por completo.

Estructura y clasificación

Como Élie Cartan descubierto en 1913, la descripción algebraica de los espacios simétricos Riemannian dados en la sección precedente permite una clasificación completa de los espacios simétricos Riemannian.

Dejar un simétrico Riemannian M del espacio ser dado, y el $(G,\; \backslash \; sigma,\; g)$ de K los datos algebraicos asociados a él. Queremos clasificar las clases isometry posibles del M .

Primero, el múltiple universal de la cubierta de un espacio simétrico Riemannian es otra vez simétrico Riemannian, y el mapa de la cubierta es descrito dividiendo el G por un subgrupo de su centro. Por lo tanto podemos suponer sin la pérdida de generalidad que el M está conectado simplemente. Esto hace el G ser conectada simplemente y el K que se conectará.

Un espacio simétrico Riemannian simplemente conectado reputa el irreducible si no es el producto de espacios simétricos dos o más riemannian. Puede entonces ser demostrado que cualquier espacio simétrico Riemannian simplemente conectado es el producto los irreducibles. Por lo tanto podemos restringirnos más lejos a clasificar los espacios simétricos Riemannian irreducibles, simplemente conectados.

El paso siguiente es demostrar que el simétrico Riemannian irreducible, simplemente conectado M del espacio está de cualquiera de los tres tipos siguientes:

1. Tipo euclidiano : El M tiene curvatura vanishing, y es por lo tanto isométrico a un espacio euclidiano. Tipo compacto : El M tiene curvatura seccional positiva. Tipo no compacto : El M tiene curvatura seccional negativa.

Los espacios del tipo euclidiano son descritos totalmente por el hecho de que son isométricos a un espacio euclidiano. Por lo tanto permanece clasificar los espacios simétricos Riemannian irreducibles, simplemente conectados del tipo compacto, respectivamente de tipo no compacto.

En el siguiente, describimos la clasificación para el tipo compacto; para el tipo no compacto, las declaraciones análogas se sostienen. Los espacios simétricos Riemannian irreducibles, simplemente conectados del tipo compacto entran en dos categorías:

a. El G es haber conectado simplemente, grupo de mentira simple del acuerdo;

b. El M sí mismo es un acuerdo, grupos de mentira simples simplemente conectados, equipados de un métrico Riemannian BI-invariante, en este caso el G no es simple, por el contrario tenemos $G\; =\; M\; \backslash \; épocas\; M$ y $K$ es la diagonal en este producto.

Del tipo b, hay el $de\; los\; grupos\; de\; mentira\; \backslash \; el\; mathrm\; clásicos\; \{TAN\}\; (n)$, $\backslash \; mathrm\; \{SU\}\; (n)$, $\backslash \; mathrm\; \{SP\}\; (n)$, así como cinco el excepcional E₆, E₇, E₈, F₄, G₂ de los grupos de mentira . (Para los detalles de esta clasificación, ver el grupo de mentira simple .)

En el caso de tipo un G es simplemente haber conectado, un acuerdo, un grupo de mentira simple, y por lo tanto el que está de los grupos citados en el párrafo precedente. Por otra parte, el K iguala el componente neutral del grupo del punto fijo del $\backslash \; sigma$ de la involución. Por lo tanto es suficiente clasificar los automorfismos involutivos de cada uno de los grupos de mentira simples compactos (hasta la conjugación); cada tal automorfismo dará lugar a un espacio simétrico Riemannian de tipo compacto.

De esta manera, Cartan encontró que hay las siete series infinitas siguientes y doce espacios simétricos Riemannian excepcionales del tipo A. Aquí se dan como G/K de los espacios de cociente, junto con una interpretación geométrica, si son fácilmente disponibles. Los nombres de estos espacios fueron asignados por Cartan.

Espacios y holonomy simétricos

Suponer que el componente conectado del grupo de Holonomy de un múltiple Riemannian en un punto actúa irreducibly en el espacio de tangente. Entonces o el múltiple es un espacio localmente simétrico, o está en una de las familias 7.

Espacios simétricos hermitianos

Un espacio simétrico Riemannian que se equipa además de una estructura compleja paralela compatible con el métrico Riemannian se llama un espacio simétrico hermitiano . Algunos ejemplos son espacios de vector complejos y espacios descriptivos complejos, ambos con su métrico Riemannian generalmente, y las bolas de unidad complejas con métricas convenientes de modo que se conviertan en simétricos completo y Riemannian.

En la clasificación de los espacios simétricos Riemannian, puede ser leído fácilmente de cuáles de los espacios son de hecho simétricos hermitiano. En los casos compactos y no compactos resulta que hay cuatro series infinitas, a saber AIII, BDI con el p=2, DIII y CII, y dos espacios excepcionales, a saber EIII y EVII. Los espacios simétricos hermitianos no compactos se pueden observar como dominios limitados en espacios de vector complejos.

Extensiones del concepto

El concepto de un espacio simétrico Riemannian puede ser generalizado substituyendo el métrico Riemannian por un métrico Pseudo-Riemannian (es decir levantando el requisito que el métrico sea definido positivo), de tal modo obteniendo los espacios simétricos pseudo-Riemannian . Un ejemplo es el 1 hyperboloid cubierto en el espacio plano de Lorentz.

Espacios simétricos, es decir espacios simétricos pseudo-Riemannian de Lorentzian del de la firma 1, aparecer de vez en cuando en la relatividad general, notablemente espacio de De Sitter y espacio Anti de Sitter (curvado positivamente y negativamente, respectivamente), aunque la mayoría de los spacetimes interesantes no son espacios simétricos.

El espacio Anti de Sitter se utiliza en la correspondencia AdS/CFT entre la teoría de la secuencia y la teoría de campo de Quantum .

Debe ser observado que la clasificación de espacios simétricos pseudo-Riemannian es mucho más complicada que la de espacios simétricos Riemannian, y solamente las cajas específicas se han tratado ahora. La razón principal de esto es que el grupo isometry de un espacio simétrico pseudo-Riemannian no es necesario semi-simple, y por lo tanto uno no puede basar una clasificación en la clasificación sabida de los grupos de mentira semi-simples.

Un concepto aún más general es el de un afina el espacio simétrico . Aquí el multíple M se equipa solamente de un derivado de la covariante; llamamos el M afinamos simétrico, si sus simetrías geodésicas son todas global definidas y afinan mapas.

Lectura adicional

Kobayashi, Nomizu, fundaciones del de la geometría diferenciada, volumen II . El capítulo XI contiene una buena introducción a los espacios simétricos Riemannian.
Helgason, geometría diferenciada del, grupos de mentira, y espacios simétricos . El libro estándar en espacios simétricos Riemannian.
Retretes, espacios simétricos del I: Teoría general .
Retretes, espacios simétricos del II: Espacios y clasificación compactos .
Besse, ISBN 0-387-15279-2 de los múltiples de Einstein del .

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