En el campo matemático de la topología, un espacio del uniforme del es un determinado con una estructura uniforme . Los espacios uniformes son los espacios topológicos con la estructura adicional que se utiliza para definir las características uniformes tal como lo completo, continuidad uniforme y convergencia uniforme .

La diferencia conceptual entre el uniforme y las estructuras topológicas está ésa en un espacio uniforme, usted puede formalizar ciertas nociones de la proximidad relativa y de la proximidad de puntos. Es decir las ideas tienen gusto del " el x es más cercano a un que el y está al " del b ; tener sentido en espacios uniformes. Por la comparación, en un espacio topológico general, dado el A de los sistemas, B es significativo decir que un x del punto es el arbitrariamente cercano al A (es decir, en el encierro de A), o quizás ese A es una vecindad más pequeña x que el B, pero las nociones de la proximidad de puntos y de la proximidad relativa no son descritas bien por la estructura topológica solamente.

Los espacios uniformes generalizan los espacios métricos y los grupos topológicos y por lo tanto son la base la mayor parte de del análisis .

Definición

Hay tres definiciones equivalentes para una estructura uniforme.

Definición de la comitiva

Un espacio ( X, Φ) del uniforme del es un determinado X equipado de una familia no vacía de los subconjuntos de los × del X del producto de cartesiano ; X (Φ se llama la estructura uniforme o la uniformidad del X y de sus comitivas ( francés del de los elementos: vecindades o alrededores del )) eso satisface los axiomas siguientes: el

si el U está en Φ, después el U contiene el diagonal Δ = {(el x, el x ): &isin del x ; X }.

si el U está en Φ y el V es un subconjunto de × del X ; El X que contiene el U, después V está en

de Φ si el U y el V está en Φ, después el V del ∩ del U está en

de Φ si el U está en Φ, después existe el V en Φ tales que, siempre que (el x, el y ) y (el y, el z ) estar en el V, después (el x, el z ) está en el U .

si el U está en Φ, entonces el U ^-1 = {(el y, el x ): ( x, y ) en el U } está también en Φ

Si se omite la característica pasada llamamos el quasiuniform del espacio.

Uno escribe generalmente el U = {el y : ( x, y ) U del ∈}. En un gráfico, una comitiva típica se dibuja como gota que rodea el " y = " del x ; diagonal; el U ' s es entonces las secciones representativas verticales. Si ( x, y ) el U, uno del ∈ dice que el x y el y son U-cierran . Semejantemente, si todos los pares de puntos en un A del subconjunto del X son el U - cercano (es decir, si los × del A ; El A se contiene en el U ), el A se llama el U-pequeño . Un U de la comitiva es el simétrico si (el x, el y ) ∈ U exacto cuando ( x, y ) ∈ U . El primer axioma indica que cada punto es el U - cercano a sí mismo para cada U de la comitiva. El tercer axioma garantiza eso que es " ambo U - cercano y V - close" está también una relación de la proximidad en la uniformidad. El cuarto axioma indica que para cada U de la comitiva hay un V de la comitiva que es " medio como large". Finalmente, el axioma del último indica el " esencialmente simétrico de la característica; closeness" con respecto a una estructura uniforme.

Un sistema fundamental del de las comitivas de una uniformidad Φ es cualquier B del sistema de comitivas de Φ tales que cada comitiva de Ф contiene un sistema que pertenece al B . Así, al lado de la característica 2 arriba, los sistemas fundamentales del B de las comitivas son bastantes para especificar la uniformidad Φ inequívoco: Φ es el sistema de subconjuntos de × del X ; X que contiene un sistema del B . Cada espacio uniforme tiene un sistema fundamental de comitivas que consisten en comitivas simétricas.

La intuición correcta sobre uniformidades es proporcionada por el ejemplo de los espacios métricos si (el X, el d ) es un espacio métrico, = \ {del de U_a del $del\; de\; los\; sistemas\; (x,\; y)\; \backslash \; en\; X\; \backslash \; épocas\; X|d\; (x,\; y)\; \backslash \; leq\; a\; \backslash \}\; \backslash \; patio\; \backslash \; texto\; \{donde\}\; \backslash \; patio\; a>0$ formar un sistema fundamental de comitivas para la estructura uniforme estándar del X . Entonces el x y el y son del _{del U al} -close exacto cuando la distancia entre el x y el y es a lo más un .

Una uniformidad Φ es el un más fino que otra uniformidad Ψ en el mismo sistema si el ⊇ Ψ de Φ; en ese caso Ψ reputa el un más grueso que Φ.

Definición de Pseudometrics

Los espacios uniformes se pueden definir alternativo y equivalente usar sistemas del pseudometrics, un acercamiento que sea particularmente útil en el análisis funcional (con el pseudometrics proporcionado por el Seminorms . Más exacto, dejar el f : El R del → del X del × del X sea un pseudometric en un X del sistema. El del _{del U de las imágenes inversas un} = ^{del f - 1} () para el > 0 se puede demostrar para formar un sistema fundamental de comitivas de una uniformidad. La uniformidad generó por el del _{del U que un} es la uniformidad definió por el solo pseudometric f .

Para una familia ( i del del _{del f ) de pseudometrics en el X, la estructura uniforme definida por la familia es el que menos límite superior de las estructuras uniformes definió por el individual f i del pseudometrics. Un sistema fundamental de comitivas de esta uniformidad es proporcionado por el sistema de intersecciones finitas del de las comitivas de las uniformidades definidas por el individual i} del _{del f del pseudometrics. Si la familia de pseudometrics es el finito, puede ser visto que la misma estructura uniforme es definida por un solo pseudometric, a saber el superior i} del _{del f del sorbo del sobre del de la familia.}

Menos trivial, puede ser demostrado que una estructura uniforme que admite que un sistema fundamental contable de comitivas (y por lo tanto particularmente una uniformidad definida por una familia contable de pseudometrics) se puede definir por un solo pseudometric. Una consecuencia es que el cualquier estructura uniforme de se puede definir como arriba por la familia de a (posiblemente no numerable) de pseudometrics (véase Bourbaki: Capítulo general de la topología IX §1 No.

Definición uniforme de la cubierta

Un espacio ( X, Θ ) del uniforme del es un X del sistema equipado de una familia distinguida del Θ de las cubiertas del uniforme del del sistema de cubiertas del X, formando un filtro cuando es ordenado por el refinamiento de la estrella. Uno dice que el P de la cubierta es un refinamiento de la estrella del del Q de la cubierta, escrito el Q del <* del P, si para cada P del ∈ del A, hay un Q del ∈ del U tales que si ≠ø del B del ∩ del A, P, entonces U del ∈ del B del ⊆ del B . Axiomático, esto reduce a:

{X} es una cubierta uniforme.

Si el Q del <* del P y el P es una cubierta uniforme, después el Q es también una cubierta uniforme.

Si el P y el Q es cubiertas uniformes, después hay un uniforme R de la cubierta que estrella-refina el P y el Q .

Dado un x del punto y un uniforme P, uno de la cubierta puede considerar a la unión de los miembros del P que contienen el x como vecindad típica del x del " del tamaño; " del P ;, y esta medida intuitiva se aplica uniformemente sobre el espacio.

Dado un espacio uniforme en el sentido de la comitiva, definir un P de la cubierta para ser uniforme si hay un cierto U de la comitiva tales que para cada X del ∈ del x, hay un P del ∈ del A tales que el A del ⊆ del U . Estas cubiertas del uniforme forman un espacio uniforme como en la segunda definición. Inversamente, dado un espacio uniforme en el sentido uniforme de la cubierta, los sobreconjuntos del ∪ {× del A ; A : El P del ∈ del A }, pues el P se extiende sobre las cubiertas uniformes, es las comitivas para un espacio uniforme como en la primera definición. Por otra parte, estas dos transformaciones son lo contrario de uno a.

Topología de espacios uniformes

Cada uniforme X del espacio se convierte en un espacio topológico definiendo un O del subconjunto del X para estar abierto si y solamente si para cada x en el O existe un V de la comitiva tales que el V es un subconjunto del O . En esta topología, el filtro de la vecindad de un x del punto está {el V : V∈Φ}. Esto se puede probar con un uso recurrente de la existencia de un " mitad-size" comitiva. Comparado a un espacio topológico general la existencia de la estructura uniforme hace posible la comparación de tamaños de vecindades: El V y el V se consideran estar del " el mismo size".

La topología definida por una estructura uniforme reputa el inducido por la uniformidad . Una estructura uniforme en un espacio topológico es el compatible con la topología si la topología definida por la estructura uniforme coincide con la topología original. En general varias diversas estructuras uniformes pueden ser compatibles con una topología dada en el X .

Espacios de Uniformizable

Un espacio topológico se llama el uniformizable si hay una estructura uniforme compatible con la topología.

Cada espacio uniformizable es un espacio topológico totalmente regular . Por otra parte, porque un uniformizable X del espacio los siguientes son equivalentes:
El X es un espacio de Kolmogorov
El X es un espacio de Hausdorff
El X es un espacio de Tychonoff
para cualquier estructura uniforme compatible, la intersección de todas las comitivas es la diagonal {(el x, el x ): x en el X }.

La topología de un espacio uniformizable es siempre una topología simétrica ; es decir, el espacio es un R₀-space .

Inversamente, cada espacio totalmente regular es uniformizable. Una uniformidad compatible con la topología de un X del espacio totalmente regular se puede definir como la uniformidad más gruesa que hace todas las funciones con valores reales continuas en el X uniformemente continuas. Un sistema fundamental de comitivas para esta uniformidad es proporcionado por todas las intersecciones finitas de los sistemas (× del f ; f ) ^-1 ( V ), donde está el f una función con valores reales continua en el X y el V es una comitiva del uniforme espacia el R . Esta uniformidad define una topología, que es claramente más gruesa que la topología original del X ; que es también más fina que la topología original (por lo tanto coincide con ella) es una consecuencia simple de la regularidad completa: para cualquie X del ∈ del x y un V de la vecindad del x, hay un con valores reales continuo f de la función con el f ( x ) =0 e igual a 1 en el complemento del V .

Particularmente, un espacio de Hausdorff del acuerdo es uniformizable. De hecho, para un compacto X del espacio de Hausdorff el sistema de todas las vecindades de la diagonal en × del X ; Forma del X la uniformidad única del compatible con la topología.

Un espacio uniforme de Hausdorff es el metrizable si su uniformidad se puede definir por una familia contable del de pseudometrics. De hecho, como discutido sobre, tal uniformidad se puede definir por un solo pseudometric, que es necesario un métrico si el espacio es Hausdorff. Particularmente, si la topología de un espacio de vector es Hausdorff y definible al lado de una familia contable de Seminorms es metrizable.

Continuidad uniforme

Similares a las funciones continuas entre los espacios topológicos que preservan las características topológicas, son las funciones continuas del uniforme entre los espacios uniformes, que preservan características uniformes. Los espacios uniformes con los mapas uniformes forman una categoría . Un isomorfismo entre los espacios uniformes se llama un isomorfismo del uniforme.

Una función uniformemente continua se define como una donde están otra vez comitivas las imágenes inversas de comitivas, o equivalente, una donde están otra vez cubiertas las imágenes inversas de cubiertas uniformes uniformes.

Las funciones todo uniformemente continuas son continuas con respecto a las topologías inducidas.

Lo completo

Generalizando la noción del espacio métrico completo, uno puede también definir lo completo para los espacios uniformes. En vez del trabajo con las secuencias de Cauchy uno trabaja con los filtros de Cauchy (o las redes de Cauchy.

Un F del filtro de Cauchy del en un uniforme X del espacio es un F del filtro tales que para cada U de la comitiva, existe el F del ∈ del A con los × del A ; U DEL ⊆ DEL A . Es decir un filtro es Cauchy si contiene el " arbitrariamente small" sistemas. Sigue de las definiciones que cada filtro que converge (con respecto a la topología definida por la estructura uniforme) es un filtro de Cauchy. Un filtro de Cauchy se llama el mínimo si contiene (es decir, más grueso) un filtro no más pequeño de Cauchy (con excepción de sí mismo). Puede ser demostrado que cada filtro de Cauchy contiene un filtro mínimo de Cauchy del único. El filtro de la vecindad de cada punto (el filtro que consiste en todas las vecindades del punto) es un filtro mínimo de Cauchy.

Inversamente, un espacio uniforme se llama el completo si converge cada filtro de Cauchy. Cualquier espacio de Hausdorff del acuerdo es un espacio uniforme completo con respecto a la uniformidad única compatible con la topología.

El espacio uniforme completo disfruta de la característica importante siguiente: si f : El Y del → del A es una función uniformemente continua del de un denso A del subconjunto del de un uniforme X del espacio en un uniforme completo Y del espacio del, después el f puede ser extendido (únicamente) en una función uniformemente continua en todo el X .

Terminación de Hausdorff de un espacio uniforme

Como con los espacios métricos, cada uniforme X del espacio tiene una terminación de Hausdorff del : es decir, existe un uniforme completo Y del espacio de Hausdorff y un uniformemente continuo i del mapa: Y del → del X con la característica siguiente:

l para cualquie de trazado uniformemente continuo f del X en un uniforme completo Z del espacio de Hausdorff, hay un uniformemente continuo único g del mapa: Z del → del Y tales que f = soldado enrollado en el ejército del .

El Y de la terminación de Hausdorff es único hasta isomorfismo. Como sistema, el Y se puede tomar para consistir en los filtros mínimos del Cauchy en el X . Como el B ( x ) del filtro de la vecindad de cada x del punto en el X es un filtro mínimo de Cauchy, el i del mapa puede ser definido trazando el x al B ( x ). El i del mapa definido así está en el general no inyectivo; de hecho, el gráfico del i ( x ) de la relación de equivalencia = el i ( x ') es la intersección de todas las comitivas del X, y el i es así inyectivo exacto cuando el X es Hausdorff.

La estructura uniforme en el Y se define como sigue: para cada simétrico V (es decir, tal de la comitiva del que (el x, el y ) está en el V exacto cuando (el y, el x ) está en el V ), dejar el C ( V ) sea el sistema de todos los pares ( F, G ) de mínimo de los filtros de Cauchy que tengan en campo común por lo menos un V-pequeño sistema . El C ( V ) de los sistemas se puede demostrar para formar un sistema fundamental de comitivas; El Y se equipa de la estructura uniforme definida así.

El i ( X ) del sistema es entonces un subconjunto denso del Y . Si el X es Hausdorff, después el i es un isomorfismo sobre el i ( X ), y el X se puede identificar así con un subconjunto denso de su terminación. Por otra parte, el i ( X ) es siempre Hausdorff; se llama el espacio uniforme de Hausdorff del asociado al X de . Si el R denota el i ( x ) de la relación de equivalencia = el i ( x '), después el X / R del espacio de cociente es homeomórfico al i ( X ).

Ejemplos

cada espacio métrico ( M, d ) se puede considerar como espacio uniforme. De hecho, puesto que un métrico es el por mayor razón al pseudometric, la definición pseudometric suministra el M con una estructura uniforme. Un sistema fundamental de comitivas de esta uniformidad es proporcionado por el $de\; sets$
\ el qquad U_a = = \ {del d^ {- 1} () (m, n) \ en M \ las épocas M|d (m, n) \ leq a \}. la estructura uniforme de
This en el M genera la topología generalmente del espacio métrico en el M . Sin embargo, diversos espacios métricos pueden tener la misma estructura uniforme (el ejemplo trivial es proporcionado por un múltiplo constante de un métrico). Esta estructura uniforme produce también definiciones equivalentes de la continuidad del uniforme y de lo completo para los espacios métricos .

Usar métrica, un ejemplo simple de estructuras uniformes distintas con topologías que coinciden puede ser construido. Por ejemplo, dejar el d ₁ ( x, y ) = | &minus del x; y | ser el métrico generalmente en el R y dejar el d ₂ ( x, y ) = | &minus del e^x; e^y |. Entonces ambas métricas inducen la topología generalmente en el R, con todo las estructuras uniformes son distintas, desde {(x, y): | &minus x; y | < 1} es una comitiva en la estructura uniforme para el d ₁ pero no para el d ₂. Informal, este ejemplo se puede considerar como tomar la uniformidad generalmente y torcerla con la acción de una función continua con todo non-uniformly continua.

Cada topológico G del grupo (particularmente, cada espacio de vector topológico ) se convierte en un espacio uniforme si definimos un V del subconjunto de los × de G del ; G a ser una comitiva si y solamente si contiene el sistema {(el x, el y ): ^{&minus del y del ⋅ del x ; 1} en el U } para un cierto U de la vecindad del elemento de identidad del G . Esta estructura uniforme en el G se llama la uniformidad de la derecha del en el G, porque para cada un en el G, el correcto del ⋅ del x del → del x de la multiplicación un es el uniformemente continuo con respecto a esta estructura uniforme. Uno puede también definir una uniformidad izquierda en el G ; los dos no necesitan coincidir, pero ambos generan la topología dada en el G .

Historia

Antes de que el André Weil diera la primera definición explícita de una estructura uniforme en el 1937, los conceptos uniformes, como lo completo, fueron discutidos usar los espacios métricos . El Nicolás Bourbaki proporcionó la definición de la estructura uniforme en términos de comitivas en el Topologie Générale del libro y el Juan Tukey dio la definición uniforme de la cubierta. Weil también caracterizó espacios uniformes en términos de familia de pseudometrics.

Ver también

Isomorfismo uniforme
Característica uniforme
Espacio haber conectado uniformemente
Espacio métrico completo
Continuidad uniforme

.

Zenithic

Bishop Westcott Boys' School

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