En la geometría diferenciada de las curvas, un espiral de una curva lisa es otra curva, obtenida atando una secuencia tensa imaginaria a la curva dada y remontando su extremo libre pues se hiere sobre esa curva dada; o en el revés, desenrollado. Es una ruleta en donde la curva del balanceo es una línea recta que contiene el punto de generación.

El Evolute de un espiral es la curva original menos porciones de la curvatura cero o indefinida . Comparar los medios: Evolute2.gif y medios: Involute.gif

Trazado-función

Analítico: si el $r:\backslash mathbb\; R\backslash to\backslash mathbb\; R^n$ de la función es una parametrización natural de la curva ($del\; es\; decir\; |r^\; \backslash \; primas|=1$ para todo el s ), entonces: $t\; \backslash \; mapsto\; r\; (t)\; -\; tr^\; \backslash \; prima\; (t)$ parametrises el espiral.

Las ecuaciones de un espiral de una curva paramétrico definida son:

$X=x-\; \backslash \; frac\; \{x\text{'}\backslash \; int\_a^t\; \backslash \; raíz\; cuadrado\; \{x\text{'}^2\; +\; y\text{'}^2\}\; \backslash ,\; despegue\}\; \{\backslash raíz\; cuadrada\{x\text{'}^2\; +\; y\text{'}^2\}\}$

$Y=y-\; \backslash \; frac\; \{y\text{'}\backslash \; int\_a^t\; \backslash \; raíz\; cuadrado\; \{x\text{'}^2\; +\; y\text{'}^2\}\; \backslash ,\; despegue\}\; \{\backslash \; raíz\; cuadrada\; \{x\text{'}^2\; +\; y\text{'}^2\}\}$

Ejemplos

Espiral de un círculo

El espiral de un círculo pertenece a la familia de los espirales de Arquímedes
El espiral de un pequeño círculo es curvado que el espiral de un círculo más grande.

En los coordenadas cartesianos la curva sigue:

$x=a\; (\backslash \; lechuga\; romano\; (t)+t\; \backslash pecado(t))\; \backslash ,$
$y=a\; (\backslash \; pecado\; (t)\; -\; t\; \backslash \; lechuga\; romano\; (t))\; \backslash ,$
Donde: el t es el ángulo y el un el radio

En los coordenadas polares la curva sigue:

$espiral\; de\; Arquímedes\; \backslash ,\; r=a+b\; \backslash \; theta$
Donde: el un y el b son ambos el radio (del círculo), y el θ está en radianes.

Espiral de una catenaria

El espiral de una catenaria con su cima es un tractriz. En los coordenadas cartesianos la curva sigue:

$x=t-\; \backslash \; tanh\; (t)\; \backslash ,$
sech del $y=\; \backslash \; del\; rm\; (t)\; \backslash ,$
Donde: el t es el ángulo y el Sech es la secante hiperbólica (1/cosh (x)) derivado

Con el $r=\; (\backslash ,\; \backslash \; garrote\; del\; sinh^\; \{-\; 1\}\; (s)\; (\backslash \; sinh^\; \{-\; 1\}\; (s)))\backslash ,$

nosotros tienen $r^\; \backslash \; prime=\; (1,\; s)/\backslash \; raíz\; cuadrado\; \{1+s^2\}\; \backslash ,$

y $r\; (t)\; -\; tr^\; \backslash \; prima\; (t)=\; (\backslash \; sinh^\; \{-\; 1\}\; (t)\; -\; t\; \backslash \; raíz\; cuadrada\; \{1+t^2\},\; 1\; \backslash \; raíz\; cuadrada\; \{1+t^2\})$.

$t=\; substituto\; \backslash \; raíz\; cuadrada\; \{1-y^2\}\; /y$

para conseguir el $(\{\backslash \; sech\; del\; rm\}\; -\; \backslash \; raíz\; cuadrada\; \{1-y^2\},\; y)$ del ^ {- 1} (y).

Espiral de una cicloide

El uno espiral de un cicloide es una cicloide congruente . En los coordenadas cartesianos la curva sigue:

$x=a\; (t+\; \backslash \; pecado\; (t))\; \backslash ,$
$y=a\; (3+\; \backslash \; lechuga\; romano\; (t))\; \backslash ,$
Donde está el ángulo y el el t un el radio

Uso

El espiral de un círculo tiene algunas características que haga extremadamente importante para la industria del engranaje : Si dos engranajes intermeshed tienen dientes con la perfil-forma de involutes (algo que, por ejemplo, un " classic" la forma triangular), sus índices relativos de rotación es constante mientras que se dedican los dientes. También, los engranajes hacen siempre el contacto a lo largo de una sola línea de fuerza constante. Con los dientes de otras formas, las velocidades relativas y las fuerzas se levantan y bajan como los dientes sucesivos dedican, dando por resultado la vibración, ruido, y desgaste excesivo. Por esta razón, casi todos los dientes de engranaje modernos llevan la forma espiral.

Ver el engranaje espiral

.

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