El T de la colección se llama una topología en el X, y los elementos del X se llaman los puntos del . Bajo esta definición, los sistemas en el T son el abierto de los sistemas del, y sus complementos en de X son los sistemas cerrados de . Por la convención, la unión de la colección vacía es el sistema vacío, y la intersección de la colección vacía es el X . Utilizan a una convención pues estas declaraciones son verdades solamente vacuo, así que el inverso se podría considerar igualmente para ser verdad.

Ejemplos de

Definiciones equivalentes

Hay muchas otras maneras equivalentes de de definir un espacio topológico. (Es decir cada uno del siguiente define una categoría equivalente a la categoría de espacios topológicos arriba.) Por ejemplo, usar las leyes de De Morgan, los axiomas que definen sistemas abiertos sobre los axiomas convertidos que definen sistemas cerrados:

el sistema vacío y el X es cerrado.

Usar estos axiomas, otra manera de definir un espacio topológico está como X del sistema junto con un T de la colección de subconjuntos del X que satisface los axiomas siguientes:

el sistema vacío y el X está en el T .

Bajo esta definición, los sistemas en el T de la topología son los sistemas cerrados, y sus complementos en el X son los sistemas abiertos.

Otra manera de definir un espacio topológico está usando los axiomas del encierro de Kuratowski, que definen los sistemas cerrados como los puntos fijos de un operador en la energía determinado de X.

Una vecindad de un x del punto se fija que contenga un que contiene determinado abierto x . El sistema de la vecindad del en el x consiste en todas las vecindades del x . Una topología se puede determinar por un sistema de axiomas referentes a todos los sistemas de la vecindad.

Una red es una generalización del concepto de la secuencia . Una topología es totalmente resuelta si para cada red en el X el sistema de sus puntos de acumulación se especifica.

Comparación de topologías

considera también: Comparación las topologías Una variedad de topologías se pueden poner en un sistema para formar un espacio topológico. Cuando cada sistema en un T ₁ de la topología está también en un T ₂ de la topología, decimos que el T ₂ es el un '' más fino '' que el T ₁, y el T ₁ es el un '' más grueso '' que el T ₂. Una prueba que confía solamente en la existencia de ciertos sistemas abiertos también se sostendrá para cualquier topología más fina, y una prueba que confía solamente en ciertos sistemas que no están abiertos se aplica semejantemente a cualquier topología más gruesa. El un más grande de los términos y el un más pequeño se utilizan a veces en lugar de más fino y de más grueso, respectivamente. El un más fuerte de los términos y el un más débil también se utilizan en la literatura, pero con poco acuerdo en el significado, así que uno debe siempre estar seguro de la convención de un autor al leer.

La colección de todas las topologías en un fijo dado X del sistema forma un el enrejado completo : si F = {_{&alpha del T ;} : α en A} está una colección de topologías en el X, después la reunión F es la intersección del F, y el ensambla del F es la reunión de la colección de todas las topologías en el X que contengan a cada miembro del F .

Funciones continuas

Una función entre los espacios topológicos reputa el continuo si la imagen inversa de cada sistema abierto está abierta. Esto es una tentativa de capturar la intuición que no hay " breaks" o " separations" en la función. Un homeomorfismo es un Bijection que es continuo y cuyo inverso es también continuo. Dos espacios reputan el homeomórfico si existe un homeomorfismo entre ellos. Del punto de vista de la topología, los espacios homeomórficos son esencialmente idénticos.

En teoría de la categoría, el superior, la categoría de los espacios topológicos con los espacios topológicos como se opone y funciones continuas pues el Morphisms es una de las categorías fundamentales en matemáticas. La tentativa de clasificar los objetos de esta categoría (hasta homeomorfismo) por los invariants ha motivado y los campos de investigación enteros generados, tales como teoría homotopy, teoría de la homología, y K-teoría, para nombrar apenas algunos.

Ejemplos de espacios topológicos

Un sistema dado puede tener muchas diversas topologías. Si un sistema se da una diversa topología, se ve como diverso espacio topológico. Fijado puede ser dado la topología discreta en la cual cada sistema está abierto. Las únicas secuencias o redes convergentes en esta topología son las que son eventual constante. También, fijado puede ser dado la topología trivial (también llamado la topología homogénea), en la cual solamente el sistema vacío y el espacio entero están abiertos. Cada secuencia y red en esta topología converge a cada punto del espacio. Este ejemplo demuestra que en espacios topológicos generales, los límites de secuencias no necesitan ser únicos.

Hay muchas maneras de definir una topología en el R, el sistema de los números verdaderos que la topología estándar en el R es generada por los intervalos abiertos. Los intervalos abiertos forman una base o la base para la topología, significando que cada sistema abierto es una unión de básico abre sistemas. Más generalmente, el n del ^{del R de los espacios euclidianos se puede dar una topología. En la topología generalmente en el n} del ^{del R los sistemas abiertos básicos son las bolas abiertas semejantemente, el C y el C n tiene una topología estándar en la cual los sistemas abiertos básicos sean bolas abiertas.}

Cada espacio métrico se puede dar una topología métrica, en la cual los sistemas abiertos básicos son bolas abiertas definidas por el métrico. Ésta es la topología estándar en cualquier espacio de vector de Normed . En un espacio de vector finito-dimensional esta topología es igual para todas las normas.

Muchos sistemas de los operadores en el análisis funcional se dotan con las topologías que son definidas especificando cuando una secuencia de funciones particular converge a la función cero.

Cualquier campo local tiene un natural de la topología a él, y esto se puede ampliar a los espacios de vector sobre ese campo.

Cada múltiple tiene una topología natural puesto que es localmente euclidiano. Semejantemente, cada a una cara y cada Simplicial complejo hereda una topología natural del R ⁿ.

La topología de Zariski se define algebraico en el espectro de un anillo o de una variedad algebraica . En el n del ^{del R o el n} del ^{del C, los sistemas cerrados de la topología de Zariski son los sistemas de la solución de sistemas de ecuaciones polinómicas .}

Un gráfico linear tiene una topología natural que generalice muchos de los aspectos geométricos de los gráficos con cimas y bordes.

El espacio de Sierpiński es el espacio topológico no trivial, no-discreto más simple. Tiene relaciones importantes a la teoría del cómputo y de la semántica.

Existen las topologías numerosas en cualquier dado el sistema finito . Tales espacios se llaman los espacios finitos topológicos finitos de los espacios son de uso frecuente proporcionar ejemplos o contraejemplos a las conjeturas sobre espacios topológicos en general.

El sistema infinito se puede dar la topología de Cofinite en la cual los sistemas abiertos son el sistema vacío y los sistemas cuyo complemento es finito. Ésta es la topología más pequeña T₁ en sistema infinito.

Un sistema no numerable se puede dar la topología de Cocountable, en la cual un sistema se define para estar abierto si es o vacia o su complemento es contable. Esta topología sirve como contraejemplo útil en muchas situaciones.

La línea verdadera se puede también dar la topología de un límite más bajo. Aquí, los sistemas abiertos básicos son el medio '' b '' de los intervalos abiertos). Esta topología en ''' del ''' R es terminantemente más fina que la topología euclidiana definida arriba; una secuencia converge a un punto en esta topología si y solamente si converge de antedicho en la topología euclidiana. Este ejemplo demuestra que un sistema puede tener muchas topologías distintas definidas en él.

Si Γ es un número ordinal, después el &Gamma del sistema; = puede ser dotado con [[topología de la orden] generado por los intervalos ( un,   b ), y ('' a '',   Γ) donde están elementos '' a '' y '' b '' del Γ.

Construcciones topológicas

Cada subconjunto de un espacio topológico se puede dar la topología del subespacio en la cual los sistemas abiertos son las intersecciones de los sistemas abiertos del espacio más grande con el subconjunto. Para cualquier puesto en un índice la familia de espacios topológicos, el producto se puede dar la topología del producto, que es generada por las imágenes inversas de los sistemas abiertos de los factores debajo de los mappings de la proyección . Por ejemplo, en productos finitos, una base para la topología del producto consiste en todos los productos de sistemas abiertos. Para los productos infinitos, hay el requisito adicional que en un sistema abierto básico, todos sino finito muchas de sus proyecciones es el espacio entero.

Se define un espacio de cociente como sigue: si es el X un espacio topológico y un Y es un sistema, y si el f :   del X ; →   El Y es una función surjective, después la topología del cociente en el Y es la colección de subconjuntos del Y que tengan imágenes inversas abierto bajo f . Es decir la topología del cociente es la topología más fina en el Y para el cual el f es continuo. Un ejemplo común de una topología del cociente es cuando una relación de equivalencia se define en el X del espacio topológico. El f del mapa es entonces la proyección natural sobre el sistema de las clases de la equivalencia

La topología de Vietoris del en el sistema de todos los subconjuntos no vacíos de un X del espacio topológico, nombrados para el Leopold Vietoris, es generada por la base siguiente: para cada n - el U ₁ del tuple,…, el n del _{del U de sistemas abiertos en el X, construimos un sistema de la base que consiste en todos los subconjuntos de la unión del i} del _{del U que tengan intersección no vacía con cada i} del _{del U .}

Clasificación de espacios topológicos

Los espacios topológicos se pueden clasificar amplio, hasta homeomorfismo de, por sus características topológicas . Una característica topológica es una característica de espacios que es invariante debajo de homeomorphisms. Para probarla que dos espacios no son homeomórficos es suficiente encontrar una característica topológica cuál no es compartido por ellos. Los ejemplos de tales características incluyen la conexión, la compacticidad, y los varios axiomas de separación

Ver el artículo sobre las características topológicas para más detalles y ejemplos.

Espacios topológicos con la estructura algebraica

Para cualquier objeto algebraico podemos introducir la topología discreta, bajo la cual las operaciones algebraicas son funciones continuas. Para cualquier estructura que no sea finita, tenemos a menudo una topología natural que sea compatible con las operaciones algebraicas en el sentido que las operaciones algebraicas son todavía continuas. Esto lleva a los conceptos tales como anillos topológicos de los grupos de vector topológico topológico de los espacios y campos locales

Espacios topológicos con la estructura de la orden

. Un espacio es el espectral si y solamente si es el espectro primero de un anillo (teorema de Hochster ).