En las matemáticas, la noción del expansivity formaliza la noción de los puntos que se mueven lejos de uno-otro bajo acción de una función iterada . La idea del expansivity es bastante el rígido, pues la definición del expansivity positivo, abajo, tan bien como el Schwarz-Ahlfors-Escoge el teorema demuestra.

Definición

Si $(X,\; d)$ es un espacio métrico, un $f\; del\; homeomorfismo\; \backslash \; los\; dos\; puntos\; X\; \backslash \; a\; X$ reputa el expansivo si hay un constante $\backslash \; varepsilon\_0>0,$ del

l

llamó el expansivity del constante, tal que para cualquier dos puntos de $X$, su '' n '' - el th itera es por lo menos el $\backslash \; varepsilon\_0$ aparte para un cierto número entero $n$; es decir si para cualesquiera pares del $x\; \backslash \; neq\; y$ de los puntos en $X$ hay $n\; \backslash \; en\; \backslash \; mathbb\; \{Z\}$ tales que

$d\; (f^n\; (x),\; f^n\; (y))\; \backslash \; geq\; \backslash \; varepsilon\_0$.

Observar que en esta definición, $n$ puede ser positivo o negativo, y así que $f$ puede ser expansivo en las direcciones delanteras o de posterior.

El espacio $X$ se asume a menudo para ser el compacto, desde entonces debajo de eso el expansivity de la asunción es una característica topológica; es decir si el $d\text{'}\; es\; cualquier\; otro\; métricos\; generando\; la\; misma\; topología\; que$ d$,\; y\; si$ f$es\; expansivo\; en\; el$ (X,\; d)$,\; después$ f$es\; expansivo\; en\; el$ (X,\; d\text{'})$(posiblemente\; con\; un\; diverso\; constante\; del\; expansivity).$

Si $f\; del$

l \ dos puntos X \ a X

es un mapa continuo, decimos que $X$ es el positivamente expansivo (o el expansivo delantero) si hay a $\backslash \; varepsilon\_0$ del

l

tal que, para cualquie $x\; \backslash \; neq\; y$ en $X$, es $n\; \backslash \; en\; \backslash \; mathbb\; \{N\}$ tal que $d\; (f^n\; (x),\; f^n\; (y))\; \backslash \; geq\; \backslash \; varepsilon\_0$.

Teorema del expansivity uniforme

El dado f un homeomorfismo expansivo, el teorema del expansivity uniforme indica que para cada $\backslash \; epsilon>0$ y el $\backslash \; delta>0$ hay $N>0$ tales que para cada $x\; de\; los\; pares,\; y$ de puntos de $X$ tales que el $d\; (x,\; y)>\; \backslash \; epsilon$, hay un $n\; \backslash \; en\; \backslash \; mathbb\; \{Z\}$ con el $\backslash \; el\; vert\; n\; \backslash \; vert\; \backslash \; leq\; N$ tales que $d\; del$

l (f^n (x), f^n (y)) > c \ delta,

donde está el constante $c$ del expansivity de $f$ (prueba).

Discusión

El expansivity positivo es mucho más fuerte que expansivity. De hecho, uno puede probar que si $X$ es compacto y $f$ es a positivamente el homeomorfismo expansivo, entonces $X$ es finito (prueba).

Zenithic

David Chytraeus

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