En las matemáticas y la física, particularmente en la teoría de los espinores ortogonales de los grupos están ciertas clases de objetos matemáticos auxiliares introducidos para ampliar la noción del vector espacial . Son necesarias porque la estructura completa de las rotaciones en un número dado de dimensiones requiere un cierto número adicional de dimensiones exhibirlo.

¡Más formalmente, los espinores se pueden definir como objetos geométricos construidos de un espacio de vector dado dotado con una forma cuadrático por medio de una cuantificación algebraica o procedimiento. El grupo de la rotación actúa sobre el espacio de espinores, pero para una ambigüedad en la muestra de la acción. Los espinores forman así una representación descriptiva del grupo de la rotación. Uno puede quitar esta ambigüedad de la muestra mirando el espacio de espinores mientras que la representación de grupo (linear) de a de la vuelta del grupo de la vuelta (n). En este punto de vista alternativo, muchas de las características intrínsecas y algebraicas de espinores son más claramente visibles, pero la conexión con la geometría espacial original es más obscura. Por una parte el uso de los escalares del número complejo se puede guardar a un mínimo.

Históricamente, los espinores en general fueron descubiertos por el Élie Cartan en el 1913 . Más adelante, los espinores fueron adoptados por los mecánicos de Quantum para estudiar las características del ímpetu angular intrínseco del electrón y otros espinores de los fermios disfrutan hoy de una amplia gama de los usos de la física. Clásico, los espinores en tres dimensiones se utilizan para describir la vuelta del electrón no relativista. Vía la ecuación de Dirac, los espinores de Dirac se requieren en la descripción matemática del estado de Quantum del electrón relativista . En la teoría de campo de Quantum, los espinores describen el estado de los sistemas relativistas de la mucho-partícula.

En matemáticas, particularmente en la geometría diferenciada y la geometría algebraica, los espinores tienen desde usos amplios encontrados a la teoría del índice, a la geometría simpléctica, a la teoría del calibrador, a la geometría algebraica compleja, al análisis global, y al la topología diferenciada algebraica de y.

Descripción

En la geometría clásica del espacio, un vector exhibe cierto comportamiento cuando es actuado sobre por una rotación o reflejado en un hiperplano. Sin embargo, en cierto sentido las rotaciones y las reflexiones contienen una información geométrica más fina que puede ser expresado en términos de sus acciones en vectores. Los espinores son objetos construidos para abarcar más completamente esta geometría. (Véase el enredo de la orientación.)

Hay esencialmente dos armazones para ver la noción de un espinor.

Uno es la representación teórico. En este punto de vista, uno sabe el a priori que hay algunas representaciones de la álgebra de mentira del grupo ortogonal que no se puede formar por las construcciones generalmente del tensor. Estas representaciones que falta entonces se etiquetan las representaciones de la vuelta del, y sus espinores del de los componentes. En esta visión, un espinor debe pertenecer a una representación de la cubierta del doble del grupo ASÍ QUE (n, R ), o generalizó más generalmente el grupo ortogonal especial TAN (p, q, R ) de la rotación en espacios con la firma métrica (p, q). Este doble-cubre son los grupos de mentira, llamados los grupos de la vuelta la vuelta de (p, q). Todas las características de espinores, y sus usos y objetos derivados, se manifiestan primero en el grupo de la vuelta.

El otro punto de vista es geométrico. Uno puede construir explícitamente los espinores, y después examina cómo se comportan bajo acción de los grupos de mentira relevantes. Este 3ultimo acercamiento tiene la ventaja de poder decir exacto cuál es un espinor, sin la invocación de un cierto teorema non-constructive de la teoría de la representación. La teoría de la representación debe complementar eventual la maquinaria geométrica una vez que este 3ultimo llega a ser demasiado poco manejable.

Álgebra de Clifford

considera también:

la álgebra de Clifford

La lengua de las álgebra de Clifford ref>Named para el W. proporciona un cuadro completo de las representaciones de la vuelta de todos los grupos de la vuelta, y las varias relaciones entre esas representaciones, vía la clasificación de las álgebra de Clifford. Quita la necesidad de construcciones ad hoc del, introduciendo un tipo de la álgebra geométrica .

Usar las características de las álgebra de Clifford, es entonces posible determinar el número y el tipo de todos los espacios irreducibles de espinores. En esta visión, un espinor es un elemento de la representación fundamental del n ( C ) del ℓ _{del C de la álgebra de Clifford sobre los números complejos (o, más generalmente, del p, q} ( R ) del ℓ _{del C sobre los reals). Se pone en algunos casos de manifiesto que los espinores parten en componentes irreducibles bajo acción de la vuelta ( p, q ). ¡persona que desea saber cuáles es un espinor. -->}

Detalladamente, si el V es un espacio de vector complejo finito-dimensional con el bilineario nondegenerate g de la forma, la álgebra de Clifford es la álgebra, ℓ del C ( V, g ), generado por el V junto con el de la relación de anticommutation xy + yx del = 2 el g ( x, y ). Es una versión abstracta de la álgebra generada por las matrices gammas o las matrices de Pauli. El n ( C ) del ℓ _{del C de la álgebra de Clifford es algebraico isomorfo a la estera de la álgebra (2 ^k , C ) 2 ^{de los × del k} ; 2 ^{matrices complejas del k} , si el n = amortigua (el V ) = 2 el k ; o el &oplus de la estera de la álgebra (2 ^k , C ); Estera (2 ^k , C ) de dos copias 2 ^{de los × del k} ; 2 ^{matrices del k} , si el n = amortigua (el V ) = 2 el k + 1. Por lo tanto hace una representación irreducible única denotar comúnmente por Δ del k de la dimensión 2^{. Cualquier representación irreducible es, por definición, un espacio de los espinores llamados una representación de la vuelta.}}

El subalgebra de los subproductos atravesados álgebra de Clifford de un número par de vectores en el V contiene el tan ( V, g ) de la álgebra de mentira del grupo ortogonal como subalgebra de la mentira. Por lo tanto, Δ es una representación del tan ( V, g ). Si el n es impar, esta representación es irreducible. Si el n es uniforme, parte otra vez en dos representaciones irreducibles el ⊕ Δ_- de Δ = de Δ₊ llamado el mitad-hace girar las representaciones .

Las representaciones irreducibles en el caso cuando el V es un espacio de vector verdadero son mucho más intrincadas, y el lector se refieren el artículo de la álgebra de Clifford para más detalles.

Terminología en la física

El tipo más típico de espinor, el espinor de Dirac del, es un elemento de la representación fundamental de la álgebra complexified Cℓ (p, q) de Clifford, en la cual la vuelta del grupo de la vuelta (p, q) puede ser encajada. En 2 un k - o 2 espacio del k +1-dimensional un espinor de Dirac se puede representar como vector 2 ^{de los números complejos k} (véase el grupo unitario especial .) En incluso dimensiones, esta representación es el reducible cuando está tomado como representación de la vuelta (p, q) y puede ser descompuesto en dos: las representaciones zurdas y derechas del espinor de Weyl del . Además, la versión no-complexified de Cℓ (p, q) tiene a veces una representación verdadera más pequeña, la representación del espinor del Majorana del . Si esto sucede en incluso una dimensión, la representación del espinor del Majorana se descompondrá a veces en dos representaciones del espinor del majorana-Weyl del .

De todo el éstos, solamente la representación de Dirac existen en todas las dimensiones. Los espinores de Dirac y de Weyl son representaciones complejas mientras que los espinores del Majorana son representaciones verdaderas.

Espinores en teoría de la representación

considera también:

la representación del espinor

Un uso matemático importante de la construcción de espinores es hacer posible la construcción explícita de las representaciones lineares de las álgebra de mentira de los grupos ortogonales especiales y por lo tanto de las representaciones de los grupos ellos mismos del espinor. En un nivel más profundo, los espinores se han encontrado para estar en el corazón de acercamientos al teorema del índice, y para proporcionar construcciones particularmente para las representaciones discretas de la serie de los grupos de Semisimple

Historia

La forma matemática más general de espinores fue descubierta por el Élie Cartan en el 1913 . El " de la palabra; spinor" fue acuñado por el Paul Ehrenfest en su trabajo sobre la física de Quantum .

Los espinores primero fueron aplicados a la física matemática por el Wolfgang Pauli en el 1927, cuando él introdujo las matrices de vuelta . El año siguiente, Paul Dirac descubrió completamente la teoría relativista de la vuelta del electrón demostrando la conexión entre los espinores y el grupo de Lorentz. Por los años 30, Dirac, el Piet Hein y otros en el instituto de Niels Bohr crearon juegos tales como Tangloids del para enseñar y para modelar al cálculo de espinores.

Ejemplos

Algunos ejemplos simples importantes de espinores en dimensiones bajas se presentan de considerar los subalgebras uniforme-calificados del p, q ( R ) del ℓ _{del C de la álgebra de Clifford. Esto es una álgebra aumentada de una base ortonormal del n = el p + los vectores mutuamente ortogonales del q bajo la adición y multiplicación, p cuyo tener la norma +1 y q cuyo tener &minus de la norma; 1, con la regla del producto para los vectores de la base = \ cebada bigg del _j del e_i. e de la < matemáticas > del}

l . \ {\ comenzar {matriz} +1 y, \, del i=j i \ adentro (\ \ de 1 \ ldots p) -1 y, \, del i=j i \ adentro (p+1 \ de los ldots n) \ \ - e_i del e_j y i \ no = j \ extremo {matriz}

Dos dimensiones

El C ℓ_2,0 ( R ) de la álgebra de Clifford se aumenta de una base de un escalar de la unidad, de 1, dos vectores de unidad ortogonales, del σ ₁ del y del σ ₂ del, y de un seudoescalar i de la unidad = el σ ₂ del del σ ₁ del . De las definiciones arriba, es evidente que ( del σ ₁ del ) ² = (el ₂ del σ de ) ² = 1, y (el σ ₂) (σ ₂ del del σ ₁ del del del σ ₁ del ) = - el σ σ ₂ del del σ ₁ del del σ ₁ del ₂ = -1.

Incluso el C ℓ⁰_2,0 ( R ) del subalgebra, atravesado por los elementos uniforme-calificados de la base de del C ℓ_2,0 ( R ), determina el espacio de espinores vía sus representaciones. Se compone de combinaciones lineares verdaderas de 1 y del σ ₂ del del σ ₁ del . Como álgebra verdadera, Cℓ⁰_2,0 ( R ) es isomorfo al campo del C de los números complejos . Consecuentemente, admite una operación de la conjugación (análoga a la conjugación compleja ), a veces llamada el revés del de un elemento de Clifford, definido por el ^* del $del\; (a+b\; \backslash \; sigma\_1\; \backslash \; sigma\_2)\; =\; a+b\; \backslash \; sigma\_2\; \backslash \; sigma\_1\; \backslash ,$. cuál, por las relaciones de Clifford, se puede escribir el ^* del $del\; (a+b\; \backslash \; sigma\_1\; \backslash \; sigma\_2)\; =\; a+b\; \backslash \; sigma\_2\; \backslash \; sigma\_1\; =\; el\; a-b\; \backslash \; sigma\_1\; \backslash \; sigma\_2\; \backslash ,$.

La acción incluso de un C ℓ⁰_2,0 del ∈ del elemento γ de Clifford en vectores, mirada como elementos calificados 1 de Cℓ_2,0, es determinada trazando un general u del vector = un σ del de _{1 1} + un σ ₂ del de ₂ al $\backslash \; a\; la\; gamma\; del\; del\; vector\; (u)\; =\; \backslash \; gamma\; u\; \backslash \; gamma^*\; \backslash ,$, donde está γ^* la conjugación de γ, y el producto es multiplicación de Clifford. En esta situación, un espinor es un número complejo ordinario. La acción de γ en un φ del espinor es dada por la multiplicación compleja ordinaria: = \ gamma \ phi del $\backslash \; de\; la\; gamma\; del\; (\backslash \; phi)\; \backslash ,$.

Una característica importante de esta definición es la distinción entre los vectores ordinarios y los espinores, manifestados en cómo los elementos uniforme-calificados actúan en cada uno de ellos en maneras diferentes. Un cheque rápido de las relaciones de Clifford revela generalmente que los elementos uniforme-calificados conjugar-conmutan con vectores ordinarios: $\backslash \; gamma\; del\; (u)\; =\; \backslash \; gamma\; u\; \backslash \; =\; \backslash \; gamma^2\; u\; del\; gamma^*\; \backslash ,$. Por una parte, comparando con la acción en los espinores γ (φ) = γφ, γ en vectores ordinarios actúa como el cuadrado del de su acción en espinores.

Considerar, por ejemplo, la implicación que esto tiene para las rotaciones planas. La rotación de un vector con un ángulo del θ corresponde a γ² = exp (θ σ ₁σ₂), de modo que la acción correspondiente en espinores esté vía γ = el ± exp (θ σ ₁σ₂/2). Generalmente debido a el de ramificación logarítmico, es imposible elegir una muestra de una manera constante. Así la representación de plano-rotaciones en espinores es two-valued.

En usos de espinores en dos dimensiones, es común explotar el hecho de que la álgebra de los elementos uniforme-calificados (que es apenas el anillo de números complejos) es idéntica al espacio de espinores. Así pues, por el abuso de la lengua, los dos son combinados a menudo. Uno puede entonces hablar del " la acción de un espinor en un vector." En un ajuste general, tales declaraciones son sin setido. Pero en las dimensiones 2 y 3 (según lo aplicado, por ejemplo, a los gráficos de computadora ) tienen sentido.

; los ejemplos El
uniforme-calificado del
del
del elemento $de\; \backslash \; gamma\; =\; \backslash )\; sigma\_1\; \backslash \; sigma\_2\; \backslash ,\; 1\; -\; del\; tfrac\; \{1\}\; \{\backslash raíz\; cuadrada\{2\}\}\; (\backslash \; el$
de corresponde a una rotación del vector de el 90° de &sigma del ; ₁ alrededor hacia &sigma del ; ₂, que puede estar comprobado por confirmando que

$\backslash \; el\; tfrac\; \{1\}\; \{2\}\; (1)\; sigma\_1\; \backslash \; sigma\_2\; \backslash ,\; -\; \backslash \; \backslash \; \{a\_1\; \backslash \; sigma\_1+a\_2\; \backslash \; sigma\_2\; \backslash \}\; \backslash ,\; (1\; -\; \backslash \; sigma\_2\; \backslash \; sigma\_1)\; =\; a\_1\; \backslash \; sigma\_2\; -\; a\_2\; \backslash \; sigma\_1\; \backslash ,$
de corresponde a una rotación del espinor solamente de 45°, al menos: ) sigma_1 \ sigma_2 \, 1 - del $\backslash \; del\; tfrac\; del\; \{1\}\; \{\backslash \; raíz\; cuadrada\; \{2\}\}\; (\backslash \; \backslash \; \{a\_1+a\_2\; \backslash \; sigma\_1\; \backslash \; sigma\_2\; \backslash \}\; =\; \backslash \; frac\; \{a\_1+a\_2\}\; \{\backslash \; raíz\; cuadrada\; \{2\}\}\; +\; \backslash \; frac\; \{-\; a\_1+a\_2\}\; 2\}\}\; \backslash \; sigma\_1\; \backslash \; sigma\_2$ {\ raíz cuadrada {

semejantemente el uniforme-calificado γ del elemento = - el σ ₂ del del σ ₁ del corresponde a una rotación del vector de 180°: del
$(-\; \backslash \; sigma\_1\; \backslash \; sigma\_2)\; \backslash ,\; \backslash \; \{a\_1\; \backslash \; sigma\_1\; +\; a\_2\; \backslash \; sigma\_2\; \backslash \}\; \backslash ,\; (-\; \backslash \; sigma\_2\; \backslash \; sigma\_1)\; =\; -\; a\_1\; \backslash \; sigma\_1\; -\; a\_2\; \backslash \; sigma\_2\; \backslash ,$
de pero una rotación del espinor de el solamente 90°:

$()\; sigma\_1\; \backslash \; sigma\_2\; \backslash ,\; -\; \backslash \; \backslash \; \{a\_1\; +\; a\_2\; \backslash \; sigma\_1\; \backslash \; sigma\_2\; \backslash \}$

a_2 - a_1 \ sigma_1 \ sigma_2

Continuando encendido más lejos, el uniforme-calificado γ del elemento = -1 corresponde a una rotación del vector de 360°: del
$(-\; 1)\; \backslash ,\; \backslash \; \{a\_1\; \backslash \; sigma\_1+a\_2\; \backslash \; sigma\_2\; \backslash \}\; \backslash ,\; (-\; 1)\; =\; a\_1\; \backslash \; sigma\_1+a\_2\; \backslash \; sigma\_2\; \backslash ,$
de pero una rotación del espinor de 180°.

Tres dimensiones espinores principales de los artículos del del de

en tres dimensiones, Quaternions y la rotación espacial El C ℓ_3,0 ( R ) de la álgebra de Clifford se aumenta de una base de un escalar de la unidad, de 1, tres vectores de unidad ortogonales, del σ ₁ del, del σ ₂ del y del σ ₃ del, tres del σ ₂ del del σ ₁ del de los bivectors de la unidad, del σ ₃ del del σ ₂ del, del σ ₁ del del σ ₃ del y del seudoescalar i = el σ ₃ del del σ ₂ del del σ ₁ del . Es directo demostrar eso (el σ ₁ del ) ² = (el σ ₂ del ) ² = (el σ ₃ del ) ² = 1, y (σ ₂ del del σ ₁ del ) ² = (σ ₃ del del σ ₂ del ) ² = (σ ₁ del del σ ₃ del ) ² = (σ ₃ del del σ ₂ del del σ ₁ del ) ² = -1.

La secundario-álgebra de elementos uniforme-calificados se compone de las dilataciones escalares, = \ rho^ del $u^\; del\; \{\backslash \; prima\}\; \{(el\; 1/2)\}\; u\; \backslash \; rho^\; \{(el\; 1/2)\}\; =\; \backslash \; rho\; u,$ y = \ gamma del $u^\; del\; de\; las\; rotaciones\; del\; vector\; \{\backslash \; prima\}\; \backslash ,\; u\; \backslash ,\; \backslash \; gamma^*,$ donde el $del\; \backslash \; se\; fue.\; \backslash \; comienzan\; \{matriz\}\; \backslash \; gamma\; y\; =\; y\; \backslash \; lechuga\; romano\; (\backslash \; theta/2)\; -\; \backslash \; \{a\_1\; \backslash \; sigma\_2\; \backslash \; sigma\_3\; +\; a\_2\; \backslash \; sigma\_3\; \backslash \; sigma\_1\; +\; a\_3\; \backslash \; sigma\_1\; \backslash \; sigma\_2\; \backslash \}\; \backslash \; pecado\; (\backslash \; theta/2)\; \backslash \; \backslash \; y\; =\; y\; \backslash \; lechuga\; romano\; (\backslash \; theta/2)\; -\; i\; \backslash \; \{a\_1\; \backslash \; sigma\_1\; +\; a\_2\; \backslash \; sigma\_2\; +\; a\_3\; \backslash \; sigma\_3\; \backslash \}\; \backslash \; pecado\; (\backslash \; theta/2)\; \backslash \; \backslash \; y\; =\; y\; \backslash \; lechuga\; romana\; (\backslash \; theta/2)\; -\; i\; v\; \backslash \; pecado\; (\backslash \; theta/2)\; \backslash \; extremo\; \{matriz\}\; \backslash derecho\backslash \}$ (1) corresponde a una rotación del vector a través de un θ ángulo sobre un eje definido por un v del vector de unidad = el un σ del de _{1 1} + un σ del de _{2 2} + un σ ₃ del de ₃

Como caso especial, es fácil ver que si el v = el σ ₃ del esto reproduce la rotación del σ ₂ del del σ ₁ del considerada en la sección anterior; y que tal rotación deja los coeficientes de vectores en la dirección del σ ₃ del invariantes, desde

$(\backslash \; lechuga\; romano\; (\backslash \; theta/2)\; -\; i\; \backslash \; sigma\_3\; \backslash \; pecado\; (\backslash \; theta/2))\; \backslash ,\; \backslash \; sigma\_3\; \backslash ,\; (\backslash \; lechuga\; romana\; (\backslash \; theta/2)\; +\; i\; \backslash \; sigma\_3\; \backslash \; pecado\; (\backslash \; theta/2))$

(\ cos^2 (\ theta/2) + \ sin^2 (\ theta/2)) \, \ sigma_3 \ sigma_3.

El σ ₃ del del σ ₂ del de los bivectors, el σ ₁ del del σ ₃ del y el σ ₂ del del σ ₁ del son de hecho el i de Quaternions del de Hamilton, el j y el k, descubierto en 1843:

$\backslash \; comienzan\; \{\}\; \backslash \; mathbf\; \{i\}\; dela\; matriz=\; -\; \backslash \; sigma\_2\; \backslash \; sigma\_3\; =\; -\; i\; \backslash \; sigma\_1\; \backslash \; \backslash \; \backslash \; mathbf\; \{j\}\; =\; -\; \backslash \; sigma\_3\; \backslash \; sigma\_1\; =\; -\; i\; \backslash \; sigma\_2\; \backslash \; \backslash \; \backslash \; mathbf\; \{k\}\; =\; -\; \backslash \; sigma\_1\; \backslash \; sigma\_2\; =\; -\; i\; \backslash \; sigma\_3\; \backslash \; extremo\; \{matriz\}$

Con la identificación de los elementos uniforme-calificados con el H de la álgebra de quaternions, como en el caso de dos-dimensiones la única representación de la álgebra de elementos uniforme-calificados está en sí mismo. Así los espinores (verdaderos) en tres-dimensiones son quaternions, y la acción de un elemento uniforme-calificado en un espinor es dada por la multiplicación quaternionic ordinaria.

Observar que la expresión (1) para una rotación del vector a través de un θ del ángulo, el ángulo que aparecía en γ fue partida en dos. Así la rotación γ (ψ) del espinor = γψ (multiplicación quaternionic ordinaria) girará el ψ del espinor con de la medida del ángulo una una mitad del ángulo de la rotación correspondiente del vector. De nuevo, el problema de levantar una rotación del vector a una rotación del espinor es two-valued: la expresión (1) con (180° + θ/2) en lugar de θ/2 producirá la misma rotación del vector, pero la negativa de la rotación del espinor.

La representación del espinor/del quaternion de rotaciones en 3D está llegando a ser cada vez más frecuente en geometría de la computadora y otros usos, debido a la brevedad notable de la matriz de vuelta correspondiente, y la simplicidad con la cual pueden ser multiplicadas juntas para calcular el efecto combinado de rotaciones sucesivas sobre diversas hachas.

Construcciones explícitas

Un espacio de espinores se puede construir explícitamente. Para un ejemplo completo en la dimensión 3, ver los espinores en tres dimensiones . Hay dos diferentes, pero esencialmente equivalente, maneras de proceder. Un acercamiento intenta identificar los ideales mínimos para la acción izquierda del Cl ( V, g ) del en sí mismo. Éstos son subespacios de la álgebra de Clifford del ω del Cl ( V, g ) del de la forma, admitiendo la acción evidente del Cl ( V, g ) del por la izquierdo-multiplicación: c: ω de la CX → del ω del x . Hay dos variaciones en este tema: uno puede cualquier encontrar un ω del elemento primitivo que sea un elemento Nilpotent de la álgebra de Clifford, o uno que es un idempotente . La construcción vía elementos nilpotent es más fundamental en el sentido que un idempotente se puede entonces producir de él. De esta manera, las representaciones del espinor se identifican con ciertos subespacios de la álgebra de Clifford sí mismo. El segundo acercamiento es construir un espacio de vector usar un subespacio distinguido del V, y después especifica la acción del externamente de la álgebra de Clifford a ese espacio de vector.

En cualquier acercamiento, la noción fundamental es la de un isotrópico W del subespacio . Cada construcción depende de una libertad inicial en elegir este subespacio. En términos físicos, esto corresponde al hecho de que no hay protocolo de la medida que puede especificar una base del espacio de la vuelta, incluso si una base preferred del V se da ya.

Como arriba, dejamos (el V, el g ) seamos un n - espacio de vector dimensional equipado de una forma bilinearia nondegenerate. Si el V es un espacio de vector verdadero, después substituimos el V por su C del ⊗ del V de la complejación y dejamos el g denotar la forma bilinearia inducida en el C R del ⊗ _{del V . Dejar el W ser un subespacio máximo del V tales que el g | W} =0 del _{, (es decir, el W es un subespacio isotrópico máximo). Si el n = 2 el k es uniforme, después dejar el &prime del W ; ser el espacio isotrópico único complementario al W . Si el n = 2 el k +1 es impar, después dejar el u sea un vector de unidad fija complementario al W, y &prime del W ; el subespacio isotrópico único complementario al u del ⊕ del W .}

Ideales mínimos

El isotrópico W del espacio tiene k de la dimensión, y (puesto que es isotrópica) la multiplicación de elementos del W dentro del Cl ( V, g ) del es el oblicuo. Por lo tanto, el k - doblar el producto del W consigo mismo, W ^k, es unidimensional. Dejar el ω ser un generador del W ^k. En términos de base del W, w ₁,…, el w _k, una posibilidad es fijar el $\backslash \; omega=w\_1w\_2\; \backslash \; puntos\; w\_k.$ del

Observar que ω² = 0 (es decir, el ω es nilpotent de la orden 2), y por otra parte, ω del w = 0 para todo el W del ∈ del w . Los hechos siguientes se pueden probar fácilmente: Si el n = 2 el k, entonces el ideal izquierdo Δ = ω del Cl ( V, g ) del es un ideal izquierdo mínimo. Además, esto parte en los dos espacios de la vuelta Δ₊ = el Cl ^evenω y Δ_- = Cl ^oddω del del en la restricción a la acción incluso de la álgebra de Clifford.

Si el n = 2 el k +1, entonces la acción del u del vector de unidad en el ω ideal izquierdo del Cl ( V, g ) del descompone el espacio en un par de eigenspaces irreducibles isomorfos (ambos denotados por Δ), correspondiendo al respectivo de los valores propios +1 y -1.

Detalladamente, suponer por ejemplo que el n es uniforme. Suponer que ese I es un ideal izquierdo diferente a cero contenido en ω del Cl ( V, g ) del . Demostraremos que ese I debe de hecho ser igual al ω del Cl ( V, g ) del probando que contiene un múltiplo escalar no-evanescente del ω.

Fijar un w _i de la base del W y de un complementario w _i&prime de la base; del &prime del W ; de modo que w _j&prime del w _i del ; + ' _j&prime de w; de w _i = 2δ _ij, y
( _i&prime de w;)² = 0.

Observar que cualquier elemento del de I debe tener el αω de la forma, en virtud de nuestra suposición que ω del del Cl del ⊂ del de I ( de V, de g). Dejar el del ∈ I del αω ser cualquier elemento. Usar la base elegida, podemos escribir $del$

l \ alfa = \ ^ del w_ del a_ del sum_ {i_1 del ^ \ de la prima del w_ de los puntos {i_p}

donde están los un _{i1… ip} los escalares, y el _j de B son elementos auxiliares de la álgebra de Clifford. Escoger cualquier monomio un en esta extensión del α que tiene grado homogéneo máximo entre el _i&prime de los elementos w;: $a\; del\; =\; ^\; del\; w\_\; del\; a\_\; \{i\_1\; \backslash \; i\_p\; de\; los\; puntos\}\; \{i\_1\}\; \backslash \; prima\; \backslash \; ^\; \backslash \; prime$ (ninguna adición implicada) del w_ de los puntos {i_p} Observan ahora que producto

$w\_\; \{i\_p\}\; \backslash \; punto\; w\_\; \{i\_1\}\; \backslash \; alfa\; \backslash \; Omega\; =\; a\_\; \{\}\; \backslash \; omega$ del i_p de i_1 \ de los puntos es un múltiplo escalar no-vanishing del ω, como sea necesario.

Construcción exterior

Dejar = \ oplus_k \ wedge^k W del $\backslash \; del\; wedge^\; \backslash \; del\; cdot\; W\; denotar\; la\; álgebra\; exterior\; W\; considerado\; como\; espacio\; de\; vector.\; Con\; esta\; disposición,\; es\; posible\; ahora\; definir\; un\; espinor:$

l el &Delta del espacio; = ∧ el W de ^. es un espacio del espinor del V . Un espinor es un elemento del espacio del espinor.

La acción de la álgebra de Clifford en Δ es algo complicada, y consecuentemente muchas de las características de Δ son obscuras. Ver abajo para los detalles.

Particularmente, esto define solamente una clase de espacio del espinor que resulte ser una representación compleja del grupo de la vuelta. En incluso dimensiones, Δ más futuro se descompone en un par de representaciones complejas irreducibles del grupo de la vuelta (mitad-hacer girar las representaciones, o los espinores de Weyl) vía el $\backslash \; Delta\_+\; del\; =\; \backslash ,\; \backslash ,\; del\; wedge^\; \{incluso\}\; W\; \backslash \; =\; \backslash \; wedge^\; W$ {impar} de Delta_-. Por otra parte, la localización de las representaciones verdaderas del grupo de la vuelta dentro de Δ requiere la introducción de una estructura de la realidad para identificar el subespacio verdadero del complejo V del espacio de vector. La estructura de la realidad depende de la firma métrica, y tan hay diversas representaciones de la vuelta que corresponden a diversas firmas.

Acción de la álgebra de Clifford

Usar la misma notación que arriba, damos la acción de la álgebra de Clifford en el espacio del S de los espinores el W de = de ∧^., donde está un subespacio el W isotrópico máximo del V . Hay un contraste leve entre el caso cuando la dimensión del V es uniforme, y cuando es impar. Tratamos primero la caja cuando es dévil (el V ) es uniforme.

En este caso, hay un &prime complementario único del W del espacio; del W en el V, tal que &prime del W ; está también isotrópicos, y el V = &prime del W del ⊕ del W ;. La acción de la álgebra de Clifford se puede dar primero dando la acción de un elemento del V en el S, y en seguida demostrando que esta acción respeta la relación de Clifford y así que extiende a un homomorfismo de la álgebra completa de Clifford en el anillo de Endomorphism S (por la característica universal de las álgebra de Clifford). Dejar el V del ∈ del v ser un vector que se descompone como v = &prime del w del ⊕ del w ; concerniente a la descomposición del V en espacios complementarios. Acción de v en espinor es dado por

$c\; (v)\; w\_1\; \backslash \; cuña\; \backslash \; cdots\; \backslash \; cuña\; w\_n\; =\; (\backslash \; épsilon\; (w)\; +\; i\; ()\; \backslash \; a\; la\; izquierda\; del\; w\text{'})\; (w\_1\; \backslash \; cuña\; \backslash \; cdots\; \backslash \; w\_n\; de\; la\; cuña\; \backslash \; derecho)$ donde i (&prime del w ;) es el producto interior con el &prime del w ; usar la forma cuadrático no degenerada para identificar el V con el V ^*, y el ε (w) denota el producto exterior . Se verifica fácilmente que el c ( v ) del c ( u ) del + el 2 g del c ( u ) del c ( v ) = ( u, v ), y el c respeta tan las relaciones de Clifford. Consecuentemente, el c extiende a un homomorfismo de la álgebra de Clifford al anillo del endomorphism del S .

En caso de que sea dévil (el V ) sea impar, el espacio complementario del W en el V no es isotrópico. En lugar, escoger un u del vector de unidad ortogonal al W . Entonces el palmo del ⊕ del W ( u ) tiene un &prime isotrópico único del W del complemento; en el V . Dejar el c de la acción de Clifford ser definido como antes en &prime del W del ⊕ del W ;, y definirlo para (los múltiplos de) el u cerca

de la matriz

De nuevo, uno verifica que el c respete las relaciones de Clifford, y así que asciende a un homomorfismo.

Esta definición depende de una opción del isotrópico W del espacio en incluso el caso, y de la opción del isotrópico W del espacio y del u del vector de unidad en el caso impar. El carácter arbitrario de esta opción representa la libertad en la definición abstracta, y así que las características rotatorias del S son obscuras.

Consecuencias: estructuras complejas y simplécticas

Si el V del espacio de vector tiene adicional la estructura que naturalmente rinde a descomposición del espacio de vector complexified en dos subespacios isotrópicos máximos la definición de espinores de esta manera llega a ser natural. El ejemplo principal es el caso donde está un espacio el espacio de vector verdadero $V$ de vector hermitiano (el V, h) es decir se equipa de un mapa linear verdadero $J$ con $J^2\; =\; -1$ (una estructura compleja ) y el cuadrático g de la forma = con referencia al h tales que el J es antisimétrico. Entonces $V\; \backslash \; otimes\_\; \{\backslash \}\; \backslash \; mathbb\; \{C\}$ del mathbb {R} parte en los eigenspaces del $\backslash \; P.\; Este\; Eigenspaces\; es\; isotrópico\; para\; la\; complejación\; del\; g\; que\; se\; puede\; cada\; uno\; identificar\; con\; el\; vectorspace\; complejo$ V$y\; su$ \backslash \; barra\; conyugal\; complejos\; V$.\; Por\; lo\; tanto\; para\; a\; el$ hermitianodel\; espacio\; de\; vector\; (V,\; h)$el$ \backslash \; el\; wedge^\; \backslash \; el\; cdot\_\; del\; espacio\; de\; vector\; \{\backslash \; mathbb\; \{C\}\}\; V$es\; un\; espacio\; del\; espinor\; del\; espacio\; de\; vector\; euclidiano\; verdadero\; subyacente.$

Con la acción de Clifford como sobre pero con la contracción usar la forma hermitiana, esta construcción da un espacio del espinor en cada punto de un múltiple casi hermitiano y es la razón por la que cada múltiple casi complejo (particularmente cada múltiple simpléctico ) tiene una estructura de SpinC. Asimismo, cada paquete complejo del vector en un múltiple lleva una estructura de SpinC.

Descomposición de Clebsch-Gordan

Un número de descomposiciones de Clebsch-Gordan son posibles en el producto de tensor de una representación de la vuelta con otra. Estas descomposiciones expresan el producto de tensor en términos de representaciones de alternancia del grupo ortogonal.

Para el caso verdadero o complejo, las representaciones de alternancia son
V, la representación de Γ_r = de ∧^r del grupo ortogonal en los tensores oblicuos del espeso r .

Además, para los grupos ortogonales verdaderos, hay tres los carácteres (representaciones unidimensionales) σ₊: → de O ( p, q ) {- 1, +1} dado por σ₊(R) = -1 si el R invierte la orientación espacial del V, +1 si el R preserva la orientación espacial del V . ( el carácter espacial .)
σ_-: → de O ( p, q ) {- 1, +1} dado por σ_-(R) = -1 si el R invierte la orientación temporal del V, +1 si el R preserva la orientación temporal del V . ( el carácter temporal .)
σ = σ₊σ_-. ( el carácter de la orientación.)

La descomposición de Clebsch-Gordan permite que uno defina, entre otras cosas:
Una acción de espinores en vectores.
Un métrico hermitiano en las representaciones complejas de los grupos verdaderos de la vuelta.
Un operador de Dirac en cada representación de la vuelta.

Incluso dimensiones

Si n = 2 k es uniforme, después tensor producto de Δ con Contragredient representación se descompone como

$\backslash \; delta\; \backslash \; otimes\; \backslash \; Delta^*\; \backslash \; cong\; \backslash \; bigoplus\_\; \{p=0\}\; ^n\; \backslash \; Gamma\_p\; \backslash \; cong\; \backslash \; bigoplus\_\; \{p=0\}\; ^\; \{k-1\}\; \backslash \; a\; la\; izquierda\; (\backslash \; Gamma\_p\; \backslash \; oplus\; \backslash \; sigma\; \backslash \; Gamma\_p\; \backslash )\; derecho\; \backslash ,\; \backslash \; oplus\; \backslash \; Gamma\_k$ cuál puede ser visto explícitamente considerando (en la construcción explícita) la acción de la álgebra de Clifford en el ⊗ descomponible βω&prime del αω de los elementos;. La formulación de derecha sigue de las características de la transformación del operador de la estrella de Hodge. Observar que en la restricción incluso a la álgebra de Clifford, el ⊕ apareado σΓ_p de los summands Γ_p es isomorfo, pero bajo álgebra completa de Clifford no están.

Hay una identificación natural de Δ con su representación contragredient vía la conjugación en la álgebra de Clifford: ^*= \ Omega del $del\; (\backslash \; alfa\; \backslash \; Omega)\; (\backslash \; alpha^*).$ Δ⊗Δ también se descompone tan de la manera antedicha. Además, bajo incluso álgebra de Clifford, mitad-hacer girar las representaciones descomponen el

Para las representaciones complejas de las álgebra verdaderas de Clifford, la estructura asociada de la realidad en la álgebra de Clifford del complejo desciende al espacio de espinores (vía la construcción explícita en términos de ideales mínimos, por ejemplo). De esta manera, obtenemos el $\backslash \; la\; barra\; conyugal\; complejos\; \{\backslash \; delta\}$ de la representación Δ, y el isomorfismo siguiente se considera para sostenerse:

$\backslash \; barra\; \{\backslash \}\; \backslash \; cong\; \backslash \; sigma\_-\; \backslash \; Delta^*$ del delta

Particularmente, observar que la representación Δ del grupo orthochronous de la vuelta es una representación unitaria . Generalmente allí es Clebsch-Gordan descomposición

$\backslash \; delta\; \backslash \; otimes\; \backslash \; barra\; \{\backslash \}\; \backslash \; el\; ^k\; del\; cong\; del\; delta\; \backslash \; del\; bigoplus\_\; \{p=0\}\; \backslash \; se\; fue\; (\backslash \; sigma\_-\; \backslash \; Gamma\_p\; \backslash \; oplus\; \backslash \; sigma\_+\; \backslash \; Gamma\_p\; \backslash \; derecho).$

En la firma métrica ( p, q ), los isomorphisms siguientes se sostienen para el conyugal mitad-hacen girar el las representaciones Si el q es uniforme, entonces $\backslash \; barra\; \{\backslash \; delta\}\; \_+\; \backslash \; cong\; \backslash \; sigma\_-\; \backslash \; otimes\; \backslash \; -\; \backslash \; cong\; \backslash \; sigma\_-\; \backslash \; otimes\; \backslash \; Delta\_-^*.$ del _ de Delta_+^* y del $\backslash \; de\; la\; barra\; \{\backslash \; delta\}$
Si el q es impar, entonces $\backslash \; barra\; \{\backslash \; delta\}\; \_+\; \backslash \; cong\; \backslash \; sigma\_-\; \backslash \; otimes\; \backslash \; -\; \backslash \; cong\; \backslash \; sigma\_-\; \backslash \; otimes\; \backslash \; Delta\_+^*.$ del _ de Delta_-^* y del $\backslash \; de\; la\; barra\; \{\backslash \; delta\}\; Usar\; estos\; isomorphisms,\; uno\; puede\; deducir\; las\; descomposiciones\; análogas\; para\; los\; productos\; de\; tensor\; del\; mitad-hace\; girar\; el$ \backslash \; Delta\_\; \backslash \; P.\; \backslash \; otimes\; \backslash \; \_\; \backslash \; pm$de\; las\; representaciones\; de\; la\; barra\; \{\backslash \; delta\}.$

Dimensiones impares

Si el n = 2 el k +1 es impar, entonces $\backslash \; delta\; \backslash \; los\; otimes\; \backslash \; Delta^*\; \backslash \; ^k\; del\; cong\; \backslash \; del\; bigoplus\_\; \{p=0\}\; \backslash \; Gamma\_\; \{2p\}\; del\; .$ En verdadero caso, de nuevo isomorfismo se sostiene

$\backslash \; barra\; \{\backslash \}\; \backslash \; cong\; \backslash \; sigma\_-\; \backslash \; Delta^*.$ del delta Por lo tanto allí es Clebsch-Gordan descomposición (otra vez usar la estrella de Hodge a dualize) dado por

$\backslash \; delta\; \backslash \; otimes\; \backslash \; barra\; \{\backslash \}\; \backslash \; cong\; \backslash \; sigma\_-\; \backslash \; Gamma\_0\; \backslash \; oplus\; \backslash \; sigma\_+\; \backslash \; Gamma\_1\; \backslash \; oplus\; \backslash \; puntos\; \backslash \; oplus\; \backslash \; sigma\_\; \backslash \; P.\; \backslash \; Gamma\_k$ del delta

Consecuencias

Hay muchas consecuencias de gran envergadura de las descomposiciones de Clebsch-Gordan de los espacios del espinor. El fundamental de éstos pertenece más a la teoría de Dirac del electrón, entre cuyos requisitos básicos está el
Manera de mirando producto de dos espinor $\backslash \; barra\; \{\backslash \}\; \backslash \; psi$ de la phi como escalar. En términos físicos, un espinor debe determinar una amplitud de la probabilidad para el estado de Quantum .
Manera de mirando producto $\backslash \; barra\; \{\backslash \}\; \backslash \; psi$ de la phi como vector. Ésta es una característica esencial de la teoría de Dirac, que ata el formalismo del espinor a la geometría del espacio físico.
Una manera de mirar un espinor como actuando sobre un vector, por una expresión tal como $\backslash \; PSI\; v\; \backslash \; barra\; \{\backslash \; PSI\}$;. En términos físicos, esto está representa una corriente eléctrica de la teoría electromágnetica del maxwell, o más generalmente de una probabilidad actual.

Resumen en dimensiones bajas

en 1 dimensión (un ejemplo trivial), la sola representación del espinor es formalmente Majorana, una representación de 1 dimensión verdadera que no transforme.

en 2 dimensiones euclidianas, el espinor zurdo y derecho de Weyl son 1 los números complejos complejos de las representaciones componente es decir que consiguen multiplicados por el $e^\; \{\backslash \; P.\; i\; \backslash \; phi/2\}$ bajo rotación por el $\backslash \; phi$ del ángulo.

en 3 dimensiones euclidianas, la sola representación del espinor es de 2 dimensiones y Pseudoreal . La existencia de espinores en 3 dimensiones sigue del isomorfismo del $SU\; de\; los\; grupos\; (2)\; \backslash \; cong\; \backslash \; el\; mathit\; \{vuelta\}\; (3)$ que permite que definamos la acción del $Spin\; (3)$ en una columna del componente del complejo 2 (un espinor); los generadores del $SU\; (2)$ se puede escribir como matrices de Pauli.

en 4 dimensiones euclidianas, el isomorfismo correspondiente es el $Spin\; (4)\; \backslash \; SU\; equivalente\; (2)\; \backslash \; épocas\; SU\; (2)$. Hay dos espinores componentes de Pseudoreal 2 inequivalent Weyl y cada uno de ellas transforma debajo de uno del $SU\; (2)$ descompone en factores solamente.

en 5 dimensiones euclidianas, el isomorfismo relevante es el $Spin\; (5)\; \backslash \; USp\; equivalente\; (4)\; \backslash \; SP\; equivalente\; (2)$ que implica que la sola representación del espinor es 4 dimensionales y pseudoreal.

en 6 dimensiones euclidianas, el $Spin\; del\; isomorfismo\; (6)\; \backslash \; SU\; equivalente\; (4)$ garantiza que hay dos 4 representaciones complejas dimensionales de Weyl que son conjugaciones complejas de una otras.

en 7 dimensiones euclidianas, la sola representación del espinor es 8 dimensionales y verdaderos; ningunos isomorphisms a una álgebra de mentira de otra serie (A o C) existe de esta dimensión encendido.

en 8 dimensiones euclidianas, allí es dos representaciones dimensionales verdaderas del Weyl-Majorana 8 que son relacionadas con la representación verdadera dimensional del vector 8 por una característica especial de la vuelta (8) llamó el Triality .

en dimensiones de $d+8$, el número de representaciones irreducibles distintas del espinor y su realidad (si son verdaderas, pseudoreal, o complejo) mímico la estructura en dimensiones de $d$, pero sus dimensiones es 16 veces más grande; esto permite que uno entienda todos los casos restantes. Ver la periodicidad de Bott.

en spacetimes con $p$ espacial y $q$ tiempo-como direcciones, las dimensiones vistas como dimensiones sobre los números complejos coincide con el caso del espacio euclidiano de $p+q$-dimensional, pero las proyecciones de la realidad mímico la estructura en $|p-q|Dimensiones\; euclidianas\; de$. Por ejemplo, en 3+1 dimensiones hay el complejo de Weyl de dos desigualdades (como adentro 2 dimensiones) 2 espinores del componente (como adentro 4 dimensiones), que sigue del $SL\; del\; isomorfismo\; (2,\; C)\; \backslash \; la\; vuelta\; equivalente\; (3.$

Ver también

paquete del espinor
Espinor puro
Anyon
Twistor

.

Zenithic

Interstate 35 in Minnesota

Random links:

Benjamin Pasillo Kennedy | Redan | Tríada de Piedmont | Sukhoi Su-30 | Historia de Amsterdam