En las matemáticas, la noción de la estabilidad de Lyapunov del ocurre en el estudio de los sistemas dinámicos en términos simples, si todas las soluciones del sistema dinámico que comiencen cerca de una estancia del punto de equilibrio $x\_e$ cerca de $x\_e$ por siempre, después $x\_e$ es Lyapunov estable. Más fuerte, si todas las soluciones que comienzan cerca de $x\_e$ converger a $x\_e$, después a $x\_e$ son el asintótico estable. La noción de la estabilidad exponencial garantiza un índice mínimo de decaimiento, es decir, una estimación de cómo convergen rápidamente las soluciones. La idea de la estabilidad de Lyapunov se puede ampliar a los múltiples infinito-dimensionales, donde se conoce como la estabilidad estructural, que se refiere al comportamiento de diferente solamente " nearby" soluciones a las ecuaciones diferenciales.

Definición para los sistemas del continuo-tiempo

Considerar un sistema dinámico no linear autónomo

$\backslash \; punto\; \{x\}\; =\; f,\; \backslash ;\; (de\; x\; (t))\backslash ;\; \backslash ;\; \backslash ;\; x\; (0)\; =\; x\_0$,

donde $x\; (t)\; \backslash \; en\; \backslash \; mathcal\; \{\}\; de\; D\; \backslash \; el\; subseteq\; \backslash \; el\; mathbb\; \{R\}\; ^n$ denota el vector de estado de sistema, el $\backslash \; \{D\}\; el$ mathcal un sistema abierto que contiene el origen, y el $f:\; \backslash \; mathcal\; \{\}\; \backslash \; rightarrow\; \backslash \; mathbb\; \{R\}\; ^n$ de D continuo en $\backslash \; \{D\}$ mathcal. Sin la pérdida de generalidad, podemos asumir que el origen es un equilibrio.

el origen del sistema antedicho reputa el Lyapunov estable, si, para cada $\backslash \; épsilon\; >\; 0$, existe un $\backslash \; =\; \backslash \; delta\; del\; delta\; (\backslash \; épsilon)\; >\; 0$ tales que, si el , entonces , para cada $t\; \backslash \; geq\; 0$.

El origen del sistema antedicho reputa el asintótico estable si es Lyapunov estable y si existe $\backslash \; delta\; >\; 0$ tales que si el , entonces $\backslash \; lim\_\; \{t\; \backslash \; rightarrow\; \backslash \; infty\}\; x\; (t)\; =\; 0$.

El origen del sistema antedicho reputa el exponencial estable si es asintótico establo y si existen $\backslash \; alfa,\; \backslash ,\; beta\; \backslash \; delta\; >0$ tales que si el , entonces $\backslash |x\; (t)\; \backslash |\; \backslash \; leq\; \backslash \; alfa\; \backslash |x\; (0)\; \backslash |e^\; \{-\; \backslash \; t\; beta\}$, para el $t\; \backslash \; el\; geq\; 0$.

Conceptual, los significados de los términos antedichos son los siguientes: La estabilidad de Lyapunov de un equilibrio significa que las soluciones que comienzan el " enough" cercano; al equilibrio (dentro de un $\backslash \; delta$ de la distancia de él) sigue habiendo el " enough" cercano; por siempre (dentro de un $\backslash \; epsilon$ de la distancia de él). Observar que esto debe ser verdad para el cualquier $\backslash \; epsilon$ de que uno puede querer elegir.

La estabilidad asintótica significa que las soluciones que el comienzo bastante cercano no sólo sigue siendo bastante pero también cercano eventual convergen al equilibrio.

La estabilidad exponencial significa que convergen las soluciones no sólo, pero de hecho converge más rápidamente que o por lo menos tan rápidamente como un $\backslash \; una\; alfa\; sabidos\; particulares\; de\; latarifa\backslash |x\; (0)\; \backslash |e^\; \{-\; \backslash \; t\; beta\}$.

El x de la trayectoria es (localmente) el atractivo si

$\backslash |y\; (t)\; -\; x\; (t)\; \backslash |\; \backslash \; rightarrow\; 0$

para el $t\; \backslash \; rightarrow\; \backslash \; infty$ para toda la trayectoria que comienza cerca bastante, y el global atractivo si esta característica se sostiene para toda la trayectoria.

Es decir, si el x pertenece al interior de su múltiple estable . Es el asintótico estable si es atractivo y estable. (Hay contraejemplos que demuestran que el attractivity no implica estabilidad asintótica. Tales ejemplos son fáciles de crear usar las conexiones homoclinic .)

Definición para los sistemas iterados

La definición para los sistemas del tiempo discreto es casi idéntica a ésa para los sistemas del continuo-tiempo. La definición abajo proporciona esto, usar una lengua alterna de uso general en textos más matemáticos.

Dejar el $(X,\; d)$ sea un espacio métrico y $f\; \backslash \; los\; dos\; puntos\; X\; \backslash \; a\; X$ una función continua . Un $x\; \backslash \; en\; del\; punto\; X$ reputa el Lyapunov estable, si, para cada $\backslash \; epsilon>0$, hay un $\backslash \; delta>0$ tales que para todo $y\; \backslash \; en\; X$, si del

l

los asimientos, y uno tiene $d\; del$

l (f^n (x), < \ epsilon del f^n (y))

para todo el $n\; \backslash \; en\; \backslash \; mathbb\; \{N\}$.

Decimos que $x$ es el asintótico estable si pertenece al interior de su sistema estable, es decir si hay un $\backslash \; delta>0$ tales que $del$

l \ lim_ {n \ \ infty} d (f^n (x), f^n (y)) =0

siempre que .

Teoremas de la estabilidad de Lyapunov

El estudio general de la estabilidad de las soluciones de ecuaciones diferenciales se conoce como teoría de la estabilidad. Los teoremas de la estabilidad de Lyapunov dan solamente la suficiente condición.

Teorema de Lyapunov segundo en estabilidad

Considerar un V de la función (x) : R del → del Rⁿ tales que
$V\; (x)\; \backslash \; GE\; 0$ con igualdad si y solamente si $x=0$ (definido positivo)
(definido negativo)

Entonces V (x) se llama un candidato de la función de Lyapunov y el sistema es asintótico establo en el sentido de Lyapunov (i. (Nota que el $V\; (0)\; =0$ está requerido; si no $V\; (x)\; =\; 1\; (1+|x|)$ " prove" que $\backslash \; punto\; x\; (t)\; =\; x$ es localmente el establo. Una condición adicional llamó el " properness" o " unboundedness" radial; se requiere para concluir estabilidad asintótica global.)

Es más fácil visualizar este método de análisis pensando en un sistema físico (e. resorte y masa vibrantes) y en vista de la energía de tal sistema. Si el sistema pierde energía en un cierto plazo y la energía nunca se restaura entonces el sistema debe moler a una parada y alcanzar eventual un cierto estado de reclinación final. Este estado final se llama el Attractor . Sin embargo, encontrar una función que dé la energía exacta de un sistema físico puede ser difícil, y para los sistemas matemáticos abstractos, sistemas económicos o sistemas biológicos, el concepto de energía puede no ser aplicable.

La realización de Lyapunov era que la estabilidad se puede probar sin requerir el conocimiento de la energía física verdadera, proporcionando una función de Lyapunov se puede encontrar para satisfacer los apremios antedichos.

Estabilidad para los modelos de espacio de estado linear

Un modelo linear del espacio de estado $\backslash \; punto\; del$

l {\ textbf {x}} = A \ textbf {x}

está el asintótico estable si $A^\; del$

l {T} M + mA + N = 0

tiene una solución donde $N\; =\; N^\; \{T\}\; >\; 0$ y $M\; =\; M^\; \{T\}\; >\; 0$ (matrices definidas positivas ). (La función relevante de Lyapunov es $V\; (x)\; =\; x^TMx$.)

Estabilidad para los sistemas con las entradas

Un sistema con las entradas (o los controles) tiene la forma = \ textbf {f (x, u)} del $\backslash \; del\; punto\; del$

l {\ textbf {x}}

donde el u entrado (generalmente dependiente del tiempo) (t) se puede ver como control, entrada externa, estímulo del, disturbio del, o función que fuerza del . El estudio de tales sistemas es el tema de la teoría de control y aplicado en la ingeniería de control . Para los sistemas con las entradas, una debe cuantificar el efecto de entradas en la estabilidad del sistema. Los dos acercamientos principales a esto el análisis es la estabilidad BIBO y entrado para indicar la estabilidad .

Ejemplo

Considerar una ecuación, donde comparado a la ecuación del oscilador de Van der Pol que se cambia el término de la fricción:

$\backslash \; ddot\; \{y\}\; +\; y\; -\; \backslash \; (\backslash \; frac\; \{\backslash \; ^\; del\; punto\; \{y\}\; \{3\}\}\; \{3\}\; -\; épsilon\; \backslash \; dejado\; \backslash \; punto\; \{y\}\; \backslash \; derecho)\; =\; 0$

Dejado x_ del $del$

l {1} =, \ punto {x_ {1} de y} = x_ {2}

de modo que sea el sistema correspondiente $del$

l \ punto {x_ {2}} = - x_ {1} + \ épsilon \ ido (\ frac {3} - {x_ {2}} \) derecho

Elijamos como función de Lyapunov = \ frac {1} {2} \ (1} ^ del ^ del x_ {{2} +x_ {2} {2} \ derecho) dejado del $del$

l V

cuál es claramente el definido positivo. Su derivado es $del$

l \ punto {V} = x_ {1} \ x_ del punto {1} x_ de +x_ {2} \ del punto {2} $del$

l = x_ {1} x_ del x_ del x_ {2} - 1} {{2} + \ épsilon \ ido (\ frac {x_ {2} ^4} {3} - {x_ {2} ^2} \) derecho

$=\; -\; \backslash \; (\{x\_\; \{2\}\; ^2\}\; -\; épsilon\; \backslash \; dejado\; \backslash \; frac\; \{x\_\; \{2\}\; ^4\}\; \{3\}\; \backslash )$ derecho

Si el $delparámetro\backslash \; el$ épsilon es positivos, la estabilidad es asintótica para el ^ del x_ del

Lema y estabilidad de Barbalat de sistemas de tiempo variable

Asumir que f es función del tiempo solamente.

que tiene el $\backslash \; punto\; \{f\}\; (t)\; \backslash \; a\; 0$ no implica que $f\; (t)$ tiene un límite en el $t\; \backslash \; \backslash \; infty$

que tiene $f\; (t)$ que se acerca a un límite como el $t\; \backslash \; a\; \backslash \; infty$ no implica ese $\backslash \; punto\; \{f\}\; (t)\; \backslash \; a\; 0$.

que tiene $f\; (t)$ bajan limitado y disminuyendo ($\backslash \; punto\; \{\}\; \backslash \; le\; 0$ de f) lo implica converge a un límite. Pero él hace no decir independientemente de si $\backslash \; punto\; \{\}\; \backslash \; de\; f\; a\; 0$ como el $t\; \backslash \; \backslash \; infty$.

El lema de Barbalat dice el si $f\; (se\; limita\; t)$ tiene un límite finito como el $t\; \backslash \; \backslash \; infty$ y si el $\backslash \; el\; punto\; \{f\}$ es uniformemente continuos (o $\backslash \; el\; ddot\; \{f\}$), entonces $\backslash \; punto\; \{f\}\; (t)\; \backslash \; a\; 0$ como el $t\; \backslash \; a\; \backslash \; infty$.

Generalmente, es difícil analizar la estabilidad asintótica del de sistemas de tiempo variable porque es muy difícil encontrar las funciones de Lyapunov con un derivado definido negativo del .

Sabemos eso en caso de sistemas (tiempo-invariantes) autónomos, si el $\backslash \; el\; punto\; \{V\}$ es semi-definite negativo (NSD), después también, es posible saber que el comportamiento asintótico invocando invariante-fijó teoremas. Sin embargo, esta flexibilidad no está disponible para los sistemas de tiempo variable del . Está donde aquí " Lemma" de Barbalat; entra en el cuadro. Dice:

l SI $V\; (x,\; t)$ satisface después de condiciones: $\#$ V\; del$$
(x, t) está más bajo #$$
\ el punto limitados {V} (x, t) (NSD) es #$semi-definite$
\ el punto negativos {V} (x, t) es uniformemente continuo a tiempo (satisfecho si el $\backslash \; el\; ddot\; \{V\}$ es finitos) entonces \ punto {V} (x, t) \ a 0 como el $t\; \backslash \; a\; \backslash \; infty$.

El ejemplo siguiente se toma de la página 125 el control no linear aplicado del libro de Slotine y de Li.

Considerar un $del\; del\; sistema\; \backslash \; =-e\; del\; punto\; \{e\}\; +\; g\; \backslash \; el\; cdot\; no\; autónomos\; w\; ($ del$$
de t) \ =-e del punto {g} \ el cdot w (t)

Esto es no autónomo porque la entrada $w$ es una función del tiempo. Asumir que el $w\; de\; la\; entrada\; (se\; limita\; t)$.

Tomar $V=e^2+g^2$ da el $\backslash \; el\; punto\; \{V\}\; =-2e^2\; \backslash \; le\; 0$

Esto dice que por las primeras dos condiciones y por lo tanto $e$ y $g$. Pero no dice cualquier cosa sobre la convergencia de $e$ a cero. Por otra parte, el teorema invariante del sistema no puede ser aplicado, porque la dinámica es no autónoma.

Usar el lema de Barbalat: $del$

l \ ddot {V} = -4e (- e+g \ cdot w).

Se limita esto porque se limitan $e$, $g$ y $w$. Esto implica $\backslash \; punto\; \{\}\; \backslash \; de\; V\; a\; 0$ como el $t\; \backslash \; \backslash \; infty$ y por lo tanto $e\; \backslash \; a\; 0$. Esto prueba que converge el error.

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